Fourier genlik duyarlılığı testi - Fourier amplitude sensitivity testing

Fourier genlik duyarlılığı testi (FAST) varyansa dayalı bir globaldir duyarlılık analizi yöntem. Duyarlılık değeri aşağıdakilere göre tanımlanır: koşullu varyanslar belirsiz girdilerin çıktı üzerindeki münferit veya ortak etkilerini gösteren.

HIZLI ilk olarak, birden çok sayıdaki katsayılar aracılığıyla koşullu varyansları temsil eder Fourier serisi çıktı işlevinin genişletilmesi. Sonra ergodik teorem Fourier katsayılarının değerlendirilmesinde çok boyutlu integrali tek boyutlu bir integrale dönüştürmek için uygulanır. Dönüşümü gerçekleştirmek için bir dizi orantısız frekans gerekir ve çoğu frekans irrasyoneldir. Hesaplamayı kolaylaştırmak için irrasyonel frekanslar yerine bir dizi tam sayı frekansı seçilir. Tamsayı frekansları kesinlikle orantısız değildir, bu da çok boyutlu integral ile dönüştürülmüş tek boyutlu integral arasında bir hataya neden olur. Bununla birlikte, tamsayı frekansları, herhangi bir sırayla orantısız olacak şekilde seçilebilir, böylece hata, teoride herhangi bir hassasiyet gerekliliğini karşılayarak kontrol edilebilir. İntegral dönüşümde tamsayı frekansları kullanıldığında, tek boyutlu integralde sonuçlanan fonksiyon periyodiktir ve integralin yalnızca tek bir periyotta değerlendirilmesi gerekir. Daha sonra, sürekli integral fonksiyonu, eğer bir sonlu örnekleme noktası kümesinden kurtarılabildiğinden, Nyquist-Shannon örnekleme teoremi tatmin edildiğinde, tek boyutlu integral, oluşturulan örnekleme noktalarında fonksiyon değerlerinin toplamından değerlendirilir.

HIZLI, duyarlılıkları hesaplamak için diğer varyans tabanlı küresel duyarlılık analizi yöntemlerine göre daha etkilidir. Monte Carlo entegrasyonu. Bununla birlikte, FAST ile yapılan hesaplama genellikle "ana etki" veya "toplam etki" ile ilgili hassasiyetlerle sınırlıdır.

Tarih

FAST yöntemi, 1973'te birleştirilmiş kimyasal reaksiyon sistemleri çalışmasında ortaya çıktı.^[1]^[2] ve hesaplama hatasının ayrıntılı analizi daha sonra 1975'te sunuldu.^[3] Orijinal yöntemde yalnızca “ana etkiye” atıfta bulunan birinci dereceden duyarlılık endeksleri hesaplanmıştır. Bir FORTRAN cebirsel veya diferansiyel denklem sistemlerini analiz edebilen bilgisayar programı 1982 yılında yayınlandı.^[4] 1990'larda, HIZLI duyarlılık endeksleri ile Sobol'un endeksleri arasındaki ilişki, Monte Carlo simülasyonu genel çerçevesinde ortaya çıktı ANOVA benzeri ayrışma ^[5] ve “toplam etkiye” atıfta bulunan duyarlılık endekslerini hesaplayabilen genişletilmiş bir FAST yöntemi geliştirilmiştir.^[6]

Yapı temeli

Varyansa dayalı hassasiyet

Varyansa dayalı bir yöntemin duyarlılık endeksleri, analiz için işlevin ANOVA benzeri ayrıştırılmasıyla hesaplanır. Farz edin ki fonksiyon ${ displaystyle Y = f sol ( mathbf {X} sağ) = f sol (X_ {1}, X_ {2}, noktalar, X_ {n} sağ)}$ nerede ${ displaystyle 0 leq X_ {j} leq 1, j = 1, noktalar, n}$ . ANOVA benzeri ayrıştırma

{ displaystyle f sol (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n} sağ) = f_ {0} + toplamı _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} left (X_ {j} right) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} sum _ {k = j + 1} ^ {n} f_ {jk} left (X_ {j}, X_ {k} sağ) + cdots + f_ {12 nokta n}}

şartıyla ${ displaystyle f_ {0}}$ sabittir ve toplamlardaki her bir terimin integrali sıfırdır, yani

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} noktalar j_ {r}} sol (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, noktalar, X_ {j_ {r}} sağ) dX_ {j_ {k}} = 0, { text {}} 1 leq k leq r.}

