Eksen açı gösterimi - Axis–angle representation

Açı

θ

ve eksen birimi vektörü

e

Kısaca döndürme vektörüyle temsil edilen bir döndürme tanımlama

θ e

.

İçinde matematik, eksen açı gösterimi bir dönüşün parametresidir rotasyon içinde 3 boyutlu Öklid uzayı iki miktarda: a birim vektör $e$ bir dönme ekseninin yönünü ve bir açı $θ$ eksen etrafında dönmenin büyüklüğünü açıklar. Bir birim vektörün yönünü tanımlamak için yalnızca iki sayı gerekir, üç değil $e$ kökeni kök salmıştır çünkü büyüklüğü $e$ kısıtlanmıştır. Örneğin, yükseklik ve azimut açıları $e$ herhangi bir belirli Kartezyen koordinat çerçevesine yerleştirmek için yeterlidir.

Tarafından Rodrigues'in rotasyon formülü açı ve eksen, üç boyutlu vektörleri döndüren bir dönüşümü belirler. Rotasyon, tarafından öngörülen anlamda gerçekleşir. sağ el kuralı. Dönme eksenine bazen Euler ekseni.

Birçoğundan biri üç boyutta dönme biçimcilikleri. Eksen açı gösterimi aşağıdakilere dayanmaktadır: Euler'in dönme teoremi, üç boyutlu bir uzayda katı bir cismin herhangi bir dönüşünün veya dönüş sırasının tek bir sabit eksen etrafında saf bir dönüşe eşdeğer olduğunu belirtir.

Döndürme vektörü

Eksen açısı gösterimi, daha özlü olana eşdeğerdir dönme vektörü, aynı zamanda Euler vektör. Bu durumda, hem dönüş ekseni hem de açı, uzunluğu dönme açısı olan dönme ekseniyle eş yönlü bir vektör ile temsil edilir. $θ$ ,

{displaystyle {oldsymbol {heta}} = heta mathbf {e},.}

İçin kullanılır üstel ve logaritma bu gösterimi içeren haritalar.

Birçok rotasyon vektörü aynı rotasyona karşılık gelir. Özellikle uzunluktaki bir dönme vektörü $θ + 2π M$ , herhangi bir tam sayı için $M$ , uzunluktaki bir döndürme vektörüyle tam olarak aynı dönüşü kodlar $θ$ . Bu nedenle, herhangi bir dönüşe karşılık gelen en azından sayılabilir bir sonsuz dönme vektörü vardır. Ayrıca, tüm rotasyonlar $2π M$ hiç döndürme olmamasıyla aynıdır, bu nedenle belirli bir tam sayı için $M$ uzunluktaki tüm dönme vektörleri $2π M$ tüm yönlerde, sıfır vektörü ile aynı dönüşü kodlayan, iki parametreli sayılamayan sonsuz döndürme vektörlerini oluşturur. Bu gerçekler, üstel haritayı ters çevirirken, yani belirli bir rotasyon matrisine karşılık gelen bir rotasyon vektörü bulurken dikkate alınmalıdır. Üstel harita üstüne Ama değil bire bir.

Misal

Diyelim ki yerde duruyorsunuz ve yerçekimi yönünü negatif olarak seçiyorsunuz $z$ yön. Sonra sola dönersen, döneceksin $π / 2$ radyan (veya 90° ) hakkında $z$ eksen. Eksen açısı temsilini bir sıralı çift, bu olabilir

{displaystyle (mathrm {axis}, mathrm {angle}) = left ({egin {bmatrix} e_ {x} e_ {y} e_ {z} end {bmatrix}}, heta ight) = sol ({egin { bmatrix} 0 0 1son {bmatrix}}, {frac {pi} {2}} ight).}

Yukarıdaki örnek, büyüklüğü olan bir döndürme vektörü olarak gösterilebilir. $π / 2$ işaret etmek $z$ yön

{displaystyle {egin {bmatrix} 0 0 {frac {pi} {2}} end {bmatrix}}.}

Kullanımlar

Eksen açısı gösterimi, aşağıdakilerle uğraşırken kullanışlıdır: katı gövde dinamiği. Her ikisini de karakterize etmek faydalıdır rotasyonlar ve ayrıca sert cismin farklı temsilleri arasında dönüştürme yapmak için hareket homojen dönüşümler gibi^{[açıklama gerekli ]} ve kıvrımlar.

Zaman sağlam vücut döner sabit bir eksen etrafında eksen açısı verileri bir sabit dönüş ekseni ve dönüş açısı sürekli bağımlı açık zaman.

Üç özdeğer 1 ve $e \pm iθ$ ve bunların bir Kartezyen gösterimde ilişkili üç ortogonal ekseni Mercer teoremi Rotasyon Matrisinin Kartezyen temsilinin üç boyutlu olarak uygun bir yapısıdır.

