Carlemans eşitsizliği - Carlemans inequality

Carleman eşitsizliği bir eşitsizlik içinde matematik, adını Torsten Carleman, bunu 1923'te kim kanıtladı^[1] ve bunu Denjoy-Carleman teoremini kanıtlamak için kullandı. yarı analitik sınıflar.^[2][3]

Beyan

İzin Vermek a₁, a₂, a₃, ... olmak sıra nın-nin negatif olmayan gerçek sayılar, sonra

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left (a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n} sağ) ^ {1 / n} leq e sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Sabit e eşitsizlikte optimaldir, yani eşitsizlik her zaman geçerli değildir e daha küçük bir sayı ile değiştirilir. Sekanstaki bazı elemanlar sıfır değilse, eşitsizlik katıdır ("≤" yerine "<" ile tutulur).

İntegral versiyon

Carleman eşitsizliğinin ayrılmaz bir versiyonu vardır,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} exp sol {{ frac {1} {x}} int _ {0} ^ {x} ln f (t) dt sağ } dx leq e int _ {0} ^ { infty} f (x) dx}$

herhangi f ≥ 0.

Carleson eşitsizliği

Nedeniyle bir genelleme Lennart Carleson, şunları belirtir:^[4]

herhangi bir dışbükey işlev için g ile g(0) = 0 ve herhangi bir -1 <p < ∞,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {p} e ^ {- g (x) / x} dx leq e ^ {p + 1} int _ {0} ^ { infty } x ^ {p} e ^ {- g '(x)} dx.}$

Carleman'ın eşitsizliği davadan kaynaklanıyor p = 0.

Kanıt

Temel bir kanıt aşağıda özetlenmiştir. İtibaren aritmetik ve geometrik araçların eşitsizliği sayılara uygulandı ${ displaystyle 1 cdot a_ {1}, 2 cdot a_ {2}, noktalar, n cdot a_ {n}}$

${ displaystyle mathrm {MG} (a_ {1}, noktalar, a_ {n}) = mathrm {MG} (1a_ {1}, 2a_ {2}, noktalar, na_ {n}) (n! ) ^ {- 1 / n} leq mathrm {MA} (1a_ {1}, 2a_ {2}, dots, na_ {n}) (n!) ^ {- 1 / n}}$

Burada MG, geometrik ortalama ve MA - aritmetik ortalama anlamına gelir. Stirling tipi eşitsizlik ${ displaystyle n! geq { sqrt {2 pi n}} , n ^ {n} e ^ {- n}}$ uygulanan ${ displaystyle n + 1}$ ima eder

${ displaystyle (n!) ^ {- 1 / n} leq { frac {e} {n + 1}}}$ hepsi için ${ displaystyle n geq 1.}$

Bu nedenle,

${ displaystyle MG (a_ {1}, noktalar, a_ {n}) leq { frac {e} {n (n + 1)}} , toplamı _ {1 leq k leq n} ka_ {k} ,,}$

nereden

${ displaystyle toplamı _ {n geq 1} MG (a_ {1}, noktalar, a_ {n}) leq , e , toplamı _ {k geq 1} { bigg (} toplamı _ {n geq k} { frac {1} {n (n + 1)}} { bigg)} , ka_ {k} = , e , sum _ {k geq 1} , a_ {k} ,,}$

eşitsizliği kanıtlamak. Dahası, aritmetik ve geometrik araçların eşitsizliği ${ displaystyle n}$ Negatif olmayan sayıların bir eşitlik olduğu bilinmektedir, ancak ve ancak tüm sayılar çakışırsa, yani mevcut durumda, ancak ve ancak ${ displaystyle a_ {k} = C / k}$ için ${ displaystyle k = 1, noktalar, n}$. Sonuç olarak, Carleman'ın eşitsizliği, yakınsak seriler için asla bir eşitlik değildir. ${ displaystyle a_ {n}}$ kaybolur, çünkü harmonik seriler farklıdır.

Carleman'ın eşitsizliğini şu şekilde de kanıtlayabilirsiniz: Hardy eşitsizliği

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}} sağ) ^ { p} leq left ({ frac {p} {p-1}} sağ) ^ {p} sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} ^ {p}}$

negatif olmayan sayılar için a₁,a₂,... ve p > 1, her birinin yerine a_n ile a^1/p
_nve izin vermek p → ∞.

Notlar

Referanslar

• Hardy, G. H .; Littlewood J.E .; Pólya, G. (1952). Eşitsizlikler, 2. baskı. Cambridge University Press. ISBN  0-521-35880-9.
• Rassias, Thermistocles M., editör (2000). Klasik eşitsizlikler üzerine araştırma. Kluwer Academic. ISBN  0-7923-6483-X.
• Hörmander, Lars (1990). Doğrusal kısmi diferansiyel operatörlerin analizi I: dağılım teorisi ve Fourier analizi, 2. baskı. Springer. ISBN  3-540-52343-X.

Dış bağlantılar

• "Carleman eşitsizliği", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]