Ehrenfest paradoksu - Ehrenfest paradox

Ehrenfest paradoksu içindeki "sert" bir diskin dönüşü ile ilgilidir. görecelilik teorisi.

Orijinal formülasyonunda sunulduğu şekliyle Paul Ehrenfest 1909 kavramı ile ilgili olarak Doğuştan sertlik içinde Özel görelilik,^[1] kendi simetri ekseni etrafında dönmesi için yapılmış ideal olarak sert bir silindiri tartışır.^[2] Yarıçap R laboratuvar çerçevesinde görüldüğü gibi her zaman hareketine diktir ve bu nedenle R değerine eşit olmalıdır₀ dururken. Ancak çevre (2πR) Görünmelidir Lorentz sözleşmeli olağan faktör factor ile hareketsiz durumdan daha küçük bir değere. Bu çelişkiye yol açar R = R₀ ve R < R₀.^[3]

paradoks tarafından daha da derinleştirildi Albert Einstein, çevre boyunca hizalanmış ve onunla birlikte hareket eden ölçüm çubuklarının büzülmüş görünmesi gerektiğinden, çevreye daha fazla sığacağını ve dolayısıyla 2'den büyük ölçülebileceğini gösterenπR. Bu, geometrinin dönen gözlemciler için Öklid dışı olduğunu ve Einstein'ın Genel görelilik.^[4]

Enine ile dönen gerçek malzemelerden yapılmış herhangi bir sert nesne hız a yakın Sesin hızı malzeme noktasını aşmalıdır kırılma Nedeniyle merkezkaç kuvveti, Çünkü merkezkaç basıncı malzemenin kayma modülünü aşamaz.

${ displaystyle { frac {F} {S}} = { frac {mv ^ {2}} {rS}} <{ frac {mc_ {s} ^ {2}} {rS}} yaklaşık { frac {mG} {rS rho}} yaklaşık G}$

nerede ${ displaystyle c_ {s}}$ ses hızı ${ displaystyle rho}$ yoğunluk ve ${ displaystyle G}$ dır-dir kayma modülü. Bu nedenle, yakın hızlar düşünüldüğünde ışık hızı, bu sadece bir Düşünce deneyi. Nötron-dejenere madde ışık hızına yakın hızlara izin verir, çünkü örn. hızı nötron yıldızı salınımları görecelidir; ancak; bu cisimlerin kesinlikle "katı" olduğu söylenemez ( Doğuştan sertlik ).

Paradoksun özü

Yarıçaplı bir disk hayal edin R sabit açısal hız ile dönme ${ displaystyle omega}$.

Ehrenfest paradoksu - Yarıçap hareket yönüne dik olduğundan, dönen bir diskin çevresi daralmalı, ancak yarıçap olmamalıdır.

Referans çerçevesi diskin sabit merkezine sabitlenmiştir. O zaman diskin çevresindeki herhangi bir noktanın bağıl hızının büyüklüğü, ${ displaystyle omega R}$. Böylece çevre geçecek Lorentz kasılması bir faktör ile ${ displaystyle { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}}$.

Ancak yarıçap hareket yönüne dik olduğu için herhangi bir daralmaya uğramaz. Yani

${ displaystyle { frac { mathrm {çevre}} { mathrm {çap}}} = { frac {2 pi R { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2 }}}} {2R}} = pi { sqrt {1 - ( omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}.}$

Bu paradoksaldır, çünkü uyarınca Öklid geometrisi tam olarak eşit olmalıdırπ.

Ehrenfest'in argümanı

Ehrenfest bir ideal olarak kabul edildi Sert doğmak döndürmek için yapılmış silindir. Silindirin genişlemeyeceğini veya daralmayacağını varsayarsak, yarıçapı aynı kalır. Ancak çevre boyunca yerleştirilmiş ölçüm çubukları ${ displaystyle 2 pi R}$ Lorentz-olağan faktör γ ile dinlenme durumundan daha küçük bir değere daraltılmalıdır. Bu, sert ölçüm çubuklarının Lorentz daralması nedeniyle birbirinden ayrılmak zorunda kalacağı paradoksa yol açar; Ehrenfest tarafından belirtilen tutarsızlık, döndürülmüş Born sert diskin parçalanması gerektiğini gösteriyor gibi görünüyor.