Bir vektörü döndürme

Rodrigues'in rotasyon formülü, adını Olinde Rodrigues, bir dönme ekseni ve bir dönüş açısı verilen bir Öklid vektörünü döndürmek için etkili bir algoritmadır. Başka bir deyişle, Rodrigues'in formülü, üstel haritayı hesaplamak için bir algoritma sağlar. ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ -e $SỐ 3)$ tam matris üstel hesaplamadan.

Eğer $v$ içindeki bir vektör $ℝ 3$ ve $e$ bir birim vektör kökeni, etrafında bir dönme eksenini tanımlayan $v$ bir açıyla döndürülür $θ$ Rodrigues'in döndürülmüş vektörü elde etmek için döndürme formülü

{displaystyle mathbf {v} _ {mathrm {rot}} = (cos heta) mathbf {v} + (sin heta) (mathbf {e} imes mathbf {v}) + (1-cos heta) (mathbf {e} cdot mathbf {v}) mathbf {e},.}

Tek bir vektörün dönüşü için, dönüştürmekten daha verimli olabilir $e$ ve $θ$ vektörü döndürmek için bir döndürme matrisine.

Diğer temsillerle ilişki

Bir dönüşü temsil etmenin birkaç yolu vardır. Farklı temsillerin birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu ve bunlar arasında nasıl dönüşüm yapılacağını anlamak faydalıdır. Burada birim vektör gösterilir $ω$ onun yerine $e$ .

Üstel harita ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ (3) ila SO (3)

üstel harita dönüşlerin eksen-açı gösteriminden dönüşümü etkiler rotasyon matrisleri,

{displaystyle exp iki nokta üst üste {mathfrak {so}} (3) o mathrm {SO} (3) ,.}

Esasen, bir Taylor genişlemesi biri bu iki temsil arasında kapalı formlu bir ilişki türetmektedir. Bir birim vektör verildiğinde ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ birim dönme eksenini ve bir açıyı temsil eden, $θ \in ℝ$ eşdeğer bir rotasyon matrisi $R$ aşağıdaki gibi verilir, nerede $K$ ... çarpım matrisi nın-nin $ω$ , yani, $Kv = ω \times v$ tüm vektörler için $v \in ℝ 3$ ,

{displaystyle R = exp (heta mathbf {K}) = toplam _ {k = 0} ^ {infty} {frac {(heta mathbf {K}) ^ {k}} {k!}} = I + heta mathbf {K } + {frac {1} {2!}} (heta mathbf {K}) ^ {2} + {frac {1} {3!}} (heta mathbf {K}) ^ {3} + cdots}

Çünkü $K$ çarpık simetriktir ve üst köşegen girişlerinin karelerinin toplamı 1'dir, karakteristik polinom $P (t)$ nın-nin $K$ dır-dir $P (t) = det (K - t ben) = -(t 3 + t)$ . O zamandan beri Cayley-Hamilton teoremi, $P (K)$ = 0, bu şu anlama gelir

{displaystyle mathbf {K} ^ {3} = - mathbf {K},.}

Sonuç olarak, $K 4 = - K 2$ , $K 5 = K$ , $K 6 = K 2$ , $K 7 = - K$ .

Bu döngüsel model sonsuza kadar devam eder ve bu nedenle tüm yüksek güçler $K$ açısından ifade edilebilir $K$ ve $K 2$ . Böylece, yukarıdaki denklemden şunu takip eder:

{displaystyle R = I + sol (heta - {frac {heta ^ {3}} {3!}} + {frac {heta ^ {5}} {5!}} - cdots ight) mathbf {K} + sol ( {frac {heta ^ {2}} {2!}} - {frac {heta ^ {4}} {4!}} + {frac {heta ^ {6}} {6!}} - cdots ight) mathbf { K} ^ {2} ,,}

yani,

{displaystyle R = I + (sin heta) mathbf {K} + (1-cos heta) mathbf {K} ^ {2},}

tarafından Trigonometrik fonksiyonlar için Taylor serisi formülü.

Bu, makaledeki geometrik olanın aksine bir Lie cebirsel türetmedir. Rodrigues'in rotasyon formülü.^[1]

Yukarıda belirtilen üstel haritanın varlığı nedeniyle, birim vektör $ω$ dönme eksenini ve açıyı temsil eden $θ$ bazen denir üstel koordinatlar rotasyon matrisinin $R$ .

SO (3) 'ten ${displaystyle {mathfrak {so}}}$ (3)

İzin Vermek $K$ dönme ekseniyle çapraz çarpımı etkileyen 3 × 3 matrisi göstermeye devam edin $ω$ : $K (v) = ω \times v$ tüm vektörler için $v$ Akabinde.

Bir eksen açısı temsilini almak için rotasyon matrisi dönme açısını hesaplayın rotasyon matrisinin izi

{displaystyle heta = arccos sol ({frac {operatöradı {Tr} (R) -1} {2}} ight)}

ve sonra normalleştirilmiş ekseni bulmak için bunu kullanın,

{displaystyle {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2sin heta}} {egin {bmatrix} R_ {32} -R_ {23} R_ {13} -R_ {31} R_ {21} -R_ {12} son {bmatrix}} ~,}

nerede ${displaystyle R_ {ij}}$ rotasyon matrisinin bileşenidir, ${displaystyle R}$ , içinde ${displaystyle i}$ -nci sıra ve ${displaystyle j}$ -nci sütun.