Her terimin toplam varyansına katkısını karakterize eden koşullu varyans ${ displaystyle f sol ( mathbf {X} sağ)}$ dır-dir

{ displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} noktalar j_ {r}} ^ {2} left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, dots, X_ {j_ {r}} sağ) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} noktalar dX_ {j_ {r}}.}

Toplam varyans, tüm koşullu varyansların toplamıdır

{ displaystyle V = toplam _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + toplam _ {j = 1} ^ {n-1} toplam _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + cdots + V_ {12 nokta n}.}

Duyarlılık indeksi, normalleştirilmiş koşullu varyans olarak tanımlanır:

{ displaystyle S_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}} = { frac {V_ {j_ {1} j_ {2} dots j_ {r}}} {V}}}

özellikle birinci dereceden hassasiyet

{ displaystyle S_ {j} = { frac {V_ {j}} {V}}}

girdinin ana etkisini gösteren ${ displaystyle X_ {j}}$ .

Çoklu Fourier serisi

ANOVA benzeri ayrıştırmayı hesaplamanın bir yolu, çoklu Fourier serilerine dayanmaktadır. İşlev ${ displaystyle f sol ( mathbf {X} sağ)}$ birimdeki hiper küp, çoklu periyodik bir fonksiyona genişletilebilir ve çoklu Fourier serisi açılımı

{ displaystyle f sol (X_ {1}, X_ {2}, noktalar, X_ {n} sağ) = toplam _ {m_ {1} = - infty} ^ { infty} toplam _ { m_ {2} = - infty} ^ { infty} cdots sum _ {m_ {n} = - infty} ^ { infty} C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n }} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} sağ) { bigr]}, { text {tamsayılar için}} m_ {1}, m_ {2}, dots, m_ {n}}

Fourier katsayısı nerede

{ displaystyle C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f sol (X_ { 1}, X_ {2}, noktalar, X_ {n} sağ) exp { bigl [} -2 pi i left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + noktalar + m_ {n} X_ {n} sağ) { bigr]}.}

ANOVA benzeri ayrıştırma

{ displaystyle { begin {align} f_ {0} & = C_ {00 dots 0} f_ {j} & = sum _ {m_ {j} neq 0} C_ {0 dots m_ {j } dots 0} exp { bigl [} 2 pi im_ {j} X_ {j} { bigr]} f_ {jk} & = sum _ {m_ {j} neq 0} toplamı _ {m_ {k} neq 0} C_ {0 dots m_ {j} dots m_ {k} dots 0} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ {j} X_ {j } + m_ {k} X_ {k} sağ) { bigr]} f_ {12 dots n} & = sum _ {m_ {1} neq 0} sum _ {m_ {2} neq 0} cdots sum _ {m_ {n} neq 0} C_ {m_ {1} m_ {2} dots m_ {n}} exp { bigl [} 2 pi i left (m_ { 1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + cdots + m_ {n} X_ {n} sağ) { bigr]}. End {hizalı}}}

Birinci dereceden koşullu varyans

{ displaystyle { başla {hizalı} V_ {j} & = int _ {0} ^ {1} f_ {j} ^ {2} sol (X_ {j} sağ) dX_ {j} & = toplam _ {m_ {j} neq 0} left | C_ {0 dots m_ {j} dots 0} right | ^ {2} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} sağ) end {hizalı}}}

nerede ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ ve ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ gerçek ve hayali parçasıdır ${ displaystyle C_ {0 dots m_ {j} dots 0}}$ sırasıyla

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f sol (X_ {1}, X_ {2}, noktalar, X_ {n} sağ) cos left (2 pi m_ {j} X_ {j} sağ) dX_ {1} dX_ {2} dX_ {n}}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} f sol (X_ {1}, X_ {2}, noktalar, X_ {n} sağ) sin sol (2 pi m_ {j} X_ {j} sağ) dX_ {1} dX_ {2} noktalar dX_ {n}}$

Ergodik teorem

Fourier katsayılarını hesaplamak için çok boyutlu bir integral değerlendirilmelidir. Bu çok boyutlu integrali değerlendirmenin bir yolu, her girdiyi yeni bir bağımsız değişkenin fonksiyonu olarak ifade ederek onu tek boyutlu bir integrale dönüştürmektir. ${ displaystyle s}$ , aşağıdaki gibi

{ displaystyle X_ {j} sol (s sağ) = { frac {1} {2 pi}} sol ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi sağ) , j = 1,2, noktalar, n}

nerede ${ displaystyle sol { omega _ {j} sağ }}$ orantısız frekanslar kümesidir, yani

