Merkezin denklemi - Equation of the center

Bir nesnenin simüle edilmiş görünümü eliptik yörünge görüldüğü gibi odak of yörünge. Görünüm ile birlikte döner anomali demek, böylece nesne, bu ortalama konum boyunca ileri geri salınıyor gibi görünmektedir. merkezin denklemi. Nesne aynı zamanda daha da uzaklaştıkça daha da büyüyor gibi görünüyor. eksantriklik yörünge. Bir işaretçi (kırmızı), periapsis.

İçinde iki gövdeli, Keplerian yörünge mekaniği, merkezin denklemi bir cismin içindeki gerçek konumu arasındaki açısal farktır. eliptik yörünge ve hareketi tekdüze olsaydı işgal edeceği pozisyon, dairesel yörünge aynı dönemin. Fark olarak tanımlanır gerçek anormallik, $ν$ , eksi anomali demek, $M$ ve tipik olarak ortalama anormalliğin bir fonksiyonu olarak ifade edilir, $M$ , ve yörünge eksantrikliği, $e$ .^[1]

Tartışma

Antik çağlardan beri, gök cisimlerinin hareketlerini tahmin etme sorunu, onu diğerinin yörüngesindeki tek bir cisimden birine indirgeyerek basitleştirilmiştir. Cismin yörüngesi etrafındaki konumunu hesaplarken, genellikle dairesel hareket varsayarak başlamak uygundur. Bu ilk yaklaşım, daha sonra basitçe sabit bir açısal hızın bir zaman miktarı ile çarpılmasıdır. Yaklaşık dairesel konumu, eliptik hareket tarafından üretilene göre düzeltmek için ilerlemenin çeşitli yöntemleri vardır, çoğu karmaşıktır ve birçoğu aşağıdakilerin çözümünü içerir: Kepler denklemi. Aksine, merkez denklemi, uygulanması en kolay yöntemlerden biridir.

Küçük durumlarda eksantriklik Merkezin denklemi tarafından verilen konum, problemi çözmenin diğer herhangi bir yöntemi kadar doğru olabilir. Bölgedeki cisimler gibi birçok ilgi alanı Güneş Sistemi veya yapay toprağın uydular, bunlara neredeysedairesel yörüngeler. Eksantriklik arttıkça ve yörüngede daha eliptik hale geldikçe, denklemin doğruluğu azalır ve en yüksek değerlerde tamamen başarısız olur, dolayısıyla bu tür yörüngeler için kullanılmaz.

Modern formundaki denklem, herhangi bir rasgele doğruluk düzeyinde kesilebilir ve sadece en önemli terimlerle sınırlandırıldığında, tam doğruluk önemli olmadığında gerçek konumun kolayca hesaplanan bir yaklaşık değerini üretebilir. Bu tür yaklaşımlar, örneğin, iteratif çözümler için başlangıç değerleri olarak kullanılabilir. Kepler denklemi,^[1] veya atmosferik etkiler nedeniyle çok hassas bir şekilde tahmin edilemeyen yükselme veya ayar sürelerinin hesaplanmasında.

Antik Yunanlılar, özellikle Hipparchus, merkezin denklemini şu şekilde biliyordu: prostaferez Gezegenlerin hareketinin geometrisine ilişkin anlayışları aynı olmasa da.^[2] Kelime denklem (Latince, aequatio, -onis) şimdiki anlamda astronomi. Tarafından belirlendi ve kullanıldı Kepler, gibi gerçek hareketi elde etmek için ortalama harekete eklenmesi veya çıkarılması gereken hesaplama ile belirlenen değişken miktar. Astronomide terim zaman denklemi benzer bir anlamı var.^[3] Merkezin modern formdaki denklemi, huzursuzluk analiz, yani bir üçüncü vücut açık iki cisim hareketi.^[4]^[5]

Seri genişletme

Maksimum hata seri genişleme merkezin denkleminin radyan, bir fonksiyonu olarak yörünge eksantrikliği (alt eksen) ve güç nın-nin e Serinin kesildiği (sağ eksen). Düşük eksantriklikte (grafiğin sol tarafı), doğru sonuçlar elde etmek için serinin yüksek sıraya taşınmasına gerek olmadığını unutmayın.

Merkezin bir fonksiyonu olarak seri genişletilmiş denklemi anomali demek çeşitli için eksantriklikler, merkezin denklemi de kesilerek e⁷ tüm eğriler için. Kesilmiş denklemin yüksek eksantriklikte başarısız olduğunu ve bir salınımlı eğri.