Böylece Ehrenfest, Redüktör reklamı absurdum Born katılığının genel olarak özel görelilik ile uyumlu olmadığı. Özel göreliliğe göre bir nesne eğrilmiş Born katılığını korurken dönmeyen bir durumdan, ancak sıfır olmayan sabit bir açısal hıza ulaştığında, özel göreliliği ihlal etmeden Born katılığını korur ve daha sonra (Einstein'ın daha sonra gösterdiği gibi) disk kullanan bir gözlemci bir çevreyi ölçecektir:^[3] ${ displaystyle C ^ { prime} = { frac {2 pi R} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}$

Einstein ve genel görelilik

Dönen disk ve rijitlikle bağlantısı, aynı zamanda, Albert Einstein genel görelilik geliştirmede.^[4] 1912, 1916, 1917, 1922'de birkaç yayında ona atıfta bulundu ve diskin geometrisinin birlikte dönen bir gözlemci için Öklid dışı hale geldiğine dair içgörü aldı. Einstein şöyle yazdı (1922):^[5]

66ff: x'y 'K düzleminin' orijini ve bu çemberin çapı etrafında çizilen bir daire hayal edin. Ayrıca, hepsi birbirine eşit olan çok sayıda sert çubuk verdiğimizi hayal edin. Bunların, K 'ye göre hareketsiz haldeyken çemberin çevresi ve çapı boyunca seri halinde yerleştirildiğini varsayıyoruz. U, çevre boyunca bu çubukların sayısı ise, D çap boyunca sayı ise, o zaman, K ', K'ye göre göreceli olarak dönmezse, ${ displaystyle U / D = pi}$. Ancak K 'dönerse farklı bir sonuç elde ederiz. Farz edin ki, K'nın belirli bir zamanında tüm çubukların uçlarını belirledik. K ile ilgili olarak, çevredeki tüm çubuklar Lorentz daralmasına maruz kalır, ancak çap üzerindeki çubuklar bu daralmayı (uzunlukları boyunca!) Deneyimlemez. Bu nedenle bunu takip eder ${ displaystyle U / D> pi}$.

Bu nedenle, katı cisimlerin K 'ile ilgili konfigürasyon yasalarının, Öklid geometrisine uygun katı cisimlerin konfigürasyon yasalarına uymadığı anlaşılmaktadır. Dahası, iki benzer saati (K 'ile dönen), biri çemberin çevresine ve diğeri çemberin merkezine yerleştirirsek, o zaman, K'ye göre, çevredeki saat, saatteki saatten daha yavaş gidecektir. merkez. Zamanı K'ye göre tamamen doğal olmayan bir şekilde, yani K 'ile ilgili yasaların açık bir şekilde zamana bağlı olacağı bir şekilde tanımlarsak, K' dan yargılanarak aynı şey gerçekleşmelidir. Bu nedenle uzay ve zaman, eylemsizlik sistemleriyle ilgili özel görelilik teorisinde olduğu gibi K 'ile tanımlanamaz. Ancak, eşdeğerlik ilkesine göre, K 'aynı zamanda bir yerçekimi alanı (merkezkaç kuvveti alanı ve Coriolis kuvveti) olan hareketsiz bir sistem olarak da düşünülmelidir. Bu nedenle sonuca varıyoruz: yerçekimi alanı uzay-zaman sürekliliğinin ölçü yasalarını etkiler ve hatta belirler. İdeal katı cisimlerin konfigürasyon yasaları geometrik olarak ifade edilecekse, bir yerçekimi alanının varlığında geometri Öklid değildir.

Kısa tarih

Aşağıda belirtilen (ve pek çoğu olmayan) makalelere yapılan alıntılar bir makalede şu şekilde bulunabilir: Øyvind Grøn on-line olarak mevcuttur.^[3]

Bu şekil, bir Langevin gözlemcisinin dünya çizgisini (kırmızı sarmal eğri) göstermektedir. Şekil aynı zamanda ışık konileri birkaçında Etkinlikler ile çerçeve alanı bu olaydan geçen Langevin gözlemcisinin.