{ displaystyle toplamı _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} = 0}

tamsayı kümesi için ${ displaystyle sol { gamma _ {j} sağ }}$ ancak ve ancak ${ displaystyle gamma _ {j} = 0}$ her biri için ${ displaystyle j}$ Daha sonra Fourier katsayıları ergodik teoremine göre tek boyutlu bir integral ile hesaplanabilir. ^[7]

${ displaystyle A_ {m_ {j}} = lim _ {T ila infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s right) { bigr)} cos { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} left (s right) { bigr)} ds}$

${ displaystyle B_ {m_ {j}} = lim _ {T ila infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} f { bigl (} X_ { 1} sol (s sağ), X_ {2} sol (s sağ), noktalar, X_ {n} sol (s sağ) { bigr)} sin { bigl (} 2 pi m_ {j} X_ {j} left (s right) { bigr)} ds}$

Uygulama

Tamsayı frekansları

En fazla orantısız frekanslardan birinde ${ displaystyle sol { omega _ {j} sağ }}$ diğerlerinin hepsinin mantıksız olması mantıklı olabilir. Bir irrasyonel sayının sayısal değeri tam olarak bir bilgisayarda saklanamadığından, uygulamada orantısız frekansların tüm rasyonel sayılarla yaklaşık olarak belirlenmesi gerekir. Herhangi bir genellik kaybı olmadan, frekanslar herhangi bir rasyonel sayı yerine tamsayı olarak ayarlanabilir. Bir dizi tam sayı ${ displaystyle sol { omega _ {j} sağ }}$ yaklaşık olarak orantısızdır ${ displaystyle M}$ Eğer

{ displaystyle toplamı _ {j = 1} ^ {n} gamma _ {j} omega _ {j} neq 0}

için

{ displaystyle toplamı _ {j = 1} ^ {n} sol | gamma _ {j} sağ | leq M + 1}

nerede ${ displaystyle M}$ bir tamsayıdır. Tam orantısız durum, ne zaman aşırı bir durumdur? ${ displaystyle M ila infty}$ .

Tamsayı frekanslarını kullanarak, dönüştürülmüş tek boyutlu integraldeki fonksiyon periyodiktir, bu nedenle yalnızca bir süre boyunca entegrasyon ${ displaystyle 2 pi}$ gereklidir. Fourier katsayıları yaklaşık olarak şu şekilde hesaplanabilir:

{ displaystyle { begin {align} A_ {m_ {j}} & yaklaşık { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} sol (s sağ), X_ {2} sol (s sağ), noktalar, X_ {n} sol (s sağ) { bigr)} cos left (m_ { j} omega _ {j} s sağ) ds: = { hat {A}} _ {m_ {j}} B_ {m_ {j}} ve yaklaşık { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f { bigl (} X_ {1} left (s right), X_ {2} left (s right), dots, X_ {n} left (s sağ) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s sağ) ds: = { hat {B}} _ {m_ {j} } end {hizalı}}}

Sonlu bir için orantısız frekansların yaklaştırılması ${ displaystyle M}$ gerçek Fourier katsayıları arasında bir tutarsızlık hatasıyla sonuçlanır ${ displaystyle A_ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle B_ {m_ {j}}}$ ve onların tahminleri ${ displaystyle { şapka {A}} _ {m_ {j}}}$ , ${ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}}}$ . Sipariş ne kadar büyükse ${ displaystyle M}$ hata ne kadar küçükse, ancak aşağıdaki prosedürde tahminlerin hesaplanması için daha fazla hesaplama çabası gerekir. Uygulamada ${ displaystyle M}$ sık sık 4'e ayarlanır ve 50'ye kadar frekansa sahip nihai frekans kümelerinin bir tablosu mevcuttur. (McRae ve diğerleri, 1982)

