Cohns teoremi - Cohns theorem

Bu makale bir yetim, başka hiçbir makale olmadığı gibi ona bağlantı. Lütfen bağlantıları tanıtmak dan bu sayfaya İlgili Makaleler; dene Bağlantı bul aracı öneriler için. (Aralık 2018)

Bu makale konuya aşina olmayanlar için yetersiz bağlam sağlar. Lütfen yardım et makaleyi geliştirmek tarafından okuyucu için daha fazla bağlam sağlamak. (Mart 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, Cohn teoremi^[1] belirtir ki nderece kendini tersine çeviren polinom ${ displaystyle p (z)}$ kadar var kökler açık birim diskinde ${ displaystyle D = {z in mathbb {C}: | z | <1 }}$ olarak karşılıklı polinom onun türev.^[1][2][3] Cohn teoremi, kendi kendini tersine çeviren ve kendi kendine karşılıklı polinomların köklerinin dağılımını incelemek için yararlıdır. karmaşık düzlem.^[4][5]

Bir nderece polinom,

${ displaystyle p (z) = p_ {0} + p_ {1} z + cdots + p_ {n} z ^ {n}}$

varsa kendi kendine inversif denir sabit karmaşık sayı ( ${ displaystyle omega}$ ) nın-nin modül 1 öyle ki,

${ displaystyle p (z) = omega p ^ {*} (z), qquad sol (| omega | = 1 sağ),}$

nerede

${ displaystyle p ^ {*} (z) = z ^ {n} { bar {p}} sol ({ frac {1} {z}} sağ) = { bar {p}} _ { n} + { bar {p}} _ {n-1} z + cdots + { bar {p}} _ {0} z ^ {n}}$

... karşılıklı polinom ile ilişkili ${ displaystyle p (z)}$ ve bar demek karmaşık çekim. Kendinden inversif polinomların birçok ilginç özelliği vardır.^[6] Örneğin, köklerinin hepsi simetrik saygıyla birim çember ve köklerinin tamamı birim çember üzerinde olan bir polinom zorunlu olarak kendi kendini tersine çevirir. katsayılar Kendinden inversif polinomların oranı ilişkileri karşılar.

${ displaystyle p_ {k} = omega { bar {p}} _ {n-k}, qquad 0 leqslant k leqslant n.}$

Nerede olduğu durumda ${ displaystyle omega = 1,}$ a kendinden inversif polinom olur karmaşık karşılıklı polinom (olarak da bilinir kendi kendine eşlenik polinom). Katsayıları gerçekse, o zaman bir gerçek kendiliğinden karşılıklı polinom.

biçimsel türev nın-nin ${ displaystyle p (z)}$ bir (n - 1) tarafından verilen derece polinom

${ displaystyle q (z) = p '(z) = p_ {1} + 2p_ {2} z + cdots + np_ {n} z ^ {n-1}.}$

Bu nedenle, Cohn teoremi her ikisinin de ${ displaystyle p (z)}$ ve polinom

${ displaystyle q ^ {*} (z) = z ^ {n-1} { bar {q}} _ {n-1} sol ({ frac {1} {z}} sağ) = z ^ {n-1} { bar {p}} ' left ({ frac {1} {z}} sağ) = n { bar {p}} _ {n} + (n-1) { bar {p}} _ {n-1} z + cdots + { bar {p}} _ {1} z ^ {n-1}}$

aynı sayıda köke sahip ${ displaystyle | z | <1.}$

Referanslar