Karakter modülü - Character module

Matematikte, özellikle alanında soyut cebir, her modül ilişkili karakter modülü. İlişkili karakter modülünü kullanarak orijinal modülün özelliklerini incelemek mümkündür. Tarafından keşfedilen ana sonuçlardan biri Joachim Lambek bir modülün düz ancak ve ancak ilişkili karakter modülü enjekte edici. [1]

Tanım

grup , rasyonel sayılar grubu modulo , bir -modül doğal bir şekilde. İzin Vermek bir katkı grubu olarak da kabul edilen -modül. Sonra grup

nın-nin -homomorfizmler itibaren -e denir ilişkili karakter grubu . Bu gruptaki elemanlar denir karakterler. Eğer sol -bir halka üzerinde modül , ardından karakter grubu bir hak -modül ve ilişkili karakter modülü . Karakter modülündeki modül eylemi ve tarafından tanımlanır hepsi için . [2] Karakter modülü de aynı şekilde doğru şekilde tanımlanabilir -modüller. Literatürde ayrıca gösterimler ve karakter modülleri için kullanılır. [3][4]

İzin Vermek bırakılmak -modüller ve bir -homomorphismus. Sonra haritalama tarafından tanımlandı hepsi için bir hak -homomorfizm. Karakter modülü oluşumu aykırıdır functor -den kategori soldan -haklar kategorisine modüller -modüller. [3]

Motivasyon

Değişmeli grup dır-dir bölünebilir ve bu nedenle bir enjekte edici -modül. Ayrıca şu önemli özelliğe sahiptir: değişmeli bir grup olmak ve sıfır olmayan. Sonra bir grup homomorfizmi var ile . Bu diyor ki bir kojeneratör. Bu özelliklerle, karakter modülleri teorisinin ana teoremi gösterilebilir: [3]

Teorem (Lambek) [1]: Sol modül bir yüzüğün üzerinde dır-dir düz ancak ve ancak karakter modülü bir enjekte edici sağ -modül.

Özellikleri

İzin Vermek bir yüzük üzerinde sol modül olmak ve ilişkili karakter modülü.

  • Modül düzdür ancak ve ancak enjekte edici (Lambek Teoremi [4]). [1]
  • Eğer o zaman ücretsiz enjekte edici bir haktır -modül ve hakkın kopyalarının doğrudan bir ürünüdür -modüller . [2]
  • Her hak için -modül ücretsiz bir modül var öyle ki bir alt modülüne izomorfiktir . Önceki özellik ile bu modül enjekte edici, dolayısıyla her hakkı -modül, bir enjeksiyon modülünün bir alt modülüne izomorfiktir. (Baer'in Teoremi) [5]
  • Bir sol -modül sadece ve ancak ücretsiz bir öyle ki doğrudan bir zirveye izomorfiktir . [5]
  • Modül sadece ve ancak serbest bir modülün bir karakter modülünün doğrudan bir özeti ise enjekte edilebilir. [2]
  • Eğer bir alt modülüdür , sonra alt modülüne izomorfiktir yok eden tüm unsurlardan oluşan . [2]
  • Karakter modülü oluşumu aykırıdır tam işlev yani kesin dizileri korur. [3]
  • İzin Vermek haklı ol -modül. Sonra modüller ve izomorfik -modüller. [4]

Referanslar

  1. ^ a b c Lambek Joachim (1964). "Bir Modül Düzdür ve Sadece Karakter Modülü Enjekte Ediyorsa". Kanada Matematik Bülteni. 7 (2): 237–243. doi:10.4153 / CMB-1964-021-9. ISSN  0008-4395.
  2. ^ a b c d Lambek, Joachim. (2009). Halkalar ve modüller üzerine dersler. Amerikan Matematik Derneği. Providence, UR: AMS Chelsea Pub. ISBN  9780821849002. OCLC  838801039.
  3. ^ a b c d Lam, Tsit-Yuen (1999). Modüller ve Halkalar Üzerine Dersler. Matematikte Lisansüstü Metinler. 189. New York, NY: Springer New York.
  4. ^ a b c Tercan, Adnan; Yücel, Canan C. (2016). Modül teorisi, genişletme modülleri ve genellemeler. Matematikte Sınırlar. İsviçre: Birkhäuser. ISBN  9783034809528.
  5. ^ a b Behrens, Ernst-August. (1972). Halka teorisi. New York: Akademik Basın. ISBN  9780080873572. OCLC  316568566.