Tanım alanı - Field of definition

İçinde matematik, tanım alanı bir cebirsel çeşitlilik V aslında en küçüğü alan katsayılarının polinomlar tanımlama V ait olabilir. Bir alandaki katsayılarla verilen polinomlar Kdaha küçük bir alan olup olmadığı belli olmayabilir kve üzerinde tanımlanan diğer polinomlar k, hala tanımlayan V.

Tanım alanı konusu, diyofant geometrisi.

Gösterim

Bu makale boyunca, k bir alanı belirtir. cebirsel kapanış "alg" ın üst simgesi eklenerek gösterilir, ör. cebirsel kapanışı k dır-dir k^alg. Semboller Q, R, C, ve F_p sırasıyla alanını temsil eder rasyonel sayılar, alanı gerçek sayılar, alanı Karışık sayılar, ve sonlu alan kapsamak p elementler. Afin n-Uzay bir tarla üzerinde F ile gösterilir Birⁿ(F).

Afin ve projektif çeşitler için tanımlar

Aşağıda belirtilen sonuçlar ve tanımlar afin çeşitleri, tercüme edilebilir projektif çeşitleri, değiştirerek Birⁿ(k^alg) ile projektif uzay boyut n - 1 üst k^algve tüm polinomların homojen.

Bir k-cebirsel küme sıfır konumudur Birⁿ(k^alg) polinom halkasının bir alt kümesinin k[x₁, …, x_n]. Bir k-Çeşitlilik bir k- indirgenemeyen cebirsel küme, yani kesinlikle daha küçük ikisinin birleşimi değildir k- cebirsel kümeler. Bir k-morfizm bir düzenli işlev arasında k- tanımlayıcı polinomların katsayılarına ait cebirsel kümeler k.

Sıfır konumunun dikkate alınmasının bir nedeni Birⁿ(k^alg) ve yok Birⁿ(k) bu, iki farklı k- cebirsel kümeler X₁ ve X₂, kavşaklar X₁∩Birⁿ(k) ve X₂∩Birⁿ(k) aynı olabilir; aslında, sıfır konum Birⁿ(k) herhangi bir alt kümesinin k[x₁, …, x_n] a'nın sıfır konumudur tek öğesi k[x₁, …, x_n] Eğer k cebirsel olarak kapalı değil.

Bir k-çeşitliliğe a denir Çeşitlilik Öyleyse kesinlikle indirgenemez, yani kesinlikle daha küçük olan ikisinin birleşimi değil k^alg- cebirsel kümeler. Çeşitli V dır-dir üzerinde tanımlanmış k eğer her polinom k^alg[x₁, …, x_n] yok olan V ... doğrusal kombinasyon (bitmiş k^alg) içindeki polinomların k[x₁, …, x_n] yok olan V. Bir k-cebirsel küme aynı zamanda bir L-sonsuz sayıda alt alan için cebirsel küme L nın-nin k^alg. Bir tanım alanı çeşitli V bir alt alandır L nın-nin k^alg öyle ki V bir L-çeşitlilik üzerinden tanımlandı L.

Eşdeğer olarak, a k-Çeşitlilik V üzerinde tanımlanan bir çeşittir k eğer ve sadece fonksiyon alanı k(V) nın-nin V bir normal uzatma nın-nin kanlamında Weil. Bu, her alt kümesinin k(V) yani Doğrusal bağımsız bitmiş k ayrıca doğrusal olarak bağımsızdır. k^alg. Başka bir deyişle, k vardır doğrusal olarak ayrık.

André Weil bir çeşitliliğin tüm tanım alanlarının kesiştiğini kanıtladı V kendisi bir tanım alanıdır. Bu, herhangi bir çeşidin benzersiz, minimal bir tanım alanına sahip olduğunu söylemeyi haklı çıkarır.