• 1909: Max Doğum bir kavram getirmektedir sert hareket özel görelilikte.^[6]
• 1909: Born'un katılık kavramını inceledikten sonra, Paul Ehrenfest Durağan halden dönmeye giden bir silindir hakkında bir paradoksla, genişletilmiş cisimlerin çoğu hareketinin doğuştan sert olamayacağını gösterdi.^[1]
• 1910: Gustav Herglotz ve Fritz Noether bağımsız olarak Born modelini geliştirdi ve gösterdi (Herglotz-Noether teoremi ) Born sertliğinin hareket halindeki cisimler için yalnızca üç derece serbestliğe izin verdiğini söylüyor. Örneğin, katı bir cismin tek tip dönüş yapması mümkündür, ancak hızlandırılmış dönüş imkansızdır. Dolayısıyla, bir Born sert gövde, Ehrenfest'in sonucunu teyit ederek, dinlenme durumundan rotasyona sokulamaz.^[7][8]
• 1910: Max Planck Sabit gözlemcilere kıyasla, diskin bükülmesinden kaynaklanan kasılma problemiyle, disk kullanan gözlemcilerin ölçecekleri sorunla karıştırılmaması gerektiğine dikkat çeker. İlk problemi çözmenin bazı maddi modellerin tanıtılmasını ve teoriyi kullanmayı gerektireceğini öne sürüyor. esneklik.^[9]
• 1910: Theodor Kaluza çevre için farklı sonuçlar elde eden statik ve disk kullanan gözlemcilerin doğası gereği paradoksal hiçbir şey olmadığına işaret eder. Kaluza, bununla birlikte, "dönen diskin geometrisinin" Öklid olmayan. Kanıt olmadan, bu geometrinin aslında aslında sadece nesnenin geometrisi olduğunu iddia ediyor. hiperbolik düzlem.^[10]
• 1911: Max von Laue hızlandırılmış bir cismin sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip olduğunu, dolayısıyla özel görelilikte hiçbir katı cismin var olamayacağını gösterir.^[11]
• 1916: Yeni yazısını yazarken genel görelilik teorisi, Albert Einstein disk kullanan gözlemcilerin ölçtüğü farklar uzun çevre C′ = 2πr/√1−v². Yani uzunluk eksenlerine paralel hareket eden cetveller göründüğü için daha kısa Statik gözlemciler tarafından ölçüldüğü üzere, diske binen gözlemciler, çevrenin etrafına sabit gözlemcilerin yapabileceğinden daha küçük cetvelleri belirli bir uzunlukta yerleştirebilirler.
• 1922: Yeni ufuklar açan kitabı "Göreliliğin Matematiksel Kuramı" nda (s. 113), A.S. Eddington, yarıçap Dönen diskin (sabit ölçeklerle karşılaştırıldığında) çevreye uygulanan 'Lorentz daralma' faktörünün dörtte biri.
• 1935: Paul Langevin esasen bir hareketli çerçeve (veya çerçeve alanı modern dilde) diske binen gözlemciler ailesine karşılık gelen, şimdi adı verilen Langevin gözlemcileri. (Şekle bakın.) Ayrıca ölçülen mesafelerin yakınlarda Langevin gözlemcileri belirli bir Riemann metriği, şimdi Langevin-Landau-Lifschitz metriği olarak adlandırılıyor. (Görmek Doğan koordinatlar detaylar için.)^[12]
• 1937: Jan Weyssenhoff (şimdi belki de en çok Cartan bağlantıları sıfır eğrilik ve sıfır olmayan burulma ile), Langevin gözlemcilerinin hiper yüzey ortogonal olmadığını fark eder. Bu nedenle, Langevin-Landau-Lifschitz metriği, Minkowski uzay zamanının bazı hiper dilimlerinde değil, bölüm alanı her bir dünya çizgisinin yerine bir nokta. Bu, üç boyutlu bir pürüzsüz manifold hangisi bir Riemann manifoldu metrik yapıyı eklediğimizde.
• 1946: Nathan Rosen Langevin gözlemcilerine anında gelen eylemsiz gözlemcilerin, Langevin-Landau-Lifschitz metriği tarafından verilen küçük mesafeleri de ölçtüğünü göstermektedir.
• 1946: EL Hill, (kabaca konuşursak) ses hızının ışık hızına eşit olduğu bir malzemedeki göreli gerilmeleri analiz eder ve bunların merkezkaç kuvveti nedeniyle radyal genişlemeyi iptal ettiğini gösterir (fiziksel olarak gerçekçi herhangi bir malzemede göreceli etkiler azalır ama radyal genişlemeyi iptal etmez). Hill, önceki analizlerdeki hataları şöyle açıklıyor: Arthur Eddington ve diğerleri.^[13]
• 1952: C. Møller Dönen gözlemciler açısından boş jeodezikleri incelemeye çalışır (ancak yanlış bir şekilde uygun bölüm alanı yerine dilimleri kullanmaya çalışır)
• 1968: V. Cantoni, "Ehrenfest paradoksunun ifadesinde örtük olarak içerilen varsayımlardan birinin doğru olmadığını, Minkowski uzay-zamanının geometrisinin geçişine izin verdiği varsayımını" göstererek paradoksun basit, tamamen kinematik bir açıklamasını sağlar. disk, dönen referans çerçevesine göre ölçülen hem yarıçap uzunluğu hem de çevrenin uzunluğu değişmeden kalacak şekilde durmadan dönüşe kadar "
• 1975: Øyvind Grøn "paradoksun" çözümleri hakkında klasik bir inceleme yazısı yazıyor.
• 1977: Grünbaum ve Janis, başlangıçta dönmeyen bir diskin dönmesine uygulanabilecek fiziksel olarak gerçekleştirilebilir bir "sert olmama" kavramını ortaya attı (bu fikir, fiziksel olarak gerçekçi bir diskin yapılabileceği gerçek malzemeler için, ancak düşünce deneyleri için kullanışlıdır).^[14]
• 1981: Grøn bunu fark etti Hook kanunu Lorentz dönüşümleriyle tutarlı değildir ve göreceli bir genelleme sunar.
• 1997: T. A. Weber, Langevin gözlemcileriyle ilişkili çerçeve alanını açıkça tanıttı.
• 2000: Hrvoje Nikolić paradoksun ne zaman ortadan kalktığına işaret eder ( genel görelilik teorisi ) dönen diskin her bir parçası, kendi yerel eylemsiz olmayan çerçevesi içinde yaşıyormuş gibi ayrı ayrı işlem görür.
• 2002: Rizzi ve Ruggiero (ve Bel) yukarıda belirtilen bölüm manifoldunu açıkça tanıttı.