Eksen açısı gösteriminin benzersiz olmadığını unutmayın, çünkü bir dönüş ${displaystyle - heta}$ hakkında ${displaystyle - {oldsymbol {omega}}}$ bir rotasyonla aynıdır ${displaystyle heta}$ hakkında ${displaystyle {oldsymbol {omega}}}$ .

Matris logaritması rotasyon matrisinin $R$ dır-dir

{displaystyle log R = {egin {case} 0 & {ext {if}} heta = 0 {dfrac {heta} {2sin heta}} left (RR ^ {mathsf {T}} ight) & {ext {if}} heta eq 0 {ext {and}} heta in (-pi, pi) end {case}}}

Bir istisna oluşursa $R$ vardır özdeğerler eşittir −1. Bu durumda, günlük benzersiz değildir. Ancak, olduğu durumda bile θ = $π$ Frobenius normu günlüğün

{displaystyle | günlük (R) | _ {mathrm {F}} = {sqrt {2}} | heta | ,.}

Verilen rotasyon matrisleri $Bir$ ve $B$ ,

{displaystyle d_ {g} (A, B): = sol | günlük sola (A ^ {mathsf {T}} Sağ) ight | _ {mathrm {F}}}

dönme matrislerinin 3B manifoldundaki jeodezik mesafedir.

Küçük rotasyonlar için, yukarıdaki hesaplama $θ$ Arccos'un türevi sonsuza giderken sayısal olarak kesin olmayabilir. $θ \to 0$ . Bu durumda, eksen dışı terimler aslında daha iyi bilgi sağlayacaktır. $θ$ çünkü küçük açılar için $R \approx ben + θ K$ . (Bunun nedeni, bunların Taylor serisinin ilk iki terimi olmasıdır. $tecrübe(θ K)$ .)

Bu formülasyon aynı zamanda sayısal problemlere sahiptir. $θ = π$ eksen dışı terimler dönme ekseni hakkında bilgi vermediğinde (ki bu hala bir işaret belirsizliğine kadar tanımlanmaktadır). Bu durumda yukarıdaki formülü yeniden gözden geçirmeliyiz.

{displaystyle R = I + mathbf {K} sin heta + mathbf {K} ^ {2} (1-cos heta)}

Şurada: $θ = π$ , sahibiz

{displaystyle R = I + 2mathbf {K} ^ {2} = I + 2 ({oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} - I) = 2 {oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} -BEN}

ve bırak

{displaystyle B: = {oldsymbol {omega}} otimes {oldsymbol {omega}} = {frac {1} {2}} (R + I) ,,}

yani köşegen terimleri $B$ elemanlarının kareleridir $ω$ ve işaretler (belirsizliği imzalamak için), eksen dışı koşulların işaretlerinden belirlenebilir. $B$ .

Birim kuaterniyonları

Aşağıdaki ifade eksen-açı koordinatlarını şu değere dönüştürür: ayetler (birim kuaterniyonlar ):

{displaystyle Q = sol (cos {frac {heta} {2}}, {oldsymbol {omega}} sin {frac {heta} {2}} ight)}

Bir ayet verildi $q = s + x$ Onunla temsil skaler $s$ ve vektör $x$ eksen-açı koordinatları, aşağıdakiler kullanılarak çıkarılabilir:

{displaystyle {egin {align} heta & = 2arccos s [8px] {oldsymbol {omega}} & = {egin {case} {dfrac {mathbf {x}} {sin {frac {heta} {2}}}} , & {ext {if}} heta eq 0 0, & {ext {else}}. end {case}} end {align}}}

Dönme açısının sayısal olarak daha kararlı bir ifadesi, atan2 işlev:

{displaystyle heta = 2operatorname {atan2} (| mathbf {x} |, s) ,,}

nerede $| x |$ ... Öklid normu 3-vektörün $x$ .

Ayrıca bakınız

Homojen koordinatlar
Vida teorisi, bükülme, vida ve anahtar kavramlarını kullanarak katı gövde hareketlerinin ve hızlarının bir temsili
Pseudovector

Referanslar

^ Bu, döndürme grubunun üçlü temsili için geçerlidir, yani döndürme 1. Daha yüksek boyutlu temsiller / dönüşler için bkz. Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). "Döndürme matris polinomları olarak döndürmeler için kompakt bir formül". SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. doi:10.3842 / SIGMA.2014.084.

[1] Bu, döndürme grubunun üçlü temsili için geçerlidir, yani döndürme 1. Daha yüksek boyutlu temsiller / dönüşler için bkz. Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Zachos, C. K. (2014). "Döndürme matris polinomları olarak döndürmeler için kompakt bir formül". SIGMA. 10: 084. arXiv:1402.3541. doi:10.3842 / SIGMA.2014.084.

[1]