Örnekler

1. Sıfır noktası x₁²+ x₂² hem bir Q-çeşitlilik ve bir Q^alg- cebirsel küme ama ne çeşit ne de Q^alg-çeşitlilik, çünkü bu birliği Q^algpolinomlar tarafından tanımlanan çeşitler x₁ + ix₂ ve x₁ - benx₂.
2. İle F_p(t) bir aşkın uzantı nın-nin F_ppolinom x₁^p- t eşittir (x₁ - t^1/p) ^p polinom halkasında (F_p(t))^alg[x₁]. F_p(t) cebirsel küme V tarafından tanımlandı x₁^p- t çeşitlidir; tek bir noktadan oluştuğu için kesinlikle indirgenemez. Fakat V üzerinde tanımlanmadı F_p(t), dan beri V aynı zamanda sıfır konumudur x₁ - t^1/p.
3. karmaşık projektif çizgi projektif R-Çeşitlilik. (Aslında, bir çeşittir Q minimal tanım alanı olarak.) gerçek yansıtmalı çizgi Riemann küresinin ekvatoru olarak, koordinatsal eylemi karmaşık çekim karmaşık projektif çizgi üzerinde aynı boylam, ancak zıt enlemlere sahip noktaları değiştirir.
4. Projektif R-Çeşitlilik W homojen polinom ile tanımlanan x₁²+ x₂²+ x₃² aynı zamanda minimum tanım alanına sahip bir çeşittir Q. Aşağıdaki harita, bir C-izomorfizm karmaşık projektif hattan W: (a,b) → (2ab, a²-b², -ben(a²+b²)). Tanımlama W Riemann küresi ile bu haritayı kullanarak, karmaşık çekim açık W kürenin zıt noktalarını değiştirir. Karmaşık yansıtmalı çizgi olamaz Rizomorfik W çünkü eski var gerçek noktalar, karmaşık eşlenimle sabitlenen noktalar, ikincisi ise sabit değildir.

Şema-teorik tanımlar

Çeşitleri keyfi alanlara göre tanımlamanın bir avantajı teorisi aracılığıyla şemalar bu tür tanımların içsel olması ve ortam afinine yerleştirme içermemesidir. n-Uzay.

Bir kcebirsel set bir ayrılmış ve indirgenmiş şeması sonlu tip bitmiş Spec (k). Bir k-Çeşitlilik bir indirgenemez k- cebirsel küme. Bir k-morfizm bir morfizm arasında k- şemalar olarak kabul edilen cebirsel kümeler bitmiş Spec (k).

Her cebirsel uzantıya L nın-nin k, L-bir verili ile ilişkili cebirsel küme kcebirsel set V ... şemaların fiber ürünü V ×_{Spec (k)} Spec (L). Bir k-çeşitlilik, ilişkili ise kesinlikle indirgenemez k^alg- cebirsel küme indirgenemez bir şemadır; bu durumda k-çeşitliliğe a denir Çeşitlilik. Kesinlikle indirgenemez k-çeşitlilik üzerinde tanımlanmış k eğer ilişkili ise k^alg- cebirsel küme, indirgenmiş bir şemadır. Bir tanım alanı çeşitli V bir alt alandır L nın-nin k^alg öyle ki bir k∩L-Çeşitlilik W öyle ki W ×_{Spec (k∩L)} Spec (k) izomorfiktir V ve son nesne indirgenmiş planlar kategorisinde W ×_{Spec (k∩L)} Spec (L) bir L-çeşitlilik üzerinden tanımlandı L.

Afin ve projektif çeşitlerin tanımlarına benzer şekilde, bir k-çeşitlilik, üzerinde tanımlanan bir çeşittir k Eğer sap of yapı demeti -de genel nokta normal bir uzantısıdır k; ayrıca her çeşidin minimum bir tanım alanı vardır.