Kepler hareketinde, cismin koordinatları her yörünge ile aynı değerleri izler; periyodik fonksiyon. Bu tür işlevler şu şekilde ifade edilebilir: periyodik seri sürekli artan herhangi bir açısal değişkenin^[6] ve en çok ilgi duyulan değişken, anomali demek, $M$ . Zamanla tekdüze olarak arttığı için, herhangi bir değişkeni ortalama anormallikte bir dizi olarak ifade etmek, esasen onu zaman cinsinden ifade etmekle aynıdır. Çünkü eksantriklik, $e$ Yörüngenin değeri küçükse, serinin katsayıları güçleri cinsinden geliştirilebilir $e$ .^[5] Bu seriler kesik biçimde sunulabilirken, bir toplamı temsil ettiklerini unutmayın. sonsuz terim sayısı.^[7]

Serisi $ν$ , gerçek anormallik açısından en uygun şekilde ifade edilebilir $M$ , $e$ ve Bessel fonksiyonları birinci türden^[8]

{ displaystyle nu = M + 2 toplam _ {s = 1} ^ { infty} { frac {1} {s}} sol {J_ {s} (se) + toplamı _ {p = 1} ^ { infty} beta ^ {p} left [J_ {sp} (se) + J_ {s + p} (se) right] sağ } sin sM,}

nerede

{ displaystyle J_ {n} (se)}

bunlar Bessel fonksiyonları ve

{ displaystyle beta = { frac {1} {e}} left (1 - { sqrt {1-e ^ {2}}} sağ).}

^[9]

Sonuç radyan.

Bessel fonksiyonları aşağıdaki kuvvetlerde genişletilebilir: $x$ tarafından,^[10]

{ displaystyle J_ {n} (x) = { frac {1} {n!}} sol ({ frac {x} {2}} sağ) ^ {n} toplamı _ {m = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { left ({ frac {x} {2}} right) ^ {2m}} {m! prod _ {k = 1} ^ {m} (n + k)}}}

ve $β m$ tarafından,^[11]

{ displaystyle beta ^ {m} = sol ({ frac {e} {2}} sağ) ^ {m} sol [1 + m toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(2n + m-1)!} {n! (n + m)!}} left ({ frac {e} {2}} sağ) ^ {2n} sağ].}

İkame etme ve azaltma, denklemi $ν$ olur (sırayla kesilir $e 7$ ),^[8]

{ displaystyle { begin {align} nu = M & + left (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107} {4608}} e ^ {7} right) sin M & {} + left ({ frac {5} {4}} e ^ {2} - { frac {11} {24}} e ^ {4} + { frac {17} {192}} e ^ {6} right) sin 2M & {} + left ({ frac {13} { 12}} e ^ {3} - { frac {43} {64}} e ^ {5} + { frac {95} {512}} e ^ {7} sağ) sin 3M & { } + left ({ frac {103} {96}} e ^ {4} - { frac {451} {480}} e ^ {6} sağ) sin 4M & {} + sol ({ frac {1097} {960}} e ^ {5} - { frac {5957} {4608}} e ^ {7} sağ) sin 5M & {} + { frac {1223} {960}} e ^ {6} sin 6M + { frac {47273} {32256}} e ^ {7} sin 7M + cdots end {hizalı}}}

ve tanımı gereği, hareketli $M$ sol tarafa,

${ displaystyle nu -M = sol (2e - { frac {1} {4}} e ^ {3} + { frac {5} {96}} e ^ {5} + { frac {107 } {4608}} e ^ {7} sağ) sin M + cdots}$

merkezin denklemini verir.

Bu denklem bazen alternatif bir şekilde türetilir ve güçleri cinsinden sunulur. $e$ katsayıları ile $günah M$ (sırayla kesildi $e 6$ ),

{ displaystyle { begin {align} nu = M & {} + 2e sin M + { frac {5} {4}} e ^ {2} sin 2M & {} + { frac {e ^ {3}} {12}} (13 sin 3M-3 sin M) & {} + { frac {e ^ {4}} {96}} (103 sin 4M-44 sin 2M) & {} + { frac {e ^ {5}} {960}} (1097 sin 5M-645 sin 3M + 50 sin M) & {} + { frac {e ^ {6 }} {960}} (1223 sin 6M-902 sin 4M + 85 sin 2M) + cdots end {hizalı}}}

yukarıdaki formla aynıdır.^[12]^[13]

Küçük için $e$ , seri hızla birleşiyor. Eğer $e$ 0.6627'yi aşıyor ... bazı değerleri için sapıyor $M$ , ilk keşfeden Pierre-Simon Laplace.^[12]^[14]

