Cavalieris ilkesi - Cavalieris principle

Aynı hacme sahip iki İngiliz sikkesi yığını, Cavalieri'nin prensibini üç boyutlu olarak göstermektedir.

İçinde geometri, Cavalieri ilkesi, modern bir uygulama bölünmezler yöntemi, adını Bonaventura Cavalieri, Şöyleki:^[1]

2 boyutlu kasa: Bir düzlemdeki iki bölgenin o düzlemdeki iki paralel çizgi arasına dahil edildiğini varsayalım. Bu iki çizgiye paralel olan her çizgi, her iki bölgeyi de eşit uzunluktaki çizgi segmentlerinde keserse, o zaman iki bölgenin eşit alanları olur.
3 boyutlu kasa: Üç uzayda (katılar) iki bölgenin iki paralel düzlem arasında yer aldığını varsayalım. Bu iki düzleme paralel olan her düzlem, her iki bölgeyi de Kesitler eşit alana sahipse, iki bölge eşit hacimlere sahiptir.

Bugün Cavalieri'nin ilkesi, Integral hesabı ve bazı biçimlerde kullanılırken, örneğin Fubini teoremi Cavalieri ilkesini kullanan sonuçlar genellikle entegrasyon yoluyla daha doğrudan gösterilebilir. Öte yandan, Cavalieri'nin prensibi eski Yunan'dan doğdu. tükenme yöntemi, limit kullanan ancak kullanmayan sonsuz küçükler.

Tarih

Bonaventura Cavalieri matematikçi ilkenin adını almıştır.

Cavalieri'nin ilkesine başlangıçta bölünmezler yöntemi deniyordu; Rönesans Avrupa. Cavalieri tam bir bölünmezler teorisi geliştirdi, Geometria indivisibilibus continorum nova quadam ratione promota (Kıtanın bölünmezleri tarafından yeni bir şekilde geliştirilen geometri, 1635) ve onun Egzersiz geometrikae seks (Altı geometrik egzersiz, 1647).^[2] Cavalieri'nin çalışması ilkeyi oluştururken, yayınlarında ilgili paradokslardan ve dini tartışmalardan kaçınmak için sürekliliğin bölünmezlerden oluştuğunu reddetti ve daha önce bilinmeyen sonuçları bulmak için kullanmadı.^[3]

MÖ 3. yüzyılda, Arşimet Cavalieri ilkesine benzer bir yöntem kullanarak,^[4] çalışmalarında bir koni ve silindir hacimleri göz önüne alındığında bir kürenin hacmini bulmayı başardı Mekanik Teoremler Yöntemi. MS 5. yüzyılda, Zu Chongzhi ve oğlu Zu Gengzhi bir kürenin hacmini bulmak için benzer bir yöntem geliştirdi.^[5] Cavalieri'nin bölünmezlerinden Evangelista Torricelli 's ve John Wallis 's sonsuz küçükler tarihinde büyük bir ilerlemeydi hesap. Bölünmezler varlıklardı eş boyut 1, böylece bir düzlem figürün sonsuz sayıda 1 boyutlu çizgiden oluştuğu düşünüldü. Bu arada sonsuz küçükler, oluşturdukları figürle aynı boyutta varlıklardı; bu nedenle, sonsuz küçük genişliğe sahip "paralelkenarlardan" bir düzlem şekil elde edilecektir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü uygulayan Wallis, bir üçgenin alanını 1 / ∞ genişliğinde sonsuz küçük paralelkenarlara bölerek hesapladı.

Örnekler

Küreler

Kürenin disk şeklindeki kesiti, silindirin yatmakta olan kısmının halka şeklindeki kesiti ile aynı alana sahiptir. dışarıda koni.

Birinin hacminin olduğunu bilirse koni dır-dir ${ displaystyle { frac {1} {3}} sol ({ text {taban}} times { text {yükseklik}} sağ)}$ , o zaman kişi Cavalieri prensibini kullanarak bir küre dır-dir ${ displaystyle { frac {4} {3}} pi r ^ {3}}$ , nerede ${ displaystyle r}$ yarıçaptır.

