Følner dizisi - Følner sequence

İçinde matematik, bir Følner dizisi için grup bir sıra nın-nin setleri belirli bir koşulu tatmin etmek. Bir grubun kendi eylemine göre Følner dizisi varsa, grup uygun. Daha genel bir Følner kavramı ağlar benzer şekilde tanımlanabilir ve çalışma için uygundur sayılamaz gruplar. Følner dizilerinin adı Erling Følner.

Tanım

Bir grup verildiğinde ${ displaystyle G}$ o hareketler sayılabilir bir sette ${ displaystyle X}$, eylem için bir Følner dizisi, sonlu bir dizidir alt kümeler ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, noktalar}$ nın-nin ${ displaystyle X}$ hangi egzoz ${ displaystyle X}$ ve herhangi bir grup öğesi tarafından harekete geçirildiğinde "çok fazla hareket etmeyen". Tam,

Her biri için ${ displaystyle x X'te}$, biraz var ${ displaystyle i}$ öyle ki ${ displaystyle x in F_ {j}}$ hepsi için ${ displaystyle j> i}$, ve

${ displaystyle lim _ {i ile infty} { frac {| gF_ {i} , triangle , F_ {i} |} {| F_ {i} |}} = 0}$ tüm grup elemanları için ${ displaystyle g}$ içinde ${ displaystyle G}$.

Yukarıda kullanılan notasyonun açıklaması:

• ${ displaystyle gF_ {i} }$ setin sonucudur ${ displaystyle F_ {i} }$ tarafından solda hareket ediliyor ${ displaystyle g}$. Form unsurlarından oluşur ${ displaystyle gf}$ hepsi için ${ displaystyle f}$ içinde ${ displaystyle F_ {i}}$.
• ${ displaystyle üçgen}$ ... simetrik fark operatör, yani ${ displaystyle A üçgen B}$ tam olarak setlerden birindeki öğeler kümesidir ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle B}$.
• ${ displaystyle | A |}$ ... kardinalite bir setin ${ displaystyle A}$.

Bu nedenle, bu tanımın söylediği, herhangi bir grup öğesi için ${ displaystyle g}$elementlerin oranı ${ displaystyle F_ {i} }$ tarafından taşınan ${ displaystyle g}$ olarak 0'a gider ${ displaystyle i}$ genişliyor.

Bir ortamda yerel olarak kompakt grup ölçü alanı üzerinde hareket etmek ${ displaystyle (X, mu)}$ daha genel bir tanım var. Sonlu olmak yerine, kümelerin sonlu, sıfır olmayan ölçülere sahip olması gerekir ve bu nedenle Følner gereksinimi şu olacaktır

• ${ displaystyle lim _ {i sonsuza} { frac { mu (gF_ {i} , üçgen , F_ {i})} { mu (F_ {i})}} = 0}$,

ayrık duruma benzer şekilde. Standart durum, sol çeviriyle kendi başına hareket eden grubun durumu olup, bu durumda söz konusu önlemin normalde Haar ölçüsü.

Örnekler

• Herhangi bir sonlu grup ${ displaystyle G}$ önemsiz bir Følner sekansı var ${ displaystyle F_ {i} = G}$ her biri için ${ displaystyle i}$.
• Grubunu düşünün tamsayılar ek olarak kendi başına hareket eder. İzin Vermek ${ displaystyle F_ {i}}$ arasındaki tam sayılardan oluşur ${ displaystyle -i}$ ve ${ displaystyle i}$. Sonra ${ displaystyle gF_ {i}}$ arasındaki tam sayılardan oluşur ${ displaystyle g-i}$ ve ${ displaystyle g + i}$. Büyük için ${ displaystyle i}$simetrik farkın boyutu var ${ displaystyle 2g}$, süre ${ displaystyle F_ {i}}$ boyutu var ${ displaystyle 2i + 1}$. Ortaya çıkan oran ${ displaystyle 2g / (2i + 1)}$olarak 0'a gider ${ displaystyle i}$ genişliyor.
• Følner dizisinin orijinal tanımıyla, sayılabilir bir grup bir Følner dizisine sahiptir. ancak ve ancak uygundur. Bir uygun grup ancak ve ancak sayılabilirse bir Følner dizisine sahiptir. Følner dizisi olan bir grup, ancak ve ancak uygunsa sayılabilir.
• Yerel olarak kompakt bir grup bir Følner dizisine (genelleştirilmiş tanımla) sahiptir ve ancak ve ancak uygunsa ve ikinci sayılabilir.

Sorumluluk kanıtı^{[kaynak belirtilmeli ]}

Bir grubumuz var ${ displaystyle G}$ ve bir Følner dizisi ${ displaystyle F_ {i}}$ve bir ölçü tanımlamamız gerekiyor ${ displaystyle mu}$ açık ${ displaystyle G}$, felsefi olarak konuşursak, ${ displaystyle G}$ herhangi bir alt küme ${ displaystyle A}$ kadar sürer. Følner dizimizi kullanan doğal tanım şöyle olacaktır:

${ displaystyle mu (A) = lim _ {i ila infty} {| A cap F_ {i} | fazla | F_ {i} |}.}$

Elbette, bu sınırın var olması gerekmez. Bu teknikliğin üstesinden gelmek için, bir ultra filtre ${ displaystyle U}$ aralıkları içeren doğal sayılarda ${ displaystyle [n, infty)}$. Sonra bir ultralimit normal yerine limit:

${ displaystyle mu (A) = U- lim {| A cap F_ {i} | fazla | F_ {i} |}.}$

Ultralimitlerin ihtiyacımız olan tüm özelliklere sahip olduğu ortaya çıktı. Yani,

1. ${ displaystyle mu}$ bir olasılık ölçüsü. Yani, ${ displaystyle mu (G) = U- lim 1 = 1}$, çünkü ultralimit, var olduğunda normal sınırla çakışır.
2. ${ displaystyle mu}$ dır-dir sonlu katkı. Bunun nedeni, ultralimitlerin normal limitlerin yaptığı gibi eklemeyle gidip gelmesidir.
3. ${ displaystyle mu}$ dır-dir solda değişmeyen. O zamandan beri

   ${ displaystyle sol | {| gA cap F_ {i} | fazla | F_ {i} |} - {| A cap F_ {i} | fazla | F_ {i} |} sağ | = sol | {| A cap g ^ {- 1} F_ {i} | fazla | F_ {i} |} - {| A cap F_ {i} | fazla | F_ {i} |} sağ |}$

   ${ displaystyle leq {| A cap (g ^ {- 1} F_ {i} , üçgen , F_ {i}) | fazla | F_ {i} |} - 0}$

Følner sıra tanımına göre.

Referanslar

• Erling Følner (1955). "Tam Banach ortalama değerine sahip gruplarda". Mathematica Scandinavica. 3: 243–254.