Örnekler

	yörünge eksantrikliği^[15]	merkezin maksimum denklemi (gösterildiği gibi kesilmiş seri)
	yörünge eksantrikliği^[15]	e⁷	e³	e²
Venüs	0.006777	0.7766°	0.7766°	0.7766°
Dünya	0.01671	1.915°	1.915°	1.915°
Satürn	0.05386	6.174°	6.174°	6.186°
Mars	0.09339	10.71°	10.71°	10.77°
Merkür	0.2056	23.68°	23.77°	23.28°

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ ^a ^b Vallado, David A. (2001). Astrodinamiğin Temelleri ve Uygulamaları (ikinci baskı). Microcosm Press, El Segundo, CA. s. 82. ISBN 1-881883-12-4.
^ Narrien, John (1833). Astronominin Kökeni ve Gelişiminin Tarihsel Bir Hesabı. Baldwin ve Cradock, Londra. pp.230 –231.
^ Capderou, Michel (2005). Uydular Yörüngeler ve Görevler. Springer-Verlag. s.23. ISBN 978-2-287-21317-5.
^ Moulton, Orman Ray (1914). Gök Mekaniğine Giriş (revize edilmiş ikinci baskı). Macmillan Co., New York. s. 165., şurada Google Kitapları
^ ^a ^b Akıllı, W. M. (1953). Gök Mekaniği. Longmans, Green and Co., Londra. s. 26.
^ Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). Gök Mekaniği Yöntemleri. Academic Press, New York ve Londra. s.60.
^ Vallado, David A. (2001). s. 80
^ ^a ^b Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 77.
^ Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 62.
^ Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 68.
^ Akıllı, W. M. (1953). s. 32.
^ ^a ^b Moulton, Orman Ray (1914). s. 171–172.
^ Danby, J.M.A. (1988). Gök Mekaniğinin Temelleri. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. s. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.
^ Plummer, H.C (1918). Dinamik Astronomi Üzerine Tanıtıcı Bir İnceleme. Cambridge University Press. pp.46 –47.
^ Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., editörler. (2013). Astronomik Almanak'a Açıklayıcı Ek (3. baskı). Üniversite Bilim Kitapları, Mill Valley, CA. s. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

daha fazla okuma

Marth, A. (1890). Orta eksantrikliklerin eliptik yörüngelerinde merkez denkleminin hesaplanması üzerine. Royal Astronomical Society'nin Aylık Bildirimleri, Cilt. 50, p. 502. Merkezin denklemini sıraya verir e¹⁰.
Morrison, J. (1883). Eksantrik anomalinin hesaplanmasında, ortalama anomali ve eksantriklik açısından bir gezegenin merkez ve yarıçap vektörünün denklemi. Royal Astronomical Society'nin Aylık Bildirimleri, Cilt. 43, p. 345. Merkez denklemini sıraya verir e¹².
Morrison, J. (1883). Hatalar. Royal Astronomical Society'nin Aylık Bildirimleri, Cilt. 43, p. 494.

[Vallado82-1] Vallado, David A. (2001). Astrodinamiğin Temelleri ve Uygulamaları (ikinci baskı). Microcosm Press, El Segundo, CA. s. 82. ISBN 1-881883-12-4.

[2] Narrien, John (1833). Astronominin Kökeni ve Gelişiminin Tarihsel Bir Hesabı. Baldwin ve Cradock, Londra. pp.230 –231.

[3] Capderou, Michel (2005). Uydular Yörüngeler ve Görevler. Springer-Verlag. s.23. ISBN 978-2-287-21317-5.

[4] Moulton, Orman Ray (1914). Gök Mekaniğine Giriş (revize edilmiş ikinci baskı). Macmillan Co., New York. s. 165., şurada Google Kitapları

[Smart26-5] Akıllı, W. M. (1953). Gök Mekaniği. Longmans, Green and Co., Londra. s. 26.

[6] Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). Gök Mekaniği Yöntemleri. Academic Press, New York ve Londra. s.60.

[7] Vallado, David A. (2001). s. 80

[B&C77-8] Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 77.

[9] Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 62.

[10] Brouwer, Dirk; Clemence Gerald M. (1961). s. 68.

[11] Akıllı, W. M. (1953). s. 32.

[Moulton171-12] Moulton, Orman Ray (1914). s. 171–172.

[13] Danby, J.M.A. (1988). Gök Mekaniğinin Temelleri. Willmann-Bell, Inc., Richmond, VA. s. 199–200. ISBN 0-943396-20-4.

[14] Plummer, H.C (1918). Dinamik Astronomi Üzerine Tanıtıcı Bir İnceleme. Cambridge University Press. pp.46 –47.

[15] Seidelmann, P. Kenneth; Urban, Sean E., editörler. (2013). Astronomik Almanak'a Açıklayıcı Ek (3. baskı). Üniversite Bilim Kitapları, Mill Valley, CA. s. 338. ISBN 978-1-891389-85-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]