Berlekamp değiştirme oyunu - Berlekamp switching game

Berlekamp oyun değiştirme bir matematik oyunu Amerikalı matematikçi tarafından önerilen Elwyn Berlekamp.^[1] Aynı zamanda Gale – Berlekamp değiştirme oyunu, sonra David Gale, aynı oyunu bağımsız olarak keşfeden,^[2] ya da dengesiz ışıklar oyunu.^[3] Bir sistemi içerir ampuller Bir oyun oyuncusu birçok ampulü yakmaya çalışırken diğeri olabildiğince çok ampulü kapatmaya çalışırken, iki anahtar bankı tarafından kontrol edilir. Kavramını göstermek için kullanılabilir kaplama yarıçapı içinde kodlama teorisi.

Kurallar

Oyunu oynamak için gerekli ekipman, boyutlarda dikdörtgen bir dizi ampul içeren bir odadan oluşur. ${ displaystyle a times b}$ bazı numaralar için ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$. Bir banka ${ displaystyle ab}$ odanın bir tarafındaki anahtarlar her bir ampulü ayrı ayrı kontrol eder. Bu anahtarlardan birinin çevrilmesi, önceki durumuna bağlı olarak ampulünü açıktan kapalıya veya açıktan kapalıya değiştirir. Odanın diğer tarafında başka bir banka var ${ displaystyle a + b}$ ampullerin her satırı veya sütunu için bir tane. Bu anahtarlardan herhangi biri çevrildiğinde, kontrol ettiği satır veya sütundaki her ampul, önceki durumuna bağlı olarak açıktan kapalıya veya açıktan kapalıya değişir. Birden fazla anahtarı çevirirken, anahtarların çevrildiği sıra sonuçta bir fark yaratmaz: Hangi sırayla çevrildiklerine bakılmaksızın çevirme dizisinin sonunda aynı ampuller yanar.

Oyun iki turda oynanır. İlk turda, ilk oyuncu ışıkları keyfi olarak açmak veya kapatmak için ayrı ışıkları kontrol eden anahtarları kullanır. İkinci turda, ikinci oyuncu ışık sıralarını veya sütunlarını kontrol eden anahtarları kullanır ve birinci oyuncu tarafından ayarlanan ışık düzenini başka bir düzene değiştirir (veya muhtemelen değiştirmeden bırakır). İlk oyuncunun amacı, oyunun sonunda mümkün olduğunca çok ışığın yanık kalmasını sağlamaktır ve ikinci oyuncunun amacı, mümkün olduğunca az ışık kalmasıdır. Bu nedenle, ilk oyuncu, ikinci oyuncunun birçok ışığı kapatamayacağı bir ışık düzeni seçmelidir.

Tarih

Berlekamp çalıştı Bell Laboratuvarları içinde Murray Tepesi, New Jersey 1966'dan 1971'e kadar.^[4] Oradayken, vaka için bu oyunun fiziksel bir örneğini oluşturdu ${ displaystyle 10 times 10}$ Matematik Bölümü müşterek odasında.^[1][2] David Gale de oyunu 1971'den bir süre önce bağımsız olarak icat etti.^[5]

İlgili problemlerle ilgili erken araştırmalar, Andrew M. Gleason  (1960 ), bilgisayar deneyleri sormak olarak yorumlanabilir ${ displaystyle 15 times 15}$ ikinci oyuncunun rastgele oynayan bir birinci oyuncuya karşı ne kadar iyi oynayabileceği,^[6] ve J. W. Moon ve Leo Moser  (1966 ), Gleason'un sorusunu teorik olarak ele alan, Neredeyse hepsi İlk oyuncunun seçimleri, büyük oyun tahtası boyutları sınırında, optimum oyun değeri ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} n ^ {2}}$.^[7]

Analiz

Matematiksel olarak, ilk oyuncunun hareketiyle açılan ışıkları bir set olarak tanımlayabiliriz. ${ displaystyle S}$ve ikinci oyuncu için bir sayı olarak en iyi oyunla elde edilebilecek en az ışık sayısı ${ displaystyle f (S)}$. İlk oyuncu için en iyi oyun bir set seçmektir ${ displaystyle S}$ maksimize eden ${ displaystyle f (S)}$. Bu nedenle, ilk oyuncu için en iyi oyunla elde edilebilecek en fazla ışık sayısı bir sayı olarak tanımlanabilir. ${ textstyle R_ {a, b} = max _ {S} f (S)}$. Bireysel bir oyunda nasıl iyi oynanır sorusunun ötesinde, matematiksel araştırmanın amacı olan daha geniş bir soru, oyunun değerini karakterize etmektir. ${ displaystyle R_ {a, b}}$ genel olarak, bir fonksiyonu olarak ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$, davranışını bir işlev olarak belirlemek veya değerini hesaplamak için ${ displaystyle a}$ ve ${ displaystyle b}$ olabildiğince.

