Tam çift - Exact couple

Matematikte bir tam çift, Nedeniyle William S. Massey  (1952 ), genel bir kaynaktır spektral diziler. Özellikle cebirsel topoloji; Örneğin, Serre spektral dizisi ilk önce tam bir çift oluşturularak inşa edilebilir.

Tam bir çiftin tanımı ve ondan bir spektral dizinin inşası için (hemen olan), bkz. spektral sıra # Tam çiftler. Temel bir örnek için bkz. Bockstein spektral dizisi. Bu makale ek materyalleri içermektedir.

Filtrelenmiş bir kompleksin tam çifti

İzin Vermek R tartışma boyunca sabitlenen bir halka olabilir. Not eğer R dır-dir Z, sonra modüller bitti R aynı şey değişmeli gruplar.

Filtrelenmiş her bir modül zinciri kompleksi, aşağıdaki gibi sırayla bir spektral diziyi belirleyen kesin bir çifti belirler. İzin Vermek C tamsayılarla derecelendirilmiş bir zincir kompleksi olabilir ve artan bir filtrasyon verildiğini varsayalım: her tam sayı için p, komplekslerin dahil edilmesi:

Filtrelemeden biri ilişkili dereceli kompleks:

iki dereceli ve spektral dizinin sıfırıncı sayfası olan:

Her sabitlenmiş ilk sayfayı almak için p, komplekslerin kısa dizisine bakarız:

Uzun ve kesin bir homoloji dizisi elde ettiğimizden: (p hala düzeltildi)

Gösterimle , yukarıda okur:

bu kesinlikle tam bir çift ve diferansiyel ile bir komplekstir . Bu çiftin türetilmiş çifti ikinci sayfayı verir ve biz yineleriz. Sonunda kompleksler elde edilir diferansiyel ile d:

Sonraki lemma, spektral sekans için daha açık bir formül verir; özellikle, yukarıda oluşturulan spektral dizinin, aşağıdaki formülün tanım olarak kullanıldığı daha geleneksel doğrudan yapıda aynı olduğunu gösterir (cf. Spektral dizi # Filtrelenmiş bir kompleksin spektral dizisi ).

Lemma — İzin Vermek , miras alan -den sınıflandırma . Sonra her biri için p

İspat taslağı:[1][2] Hatırlamak görmek kolaydır:

alt kompleksleri olarak görüldükleri .

Bar için yazacağız . Şimdi eğer , sonra bazı . Öte yandan hatırlamak k birleştiren bir homomorfizmdir, nerede x yaşayan bir temsilci . Böylece şöyle yazabiliriz: bazı . Bu nedenle modulo , verimli .

Ardından, bir sınıfın bir döngü ile temsil edilir x öyle ki . Bu nedenle j tarafından indüklenir , .

Sonuca varıyoruz: beri ,

Teoremi — Eğer ve her biri için n bir tam sayı var öyle ki , sonra spektral dizi Er yakınsamak ; yani, .

Kanıt: Mayıs ayının son bölümüne bakın.

Bir çift kompleksin tam çifti

Bir çift kompleks, iki tam çifti belirler; bu nedenle, iki spektral dizi aşağıdaki gibidir. (Bazı yazarlar iki spektral diziyi yatay ve dikey olarak adlandırır.) çift ​​kompleks olabilir.[3] Gösterimle her biri için sabit p, biz tam bir cochain kompleks dizisine sahibiz:

Bunun kohomolojisini ele almak, kesin bir çifte yol açar:

Simetri ile, yani birinci ve ikinci indeksleri değiştirerek, biri diğer tam çifti de elde eder.

Örnek: Serre spektral dizisi

Serre spektral dizisi bir liflenme:

Şeffaflık uğruna, yalnızca boşluklar CW kompleksleri olduğunda durumu dikkate alırız, F bağlı ve B basitçe bağlantılıdır; genel durum daha fazla teknik içerir (yani, yerel katsayı sistemi ).

Notlar

  1. ^ Mayıs, Kanıtı (7.3)
  2. ^ Weibel 1994 Teorem 5.9.4.
  3. ^ Uygulamalar genellikle cebirsel geometride olduğundan burada kohomolojik gösterimi tercih ediyoruz.

Referanslar

  • Mayıs, J. Peter, Spektral diziler üzerine bir astar (PDF)
  • Massey, William S. (1952), "Cebirsel topolojide kesin çiftler. I, II", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 56: 363–396, doi:10.2307/1969805, BAY  0052770.
  • Weibel, Charles A. (1994), Homolojik cebire giriş, İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 38, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9781139644136, ISBN  0-521-43500-5, BAY  1269324.