Bu şu şekilde yapılır: Yarıçaplı bir küre düşünün ${ displaystyle r}$ ve yarıçaplı bir silindir ${ displaystyle r}$ ve yükseklik ${ displaystyle r}$ . Silindirin içinde, tepesi silindirin bir tabanının merkezinde olan ve tabanı silindirin diğer tabanı olan konidir. Tarafından Pisagor teoremi, uçak bulundu ${ displaystyle y}$ "ekvator" un üzerindeki birimler küreyi yarıçaplı bir daire içinde keser ${ displaystyle { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}$ ve alan ${ displaystyle pi sol (r ^ {2} -y ^ {2} sağ)}$ . Uçağın, silindirin parçasıyla kesiştiği alan dışarıda koninin de ${ displaystyle pi sol (r ^ {2} -y ^ {2} sağ)}$ . Gördüğümüz gibi, herhangi bir yükseklikte bulunan yatay düzlem ile dairenin her kesişme noktasının alanı ${ displaystyle y}$ düzlemin, silindirin koninin "dışında" olan kısmıyla kesişme alanına eşittir; bu nedenle Cavalieri prensibini uygulayarak, yarım kürenin hacminin silindirin koninin "dışındaki" kısmının hacmine eşit olduğunu söyleyebiliriz. Koninin yukarıda belirtilen hacmi ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$ silindirin hacminin, dolayısıyla hacminin dışarıda koninin ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ silindirin hacmi. Bu nedenle kürenin üst yarısının hacmi ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ silindirin hacminin. Silindirin hacmi

{ displaystyle { text {taban}} times { text {yükseklik}} = pi r ^ {2} cdot r = pi r ^ {3}}

("Taban" birimi cinsinden alan; "yükseklik" birimi cinsinden mesafe. Alan × mesafe = hacim.)

Bu nedenle, üst yarım kürenin hacmi ${ displaystyle { frac {2} {3}} pi r ^ {3}}$ ve tüm küreninki ${ displaystyle { frac {4} {3}} pi r ^ {3}}$ .

Koniler ve piramitler

Herhangi bir hacmin piramit Tabanın şekline bakılmaksızın, koni durumunda olduğu gibi dairesel veya Mısır piramitlerinde olduğu gibi kare veya herhangi bir başka şekil (1/3) × taban × yükseklik olarak belirlenebilir. Cavalieri'nin ilkesi, kişi yalnızca bir durumda doğru olduğunu bilirse. Üçgen prizmanın iç kısmını eşit hacimli üç piramidal bileşene bölerek ilk olarak tek bir durumda kurabilir. Cavalieri ilkesiyle bu üç cildin eşitliği gösterilebilir.

Aslında Cavalieri'nin ilkesi veya benzeri sonsuz küçük argüman gerekli esasen içeriği olan konilerin ve hatta piramitlerin hacmini hesaplamak için Hilbert'in üçüncü sorunu - çok yüzlü piramitler ve koniler kesilip standart bir şekle dönüştürülemez ve bunun yerine sonsuz (sonsuz küçük) yöntemlerle karşılaştırılmalıdır. Eski Yunanlılar, Arşimet'in mekanik argümanları veya tükenme yöntemi bu hacimleri hesaplamak için.

Peçete halkası sorunu

Eğer yükseklikte bir delik varsa h bir kürenin ortasından doğruca delinmişse, kalan bandın hacmi kürenin boyutuna bağlı değildir. Daha büyük bir küre için, bant daha ince ancak daha uzun olacaktır.

Ne denir peçete halkası sorunu Cavalieri ilkesine göre, kalan bandın yüksekliğe sahip olduğu bir kürenin merkezinden bir delik açıldığında hKalan malzemenin hacmi şaşırtıcı bir şekilde kürenin boyutuna bağlı değildir. Kalan halkanın enine kesiti, alanı iki dairenin alanları arasındaki fark olan bir düzlem halkadır. Pisagor teoremine göre, iki daireden birinin alanı π zamanlar r² − y², nerede r kürenin yarıçapı ve y ekvator düzleminden kesme düzlemine olan mesafedir ve diğerininki π zamanlar r² − (h/2)². Bunlar çıkarıldığında, r² iptal eder; bu nedenle alt satırdaki cevabın bağımlılık eksikliğir.

Sikloidler

Aynı çember üzerindeki bir nokta tarafından takip edilen iki sikloidal yay ile sınırlanan bölgenin yatay kesiti, bir durumda altındaki çizgi üzerinde saat yönünde ve diğerinde saat yönünün tersine, üstündeki çizgi üzerinde, karşılık gelen ile aynı uzunluğa sahiptir. dairenin yatay kesiti.

N.Red gösterdi^[6] ile sınırlanmış alan nasıl bulunur sikloid Cavalieri prensibini kullanarak. Yarıçaplı bir daire r altındaki bir çizgi üzerinde saat yönünde veya üstündeki bir çizgi üzerinde saat yönünün tersine dönebilir. Böylece daire üzerindeki bir nokta iki sikloidi izler. Daire belirli bir mesafeyi yuvarladığında, saat yönünde döndüğü açı ile saat yönünün tersine döneceği açı aynıdır. Sikloidleri izleyen iki nokta bu nedenle eşit yüksekliktedir. İçlerinden geçen çizgi bu nedenle yataydır (yani dairenin üzerinde döndüğü iki çizgiye paraleldir). Sonuç olarak, çemberin her bir yatay kesiti, iki sikloid yayı ile sınırlanan bölgenin karşılık gelen yatay kesiti ile aynı uzunluğa sahiptir. Cavalieri prensibine göre, daire bu nedenle o bölgeyle aynı alana sahiptir.