Kare durumu ${ displaystyle n kere n}$ dizi çözüldü ${ displaystyle n leq 12}$. Bunlara ek olarak, alt sınırlar için ${ displaystyle R_ {n, n}}$ için bulundu ${ displaystyle n leq 20}$.^[8][9] Bu numaralar:

İçin çözümler ${ displaystyle n kere n}$

${ displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${ displaystyle R_ {n, n}}$	0	1	2	4	7	11	16	22	27	35	43	54	≥ 60	≥ 71	≥ 82	≥ 94	≥ 106	≥ 120	≥ 132	≥ 148

Asimptotik olarak, bu sayılar büyür ${ displaystyle { tfrac {n ^ {2}} {2}} - Theta (n ^ {3/2})}$.^[2][5][10]

Hesaplama karmaşıklığı

Anahtarların çevrilmesi için üssel olarak birçok seçenek olduğundan, en uygun seçim için kapsamlı bir arama, büyük ${ displaystyle n}$, sayısal olarak sınırlı oyuncuların bu oyunu ne kadar iyi oynayabileceği sorusunu ortaya koyuyor.

İlk oyuncu, beklenen oyun değerinin ${ displaystyle { tfrac {n ^ {2}} {2}} - O (n ^ {3/2})}$ rastgele oynayarak. Benzer şekilde, ikinci oyuncu, beklenen mesafesi olan bir değer elde edebilir. ${ displaystyle { tfrac {n ^ {2}} {2}}}$ dır-dir ${ displaystyle Omega (n ^ {3/2})}$ rastgele oynayarak; bu değer daha büyük veya daha küçük olabilir ${ displaystyle { tfrac {n ^ {2}} {2}}}$, ancak daha büyükse, ikinci oyuncu aynı miktarda daha küçük bir değer elde etmek için tüm satır anahtarlarını çevirebilir.^[2][5][10] İkinci oyuncu için bu rastgele strateji, kullanılarak rastgele yapılabilir. koşullu olasılıklar yöntemi, vermek polinom zamanı aynı çözüm değerini elde eden algoritma garanti eder. Farklı alay etme verir paralel algoritma karmaşıklık sınıfında NC.^[11]

İlk oyuncu hangi ampullerin yakılacağını seçtikten sonra oyundaki ikinci oyuncu için en uygun seçeneği bulmak NP-zor sorun.^[12] Ancak, bir polinom zaman yaklaşım şeması için ${ displaystyle n kere n}$ sadece kalan ikinci oyuncu için bir seçenek bulabilen oyun ${ displaystyle (1+ varepsilon)}$ olası minimum yanan ampul sayısının katı ${ displaystyle varepsilon> 0}$, zamanında ${ displaystyle O (n ^ {2}) + 2 ^ {O (1 / varepsilon ^ {2})}}$.^[13]

Kodlama teorisine bağlantı

Berlekamp değiştirme oyunu şu alanlarda kullanılabilir: kodlama teorisi bir gösteri olarak kaplama yarıçapı belirli bir ikilinin doğrusal kod. İkili doğrusal uzunluk kodu ${ displaystyle n}$ ve boyut ${ displaystyle d}$ olarak tanımlanır ${ displaystyle d}$-boyutlu doğrusal alt uzay of ${ displaystyle n}$-boyutlu vektör alanı ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ üzerinde iki elemanlı sonlu alan, ${ displaystyle mathbb {F} _ {2}}$. Altuzayın elemanlarına kod sözcükleri denir ve örtme yarıçapı en küçük sayıdır ${ displaystyle r}$ öyle ki her noktası ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ içinde Hamming mesafesi ${ displaystyle r}$ bir kod sözcüğü.

İzin Vermek ${ displaystyle n = ab}$ ve ${ displaystyle d = a + b-1}$. Bu parametre değerleri için vektör uzayı ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ üzerindeki tüm olası yanan ampul modellerini açıklar ${ displaystyle a times b}$ iki modelden tam olarak birinde görünen ampulleri aydınlatarak iki deseni birleştiren bir vektör toplama işlemiyle birlikte ampul dizisi simetrik fark yanan ampul setlerinde çalışma). Biri, ikinci oyuncunun tamamen kapatabileceği tüm kalıplardan veya eşdeğer şekilde ikinci oyuncunun tamamen kapalı bir tahta ile başlayarak oluşturabileceği tüm kalıplardan oluşan doğrusal bir alt uzay tanımlanabilir. İkinci oyuncunun sahip olmasına rağmen ${ displaystyle 2 ^ {a + b}}$ ikinci anahtar kümesinin nasıl ayarlanacağına ilişkin seçenekler, bu alt uzayda ${ displaystyle 2 ^ {a + b-1}}$ öğeler, ona boyut kazandırır ${ displaystyle a + b-1}$, çünkü ikinci oyuncunun tüm düğmelerini çevirmenin yanan ampullerin düzeni üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Sonra ${ displaystyle R_ {a, b}}$ bu kodun kapsama yarıçapıdır. İlk oyuncu tarafından en iyi oyunla seçilen yanan ampuller seti, bir puan verir. ${ displaystyle mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ bu, doğrusal alt uzaydan olabildiğince uzaktır. Durumu ikinci oyuncu tarafından en iyi oynatma ile değiştirilen ampul seti, doğrusal alt uzayda en yakın noktayı verir. Bu seçimlerden sonra yanık kalan ampul seti, sayısı bu iki nokta arasındaki Hamming mesafesini belirleyen ampullerdir.^[1]

Ayrıca bakınız

• Lights Out (oyun), birden fazla ampulü kontrol eden anahtarlar kullanarak ampulleri kapatmayı içeren farklı bir bulmaca

Referanslar