Şema-teorik tanımın bir dezavantajı şudur: k sahip olamaz Ldeğerli nokta Eğer L bir uzantısı değil k. Örneğin, akılcı nokta (1,1,1) denklemin bir çözümüdür x₁ + ix₂ - (1 + i)x₃ ama karşılık gelen Q[i] -çeşitlilik V Spec yok (Q) değerli nokta. İki tanımı tanım alanı ayrıca tutarsızdır, ör. (şema-teorik) minimal tanım alanı V dır-dir Qilk tanımda bu olurdu Q[ben]. Bu tutarsızlığın nedeni, şema-teorik tanımların yalnızca polinom kümesini takip etmesidir. esas değişikliğine kadar. Bu örnekte, bu sorunları önlemenin bir yolu, Q-variety Spec (Q[x₁,x₂,x₃]/(x₁²+ x₂²+ 2x₃²- 2x₁x₃ - 2x₂x₃)), kiminle ilişkili Q[i] - cebirsel küme, Q[i] -çeşitlilik Özelliği (Q[ben][x₁,x₂,x₃]/(x₁ + ix₂ - (1 + i)x₃)) ve karmaşık eşleniği.

Mutlak Galois grubunun eylemi

mutlak Galois grubu Gal(k^alg/k) nın-nin k doğal olarak hareketler sıfır noktasında Birⁿ(k^alg) polinom halkasının bir alt kümesinin k[x₁, …, x_n]. Genel olarak, eğer V bir plan bitti k (ör. a kcebirsel küme), Gal (k^alg/k) doğal olarak etki eder V ×_{Spec (k)} Spec (k^alg) Spec üzerindeki eylemi aracılığıyla (k^alg).

Ne zaman V üzerinde tanımlanan bir çeşittir mükemmel alan k, şema V şemadan kurtarılabilir V ×_{Spec (k)} Spec (k^alg) Gal eylemiyle birlikte (k^alg/k) ikinci şemada: yapı demetinin bölümleri V açık bir alt kümede U tam olarak bölümler yapı demetinin V ×_{Spec (k)} Spec (k^alg) üzerinde U ×_{Spec (k)} Spec (k^alg) kimin kalıntılar her Gal'da sabittir (k^alg/k)-yörünge içinde U ×_{Spec (k)} Spec (k^alg). Afin durumda, bu, mutlak Galois grubunun sıfır konumdaki eyleminin alt kümesini kurtarmak için yeterli olduğu anlamına gelir. k[x₁, …, x_n] yok olan polinomlardan oluşur.

Genel olarak, bu bilgiler kurtarmak için yeterli değildir V. İçinde misal sıfır noktasının x₁^p- t içinde (F_p(t))^alg, çeşitlilik tek bir noktadan oluşur ve bu nedenle, mutlak Galois grubunun eylemi, yok olan polinom idealinin, x₁ - t^1/p, tarafından x₁^p- tveya aslında x₁ - t^1/p başka bir gücüne yükseltildi p.

Herhangi bir alt alan için L nın-nin k^alg Ve herhangi biri L-Çeşitlilik Vbir otomorfizm σ k^alg eşlenecek V izomorfik olarak bir σ (L)-Çeşitlilik.

daha fazla okuma

• Fried, Michael D .; Moshe Jarden (2005). Alan Aritmetiği. Springer. s. 780. doi:10.1007 / b138352. ISBN  3-540-22811-X.
  • Bu makaledeki terminoloji, Weil'in çeşitler için terminolojisini benimseyen Fried and Jarden'in metnindeki terminolojiye uymaktadır. Buradaki ikinci baskı referansı ayrıca, bu isimlendirme ile daha modern olan şemalar arasında bir sözlük sağlayan bir alt bölüm içerir.
• Kunz Ernst (1985). Değişmeli Cebire ve Cebirsel Geometriye Giriş. Birkhäuser. s. 256. ISBN  0-8176-3065-1.
  • Kunz, kesinlikle afin ve projektif çeşitler ve şemalarla ilgilenir, ancak bir dereceye kadar Weil'in çeşitler için tanımları ve Grothendieck şemaların tanımları.
• Mumford, David (1999). Kırmızı Çeşitler ve Şemalar Kitabı. Springer. s. 198–203. doi:10.1007 / b62130. ISBN  3-540-63293-X.
  • Mumford, kitabın sadece bir bölümünü tanım alanı gibi aritmetik kaygılar üzerine harcıyor, ancak içinde bu makalede belirtilen birçok şema-teorik sonucu tam bir genel olarak kapsıyor.