Paradoksun çözümü

Grøn, paradoksun çözünürlüğünün, dönen bir referans çerçevesinde saatleri senkronize etmenin imkansızlığından kaynaklandığını belirtir.^[15] Dönen çevredeki gözlemciler disk zamanını belirlemek için saatlerini çevre etrafında senkronize etmeye çalışırlarsa, karşılaştıkları iki uç nokta arasında bir zaman farkı vardır.

Modern karar kısaca şu şekilde özetlenebilir:

1. Disk kullanan gözlemciler tarafından ölçülen küçük mesafeler, Langevin-Landau-Lifschitz metriği ile tanımlanmaktadır; bu, gerçekten de (küçük açısal hız için), Kaluza'nın iddia ettiği gibi, hiperbolik düzlemin geometrisiyle iyi bir şekilde tahmin edilmektedir.
2. Fiziksel olarak makul malzemeler için, spin-up aşamasında gerçek bir disk merkezkaç kuvvetleri nedeniyle radyal olarak genişler; relativistik düzeltmeler bu Newton etkisine kısmen karşı koyar (ama iptal etmez). Sabit durum dönüşü elde edildikten ve diskin gevşemesine izin verildikten sonra, "küçükteki" geometri yaklaşık olarak Langevin-Landau-Lifschitz metriği tarafından verilir.

Ayrıca bakınız

• Doğan koordinatlar, sabit bir şekilde dönen disk üzerinde hareket eden gözlemcilere uyarlanmış bir koordinat çizelgesi için
• Uzunluk daralması
• Göreli disk

Diğer bazı "paradokslar" Özel görelilik

• Bell'in uzay gemisi paradoksu
• Merdiven paradoksu
• Fiziksel paradoks
• Supplee'in paradoksu
• İkiz paradoksu

Notlar

Alıntılar

Çalışmalar alıntı

Tarihi ilgi çekici birkaç makale

Birkaç klasik "modern" referans

Bazı deneysel çalışmalar ve sonraki tartışmalar

Seçilmiş son kaynaklar

Dış bağlantılar

• Görelilikte Sabit Dönen Disk Michael Weiss (1995) tarafından, sci.physics SSS.
• Einstein'ın Atlı Karıncası (bölüm 3.4.4), B. Crowell tarafından