Arama eğrisi

Dönüşüm, ${ displaystyle X_ {j} sol (s sağ) = { frac {1} {2 pi}} sol ( omega _ {j} s { text {mod}} 2 pi sağ) }$ , girdi uzayında bir arama eğrisi tanımlar. Frekanslar ise, ${ displaystyle omega _ {j}, j = 1, noktalar, n}$ , orantısız ise, arama eğrisi giriş alanındaki her noktadan geçebilir. ${ displaystyle s}$ 0 ile ${ displaystyle infty}$ bu nedenle, girdi uzayının üzerindeki çok boyutlu integral, arama eğrisi boyunca doğru bir şekilde tek boyutlu bir integrale dönüştürülebilir. Bununla birlikte, frekanslar yaklaşık olarak orantısız tamsayılar ise, arama eğrisi giriş uzayındaki her noktadan geçemez. Doğruysa arama, dönüşüm işlevi periyodik olduğundan, bir periyot ile tekrarlanır. ${ displaystyle 2 pi}$ . Tek boyutlu integral, orantısız frekanslar için sonsuz aralık yerine tek bir periyotta değerlendirilebilir; Bununla birlikte, orantısızlığın yaklaştırılması nedeniyle bir hesaplama hatası ortaya çıkar.

Arama eğrisi
Ω durumunda arama eğrisi₁= π ve ω₂= 7. Frekanslar orantısız olduğundan, arama eğrisi tekrarlanmaz ve karenin her noktasından geçebilir.
Ω durumunda arama eğrisi₁= 3 ve ω₂= 7. Frekanslar yaklaşık olarak orantısız olan tamsayılar olduğundan, arama eğrisi tekrarlanır ve karedeki her noktadan geçemez.
Ω durumunda arama eğrisi₁= 11 ve ω₂= 7. Frekanslar yaklaşık olarak orantısız olan tamsayılar olduğundan, arama eğrisi tekrarlanır ve karedeki her noktadan geçemez.

Örnekleme

Yaklaşık Fourier ayrıca şu şekilde ifade edilebilir:

{ displaystyle { hat {A}} _ {m_ {j}} = { begin {case} 0 & m_ {j} { text {odd}} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} cos left (m_ {j} omega _ {j} s sağ) ds & m_ {j} { text {çift}} end {vakalar}}}

ve

{ displaystyle { hat {B}} _ {m_ {j}} = { begin {case} { frac {1} { pi}} int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} f { bigl (} mathbf {X} (s) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s sağ) ds & m_ {j} { text {odd} } 0 & m_ {j} { text {çift}} end {vakalar}}}

Sıfır olmayan integraller örnekleme noktalarından hesaplanabilir

{ displaystyle { begin {align} { hat {A}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} cos left (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} sağ), m_ {j} { text {çift}} { hat {B}} _ {m_ {j}} & = { frac {1} {2q + 1}} sum _ {k = -q} ^ {q} f { bigl (} mathbf {X} (s_ {k}) { bigr)} sin left (m_ {j} omega _ {j} s_ {k} sağ), m_ {j} { metin {tek}} end {hizalı}}}

tek tip örnekleme noktası ${ displaystyle sol [- pi / 2, pi / 2 sağ]}$ dır-dir

{ displaystyle s_ {k} = { frac { pi k} {2q + 1}}, k = -q, dots, -1,0,1, dots, q.}

Toplam örnekleme noktası sayısı ${ displaystyle 2q + 1}$ Nyquist örnekleme kriterini karşılaması gereken, yani

{ displaystyle 2q + 1 geq N omega _ {max} +1}

nerede ${ displaystyle omega _ {max}}$ en büyük frekanstır ${ displaystyle sol { omega _ {k} sağ }}$ ve ${ displaystyle N}$ hesaplanan Fourier katsayılarının maksimum sırasıdır.

Kısmi toplam

Tahmini Fourier katsayılarını hesapladıktan sonra, birinci dereceden koşullu varyans yaklaşık olarak hesaplanabilir

{ displaystyle { begin {align} V_ {j} & = 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} sol (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} sağ) & yaklaşık 2 toplam _ {m_ {j} = 1} ^ { infty} sol ({ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} right) & yaklaşık 2 sum _ {m_ {j} = 1} ^ {2} left ( { hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} sağ) & = 2 sol ({ şapka {A}} _ {m_ {j} = 2} ^ {2} + { hat {B}} _ {m_ {j} = 1} ^ {2} sağ) uç {hizalı}}}

ilk iki terimin yalnızca kısmi toplamının hesaplandığı ve ${ displaystyle N = 2}$ örnekleme noktalarının sayısını belirlemek için. Kısmi toplamı kullanmak, genellikle toplam toplamın yeterince iyi bir yaklaşık değerini döndürebilir, çünkü temel frekansa ve düşük sıralı frekanslara karşılık gelen terimler genellikle toplam toplama en çok katkıda bulunur. Ek olarak, toplamdaki Fourier katsayısı sadece gerçek değerin bir tahminidir ve daha yüksek dereceli terimlerin eklenmesi hesaplama doğruluğunu önemli ölçüde geliştirmeye yardımcı olmayacaktır. Tam sayı frekansları tam olarak orantısız olmadığından, iki tam sayı vardır ${ displaystyle m_ {j}}$ ve ${ displaystyle m_ {k}}$ öyle ki ${ displaystyle m_ {j} omega _ {j} = m_ {k} omega _ {k}.}$ Toplamaya daha yüksek dereceden terimler dahil edilirse, iki frekans arasında etkileşim meydana gelebilir.

