Fonksiyonlar hesabı - Calculus of functors

İçinde cebirsel topoloji bir dalı matematik, functors hesabı veya Goodwillie hesabı çalışmak için bir tekniktir functors onlara bir dizi daha basit işlevler ile yaklaştırarak; genelleştirir kılıflaştırma bir kafa kafalı. Bu yaklaşım dizisi resmi olarak benzerdir. Taylor serisi bir pürüzsüz işlev dolayısıyla "hesap functors ".

Cebirsel topolojide merkezi ilgi gören birçok nesne, doğrudan analiz edilmesi zor olan functorlar olarak görülebilir, bu nedenle fikir, onları belirli amaçlar için yeterince iyi tahminler olan daha basit functorlarla değiştirmektir. Thomas Goodwillie 1990'larda ve 2000'lerde üç makale serisinde,^[1][2][3] ve o zamandan beri pek çok alanda genişletilmiş ve uygulanmıştır.

Örnekler

Motivasyonel bir örnek, merkezi ilgi alanı geometrik topoloji, functor of Gömme birinin manifold M başka bir manifolda N, functorlar hesabı anlamında ilk türevi functor olan daldırmalar. Her gömme bir daldırma olduğundan, bir functor dahil edilir ${displaystyle mathrm {Emb} (M, N) o mathrm {Imm} (M, N)}$ - bu durumda, bir functor'dan bir yaklaşıma olan harita bir kapsamdır, ancak genel olarak bu sadece bir haritadır.

Bu örneğin gösterdiği gibi, bir functorun (topolojik bir uzayda) doğrusal yaklaşımı onun kılıflaştırma, functor'u bir kafa kafalı uzayda (resmi olarak, boşluğun açık alt kümeleri kategorisinde bir işlev olarak) ve kasnaklar doğrusal işlevlerdir.

Bu örnek Goodwillie tarafından incelenmiştir ve Michael Weiss.^[4][5]

Tanım

İşte bir benzetme: Kalkülüsten Taylor serisi yöntemiyle, bir pürüzsüz işlev f bir noktanın etrafında x gittikçe artan doğruluktaki polinom fonksiyonları dizisi kullanarak. Benzer şekilde, functors hesabı yöntemi ile, belirli türdeki davranışları yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz. functor F belirli bir nesnede X giderek daha doğru bir polinom dizisi kullanarak functors.

Spesifik olmak gerekirse, izin ver M olmak pürüzsüz manifold ve izin ver O (M) açık alt uzayların kategorisi olmak Myani, nesnelerin açık alt uzayları olduğu kategori Mve morfizmler dahil etme haritaları. İzin Vermek F olmak aykırı kategorideki functor O (M) kategoriye Üst sürekli morfizmli topolojik uzaylar. Bu tür bir işlev, a Üstdeğerli kafa kafalı açık M, functor hesabı yöntemini kullanarak tahmin edebileceğiniz functor türüdür: belirli bir açık küme için X∈O (M)ne tür bir topolojik uzay olduğunu bilmek isteyebilirsiniz F (X) giderek daha doğru olan yaklaşımların topolojisini inceleyebilmeniz için F₀(X), F₁(X), F₂(X), ve benzeri.

Functors hesabı yönteminde, yaklaşıklık dizisi (1) functorlardan oluşur. ${displaystyle T_ {0} F, T_ {1} F, T_ {2} F}$ve bunun yanı sıra (2) doğal dönüşümler ${displaystyle eta _ {k} iki nokta üst üste F o T_ {k} F}$ her tam sayı için k. Bu doğal dönüşümlerin uyumlu olması gerekir, yani kompozisyonun ${displaystyle F o T_ {k + 1} F o T_ {k} F}$ haritaya eşittir ${displaystyle F o T_ {k} F,}$ ve böylece bir kule oluştur

${displaystyle F o cdots o T_ {k + 1} F o T_ {k} F o cdots o T_ {1} F o T_ {0} F,}$

ve Taylor serisindeki yüksek dereceli terimlerin aşamalı olarak atılabileceği gibi, "ardışık yaklaşımlar" olarak düşünülebilir.

Yaklaşık işlevlerin "olması gerekir"k-Keskin "- bu tür işlevlere polinom functors benzeterek Taylor polinomları - bu basitleştirici bir durumdur ve kabaca etrafındaki davranışlarıyla belirlendikleri anlamına gelir k bir seferde puan veya daha resmi olarak kasnaklar üzerinde yapılandırma alanı nın-nin k verilen boşluktaki noktalar. Arasındaki fark kinci ve ${displaystyle (k-1)}$st functors "derece homojen bir fonksiyondur k"(ile benzer şekilde homojen polinomlar ), sınıflandırılabilir.

Functors için ${displaystyle T_ {k} F}$ orijinal fonksiyona yaklaşık olarak F, ortaya çıkan yaklaşım haritaları ${displaystyle F o T_ {k} F}$ olmalıdır nbağlantılı bazı numaralar için n, Bu, yaklaştıran işlevin orijinal işlev "e kadar olan boyuta yaklaştığı anlamına gelir" n"; bu gerçekleşmeyebilir. Ayrıca, orijinal işlevini yeniden yapılandırmak istenirse, ortaya çıkan yaklaşımlar n-için bağlantılı n sonsuza yükseliyor. Biri sonra arar F bir analitik işlevci, ve Taylor kulesinin analitik fonksiyonun Taylor serisine benzer şekilde "Taylor kulesinin fonktöre yakınsadığını" söyler.

Şubeler

Sırayla geliştirilen functors hesabının üç dalı vardır:

• gömmeler gibi manifold hesabı,
• homotopi hesabı ve
• ortogonal hesap.

Homotopi analizi, diğer dallara göre çok daha geniş uygulama alanı gördü.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Tarih

Bir demet kavramı ve bir ön kafenin demeti kavramı, erken kategori teorisine tarihlenir ve functorlar hesabının doğrusal formu olarak görülebilir. İkinci dereceden form, çalışmalarında görülebilir. André Haefliger açık bağlantılar 1965'te, sorunun daha basit olduğu "yarı kararlı bir aralık" tanımladığı küreler.^[6] Bu, Goodwillie ve Weiss'teki düğün işlevine ikinci dereceden yaklaşım olarak tanımlandı.

Referanslar

• Munson, Brian (2005), Matematik 283 için Müfredat: Fonksiyonlar Hesabı (PDF)

Dış bağlantılar

• Thomas Goodwillie
• John Klein
• Michael S. Weiss