Elemanların kategorisi - Category of elements

İçinde kategori teorisi, eğer C bir kategori ve ${displaystyle F: C o mathbf {Set}}$ set değerlidir functor, element kategorisi F ${displaystyle mathop {m {el}} (F)}$ (ayrıca ∫ ile gösterilir^CF) aşağıdaki şekilde tanımlanan kategoridir:

• Nesneler çiftlerdir ${displaystyle (A, a)}$ nerede ${displaystyle Ain mathop {m {Ob}} (C)}$ ve ${displaystyle ain FA}$.
• Bir ok ${displaystyle (A, a) o (B, b)}$ bir ok ${displaystyle f: A o B}$ C'de öyle ki ${displaystyle (Ff) a = b}$.

Bunu belirtmenin daha kısa bir yolu, F'nin elemanlarının kategorisinin virgül kategorisi ${displaystyle ast downarrow F}$, nerede ${displaystyle ast}$ tek noktalı bir kümedir. F öğelerinin kategorisi doğal bir projeksiyonla birlikte gelir ${displaystyle mathop {m {el}} (F) o C}$ A'ya bir nesne (A, a) ve bir ok gönderen ${displaystyle (A, a) o (B, b)}$ C'deki temel oku

Bir ön kafanın elemanlarının kategorisi

Bazı metinlerde (örneğin, Mac Lane, Moerdijk) öğelerin kategorisi ön aşamalar için kullanılır. Tamlık için açıkça belirtiyoruz. Eğer ${displaystyle Pin {hat {C}}: = mathbf {Set} ^ {C ^ {op}}}$ bir kafa kafalı, element kategorisi P (yine ile gösterilir ${displaystyle mathop {m {el}} (P)}$veya yukarıdaki tanıma ilişkin farkı netleştirmek için, ∫_C P = ∫^Cop P) aşağıdaki şekilde tanımlanan kategoridir:

• Nesneler çiftlerdir ${displaystyle (A, a)}$ nerede ${displaystyle Ain mathop {m {Ob}} (C)}$ ve ${displaystyle ain P (A)}$.
• Bir ok ${displaystyle (A, a) o (B, b)}$ bir ok ${displaystyle f: A o B}$ C'de öyle ki ${displaystyle (Pf) b = a}$.

Görüldüğü gibi okların yönü tersine çevrilmiştir. Bir kez daha bu tanımı daha kısa bir şekilde ifade edebiliriz: Az önce tanımlanan kategori, ${displaystyle (ast aşağı P) ^ {m {op}}}$. Sonuç olarak, bir yapının isminin önüne zıtını ifade edecek bir "ortak" ekleme ruhu içinde, bu kategoriye, daha ziyade, P.

C için küçük, bu yapı bir functor olarak genişletilebilir ∫_C itibaren ${displaystyle {şapka {C}}}$ -e ${displaystyle mathbf {Cat}}$, küçük kategoriler kategorisi. Aslında, Yoneda lemma bunu gösterebiliriz ∫_CP ${displaystyle cong mathop {extbf {y}} downarrow P}$, nerede ${displaystyle mathop {extbf {y}}: C o {hat {C}}}$ Yoneda yerleştirmesidir. Bu izomorfizm P'de doğaldır ve dolayısıyla functor ∫_C doğal olarak izomorfiktir ${displaystyle mathop {extbf {y}} downarrow -: {hat {C}} o {extbf {Cat}}}$.

Bir operad cebirinin elemanlarının kategorisi

Verilen bir (renkli) operad ${displaystyle O}$ ve cebir olarak da adlandırılan bir functor, ${displaystyle Acolon O o mathbf {Set}}$, yeni bir operad edinir, adı element kategorisi ve gösterildi ${displaystyle extstyle {int} ^ {O} A}$, kategoriler için yukarıdaki hikayeyi genelleme. Aşağıdaki açıklamaya sahiptir:

• Nesneler çiftlerdir ${görüntü stili (o, x)}$ nerede ${displaystyle oin mathrm {Ob} (O)}$ ve ${displaystyle xin A (o)}$.
• Bir ok ${displaystyle (o_ {1}, x_ {1}) o (o_ {2}, x_ {2})}$ bir ok ${displaystyle fcolon o_ {1} o o_ {2}}$ içinde ${displaystyle O}$ öyle ki ${displaystyle A (f) (x_ {1}) = x_ {2}.}$

Ayrıca bakınız

• Grothendieck inşaat

Referanslar

• Mac Lane, Saunders (1998). Çalışan Matematikçi Kategorileri. Matematik 5 Lisansüstü Metinleri (2. baskı). Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Geometri ve Mantıkta Demetler. Universitext (düzeltilmiş baskı). Springer-Verlag. ISBN  0-387-97710-4.

Dış bağlantılar

• Elemanların kategorisi içinde nLab