Benzer şekilde toplam varyans ${ displaystyle f sol ( mathbf {X} sağ)}$ olarak hesaplanabilir

{ displaystyle V yaklaşık { hat {A}} _ {0} sol [f ^ {2} sağ] - { hat {A}} _ {0} sol [f sağ] ^ {2 }}

nerede ${ displaystyle { şapka {A}} _ {0} sol [f ^ {2} sağ]}$ fonksiyonunun tahmini Fourier katsayısını gösterir ${ displaystyle f ^ {2}}$ braketin içinde ve ${ displaystyle { şapka {A}} _ {0} sol [f sağ] ^ {2}}$ fonksiyonun kare Fourier katsayısıdır ${ displaystyle f}$ . Son olarak, bir girdinin ana etkisine atıfta bulunan duyarlılık, koşullu varyansı toplam varyansa bölerek hesaplanabilir.

Referanslar

^ Cukier, R.I., C.M. Fortuin, K.E. Shuler, A.G. Petschek ve J.H. Schaably (1973). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. I Teori. Kimyasal Fizik Dergisi, 59, 3873–3878.
^ Schaably, J.H. ve K.E. Shuler (1973). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. II Uygulamalar. Kimyasal Fizik Dergisi, 59, 3879–3888.
^ Cukier, R.I., J.H. Schaably ve K.E. Shuler (1975). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. III. Yaklaşımların analizi. Kimyasal Fizik Dergisi, 63, 1140–1149.
^ McRae, G.J., J.W. Tilden ve J.H. Seinfeld (1982). Global duyarlılık analizi - Fourier Genlik Duyarlılık Testi'nin (FAST) hesaplamalı bir uygulaması. Bilgisayarlar ve Kimya Mühendisliği, 6, 15–25.
^ Archer G.E.B., A. Saltelli ve I.M. Sobol (1997). Duyarlılık ölçüleri, ANOVA benzeri teknikler ve önyükleme kullanımı. İstatistiksel Hesaplama ve Simülasyon Dergisi, 58, 99–120.
^ Saltelli A., S. Tarantola ve K.P.S. Chan (1999). Model çıktısının global duyarlılık analizi için nicel modelden bağımsız bir yöntem. Teknometri, 41, 39–56.
^ Weyl, H. (1938). Ortalama hareket. Amerikan Matematik Dergisi, 60, 889–896.

[1] Cukier, R.I., C.M. Fortuin, K.E. Shuler, A.G. Petschek ve J.H. Schaably (1973). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. I Teori. Kimyasal Fizik Dergisi, 59, 3873–3878.

[2] Schaably, J.H. ve K.E. Shuler (1973). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. II Uygulamalar. Kimyasal Fizik Dergisi, 59, 3879–3888.

[3] Cukier, R.I., J.H. Schaably ve K.E. Shuler (1975). Birleştirilmiş reaksiyon sistemlerinin hız katsayılarındaki belirsizliklere duyarlılığının incelenmesi. III. Yaklaşımların analizi. Kimyasal Fizik Dergisi, 63, 1140–1149.

[4] McRae, G.J., J.W. Tilden ve J.H. Seinfeld (1982). Global duyarlılık analizi - Fourier Genlik Duyarlılık Testi'nin (FAST) hesaplamalı bir uygulaması. Bilgisayarlar ve Kimya Mühendisliği, 6, 15–25.

[5] Archer G.E.B., A. Saltelli ve I.M. Sobol (1997). Duyarlılık ölçüleri, ANOVA benzeri teknikler ve önyükleme kullanımı. İstatistiksel Hesaplama ve Simülasyon Dergisi, 58, 99–120.

[6] Saltelli A., S. Tarantola ve K.P.S. Chan (1999). Model çıktısının global duyarlılık analizi için nicel modelden bağımsız bir yöntem. Teknometri, 41, 39–56.

[7] Weyl, H. (1938). Ortalama hareket. Amerikan Matematik Dergisi, 60, 889–896.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]