Tek bir sikloid kemeri sınırlayan dikdörtgeni düşünün. Bir sikloidin tanımına göre genişliği vardır $2π r$ ve yükseklik $2 r$ , yani alanı dairenin alanının dört katıdır. Kemerin dikdörtgeni karşıladığı orta noktada dikdörtgeni ikiye bölerek sikloid kemerin üzerinde uzanan bu dikdörtgenin içindeki alanı hesaplayın, bir parçayı 180 ° döndürün ve dikdörtgenin diğer yarısını bununla kaplayın. Dairenin iki katı alana sahip yeni dikdörtgen, yukarıda alanı daireninki ile aynı olacak şekilde hesaplanan iki sikloid arasındaki "mercek" bölgesinden ve sikloid kemerin üzerindeki bölgeyi oluşturan iki bölgeden oluşur. orijinal dikdörtgende. Böylece, sikloidin tek bir tam kemerinin üzerindeki bir dikdörtgenle sınırlanan alan, dairenin alanına eşit alana sahiptir ve bu nedenle, kemer tarafından sınırlanan alan, dairenin alanının üç katıdır.

Ayrıca bakınız

Fubini teoremi (Cavalieri prensibi, Fubini teoreminin özel bir durumudur)

Referanslar

^ Howard Eves, "Cavalieri Eşliğinde İki Şaşırtıcı Teorem", Kolej Matematik Dergisi, cilt 22, sayı 2, Mart 1991), sayfa 118–124
^ Katz, Victor J. (1998), Matematik Tarihi: Giriş (2. baskı), Addison-Wesley, s. 477.
^ Alexander, Amir (2015). Sonsuz Küçük: Tehlikeli Bir Matematik Teorisi Modern Dünyayı Nasıl Şekillendirdi?. İngiltere: Oneworld. s. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.
^ "Arşimet'in Kayıp Yöntemi". britanika Ansiklopedisi.
^ Zill, Dennis G .; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Matematik: Erken Aşkınlar (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. s. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Sayfa 27'den alıntı
^ N. Reed, "Temel kanıt bir sikloid altındaki alanın ", Matematiksel Gazette, cilt 70, sayı 454, Aralık, 1986, sayfalar 290-291

Dış bağlantılar

Weisstein, Eric W. "Cavalieri'nin İlkesi". MathWorld.
(Almanca'da) Prinzip von Cavalieri
Cavalieri Entegrasyonu

[1] Howard Eves, "Cavalieri Eşliğinde İki Şaşırtıcı Teorem", Kolej Matematik Dergisi, cilt 22, sayı 2, Mart 1991), sayfa 118–124

[2] Katz, Victor J. (1998), Matematik Tarihi: Giriş (2. baskı), Addison-Wesley, s. 477.

[3] Alexander, Amir (2015). Sonsuz Küçük: Tehlikeli Bir Matematik Teorisi Modern Dünyayı Nasıl Şekillendirdi?. İngiltere: Oneworld. s. 101–103. ISBN 978-1-78074-642-5.

[4] "Arşimet'in Kayıp Yöntemi". britanika Ansiklopedisi.

[5] Zill, Dennis G .; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Matematik: Erken Aşkınlar (3 ed.). Jones & Bartlett Learning. s. xxvii. ISBN 0-7637-5995-3. Sayfa 27'den alıntı

[6] N. Reed, "Temel kanıt bir sikloid altındaki alanın ", Matematiksel Gazette, cilt 70, sayı 454, Aralık, 1986, sayfalar 290-291

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Sonsuz küçükler
Tarih	Yeterlilik Leibniz gösterimi İntegral sembolü Standart olmayan analizin eleştirisi Analist Mekanik Teoremler Yöntemi Cavalieri ilkesi Bölünmezler yöntemi
İlgili şubeler	Standart olmayan analiz Standart olmayan hesap İç küme teorisi Sentetik diferansiyel geometri Sorunsuz sonsuz küçük analiz Yapıcı standart dışı analiz Sonsuz küçük şekil değiştirme teorisi (fizik)
Biçimlendirmeler	Diferansiyeller Hyperreal sayılar Çift sayılar Gerçeküstü sayılar
Bireysel kavramlar	Standart parça işlevi Transfer prensibi Hyperinteger Artış teoremi Monad İç küme Levi-Civita alanı Hyperfinite seti Süreklilik Hukuku Fazla dökülme Mikro süreklilik Transandantal homojenlik yasası
Matematikçiler	Gottfried Wilhelm Leibniz Abraham Robinson Pierre de Fermat Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler
Ders kitapları	Des Infiniment Petits'i analiz edin Temel Hesap Cours d'Analyse