Uydurma lemma - Fitting lemma

Lemma uydurmamatematikçinin adını taşıyan Hans Fitting, temel bir ifadedir soyut cebir. Varsayalım M bir modül biraz fazla yüzük. Eğer M dır-dir karıştırılamaz ve sonlu uzunluk sonra her endomorfizm nın-nin M ya bir otomorfizm veya üstelsıfır.^[1]

Acil bir sonuç olarak, görüyoruz ki endomorfizm halkası her sonlu uzunluklu ayrıştırılamaz modülün yerel.

Fitting'in lemmasının bir versiyonu genellikle grupların temsil teorisi. Aslında bu, yukarıdaki sürümün özel bir durumudur, çünkü her K-bir grubun doğrusal gösterimi G üzerinden bir modül olarak görülebilir grup cebiri KİLOGRAM.

Kanıt

Fitting'in lemmasını kanıtlamak için bir endomorfizm alıyoruz f nın-nin M ve aşağıdaki iki alt modül dizisini göz önünde bulundurun:

• İlk dizi, azalan dizidir im (f), ben(f ²), ben(f ³),…,
• ikinci sıra, yükselen dizidir ker (f), ker (f ²), ker (f ³),…

Çünkü M sonlu bir uzunluğa sahiptir, ilk sıra olamaz kesinlikle sonsuza kadar azalır, bu yüzden biraz n im ile (f ⁿ) = im (f ⁿ⁺¹). Aynı şekilde (as M sonlu uzunluğa sahiptir) ikinci sıra olamaz kesinlikle sonsuza kadar artıyor, bu yüzden biraz var m ker ile (f ^m) = ker (f ^m+1). Kolayca görülüyor ki im (f ⁿ) = im (f ⁿ⁺¹) im (f ⁿ) = im (f ⁿ⁺¹) = im (f ⁿ⁺²) =… Ve bu ker (f ^m) = ker (f ^m+1) ker (f ^m) = ker (f ^m+1) = ker (f ^m+2) =…. Putting k = maks (m,n), şimdi şu im (f ^k) = im (f ^2k) ve ker (f ^k) = ker (f ^2k). Bu nedenle ${ displaystyle mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ) cap mathrm {im} sol (f ^ {k} sağ) = 0}$ (çünkü her biri ${ displaystyle x in mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ) cap mathrm {im} sol (f ^ {k} sağ)}$ tatmin eder ${ displaystyle x = f ^ {k} sol (y sağ)}$ bazı ${ displaystyle y M olarak}$ ama aynı zamanda ${ displaystyle f ^ {k} sol (x sağ) = 0}$, Böylece ${ displaystyle 0 = f ^ {k} sol (x sağ) = f ^ {k} sol (f ^ {k} sol (y sağ) sağ) = f ^ {2k} sol ( y sağ)}$bu nedenle ${ displaystyle y in mathrm {ker} sol (f ^ {2k} sağ) = mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ)}$ ve böylece ${ displaystyle 0 = f ^ {k} sol (y sağ) = x}$) ve ${ displaystyle mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ) + mathrm {im} sol (f ^ {k} sağ) = M}$ (her biri için ${ displaystyle x M olarak}$, biraz var ${ displaystyle y M olarak}$ öyle ki ${ Displaystyle f ^ {k} sol (x sağ) = f ^ {2k} sol (y sağ)}$ (dan beri ${ displaystyle f ^ {k} sol (x sağ) in mathrm {im} sol (f ^ {k} sağ) = mathrm {im} sol (f ^ {2k} sağ) }$), ve böylece ${ displaystyle f ^ {k} sol (xf ^ {k} sol (y sağ) sağ) = f ^ {k} sol (x sağ) -f ^ {k} sol (f ^ {k} left (y sağ) sağ) = f ^ {k} left (x sağ) -f ^ {2k} left (y sağ) = 0}$, Böylece ${ displaystyle x-f ^ {k} sol (y sağ) içinde mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ)}$ ve böylece ${ displaystyle x in mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ) + f ^ {k} sol (y sağ) subseteq mathrm {ker} sol (f ^ {k} sağ) + mathrm {im} left (f ^ {k} sağ)}$). Sonuç olarak, M ... doğrudan toplam imden (f ^k) ve ker (f ^k). Çünkü M ayrıştırılamaz, bu iki zirveden biri şuna eşit olmalıdır: Mve diğeri {0} değerine eşit olmalıdır. İki zirveden hangisinin sıfır olduğuna bağlı olarak, şunu buluruz f önyargılı veya üstelsıfırdır.^[2]

Notlar

Referanslar

• Jacobson, Nathan (2009), Temel cebir, 2 (2. baskı), Dover, ISBN  978-0-486-47187-7