Alan aritmetiği - Field arithmetic

İçinde matematik, alan aritmetiği bir nesnenin aritmetik özellikleri arasındaki karşılıklı ilişkileri inceleyen bir konudur. alan ve Onun mutlak Galois grubu Elde edilen araçları kullandığı için disiplinler arası bir konudur. cebirsel sayı teorisi, aritmetik geometri, cebirsel geometri, model teorisi teorisi sonlu gruplar ve profinite grupları.

Sonlu mutlak Galois gruplu alanlar

İzin Vermek K tarla ol ve izin ver G = Gal (K) mutlak Galois grubu olabilir. Eğer K dır-dir cebirsel olarak kapalı, sonra G = 1. Eğer K = R gerçek sayılar, o zaman

${displaystyle G = operatorname {Gal} (mathbf {C} / mathbf {R}) = mathbf {Z} / 2mathbf {Z}.}$

Buraya C karmaşık sayıların alanıdır ve Z tam sayıların halkasıdır. Bir Artin ve Schreier teoremi (esasen) bunların sonlu mutlak Galois grupları için tüm olasılıklar olduğunu ileri sürer.

Artin-Schreier teoremi. İzin Vermek K mutlak Galois grubu olan bir alan olmak G sonludur. O zaman ya K ayrılabilir şekilde kapalıdır ve G önemsiz mi yoksa K dır-dir gerçekten kapalı ve G = Z/2Z.

Mutlak Galois grupları tarafından tanımlanan alanlar

Bazı profinite grupları, izomorfik olmayan alanların mutlak Galois grubu olarak ortaya çıkar. Bunun ilk örneği

${displaystyle {hat {mathbf {Z}}} = lim _ {longleftarrow} mathbf {Z} / nmathbf {Z}.}$

Bu grup, keyfi bir grubun mutlak Galois grubuna izomorfiktir. sonlu alan. Ayrıca alanın mutlak Galois grubu resmi Laurent serisi C((t)) karmaşık sayılar üzerinde bu grup için izomorftur.

Başka bir örnek elde etmek için, mutlak Galois grupları özgür olan iki izomorfik olmayan alanı aşağıya getiriyoruz (yani ücretsiz profinite grubu ).

• İzin Vermek C fasulye cebirsel olarak kapalı alan ve x bir değişken. Sonra Gal (C(x)), temel değerine eşit dereceden muaftır C. (Bu sonucun nedeni Adrien Douady 0 karakteristiği için ve kökenleri Riemann'ın varoluş teoremi. Keyfi karakteristik bir alan için bunun nedeni David Harbater ve Florian Pop ve daha sonra da kanıtlandı Dan Haran ve Moshe Jarden.)
• Mutlak Galois grubu Gal (Q) (nerede Q rasyonel sayılardır) kompakttır ve dolayısıyla normalleştirilmiş bir Haar ölçüsü. Bir Galois otomorfizmi için s (bu Gal'deki bir elementtir (Q)) İzin Vermek N_s maksimum Galois uzantısı olmak Q o s düzeltmeler. O halde 1 olasılıkla mutlak Galois grubu Gal (N_s) sayılabilir rütbe içermez. (Bu sonucun nedeni Moshe Jarden.)

Yukarıdaki örneklerin aksine, söz konusu alanlar sonlu olarak Q, Florian Pop mutlak Galois gruplarının bir izomorfizminin alanların izomorfizmini verdiğini kanıtlar:

Teorem. İzin Vermek K, L sonlu oluşturulmuş alanlar olmak Q ve izin ver a: Gal (K) → Gal (L) bir izomorfizm olabilir. Sonra cebirsel kapanışların benzersiz bir izomorfizmi vardır, b: K_alg → L_alg, bu indükler a.

Bu daha önceki bir çalışmayı genelleştirir Jürgen Neukirch ve Koji Uchida numara alanlarında.

Sözde cebirsel olarak kapalı alanlar

Bir sözde cebirsel olarak kapalı alan (kısaca PAC) K aşağıdaki geometrik özelliği sağlayan bir alandır. Her biri kesinlikle indirgenemez cebirsel çeşitlilik V üzerinde tanımlanmış K var K-rasyonel nokta.

PAC alanları üzerinde, alanın aritmetik özellikleri ile mutlak Galois grubunun grup teorik özellikleri arasında sıkı bir bağlantı vardır. Bu ruhtaki güzel bir teorem bağlanır Hilbert alanları ω içermeyen alanlarla (K varsa ω içermez gömme sorunu için K düzgün bir şekilde çözülebilir).

Teorem. İzin Vermek K bir PAC alanı olun. Sonra K Hilbertian, ancak ve ancak K ω içermez.

Peter Roquette bu teoremin sağdan sola yönünü kanıtladı ve ters yönü varsaydı. Michael Fried ve Helmut Völklein Roquette varsayımını karakteristik sıfırda kurmak için uygulamalı cebirsel topoloji ve karmaşık analiz. Daha sonra Pop, teoremi geliştirerek keyfi karakteristiği kanıtladı "sert yama ".

Referanslar

• Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2004). Alan aritmetiği. Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (2. revize ve büyütülmüş baskı). Springer-Verlag. ISBN  3-540-22811-X. Zbl  1055.12003.
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Sayı Alanlarının Kohomolojisi, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, BAY  1737196, Zbl  0948.11001