Fueter-Pólya teoremi - Fueter–Pólya theorem

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Fueter-Pólya teoremi"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Aralık 2015) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Fueter-Pólya teoremi, ilk olarak kanıtladı Rudolf Fueter ve George Pólya, tek olduğunu belirtir ikinci dereceden eşleştirme işlevleri Cantor polinomlar.

Giriş

1873'te, Georg Cantor sözde Cantor polinomunun^[1]

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((x + y) ^ {2} + 3x + y) = { frac {x ^ {2} + 2xy + 3x + y ^ {2} + y} {2}} = x + { frac {(x + y) (x + y + 1)} {2}} = { binom {x} {1}} + { binom {x + y + 1} {2}}}$

bir önyargılı haritalama ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ -e ${ displaystyle mathbb {N}}$Değişkenleri değiştirerek verilen polinom da bir eşleştirme fonksiyonudur.

Fueter, bu özelliğe sahip başka kuadratik polinomların olup olmadığını araştırıyordu ve durumun böyle olmadığını varsayarak sonucuna vardı. ${ displaystyle P (0,0) = 0}$. Daha sonra teoremin bu koşulu gerektirmediğini gösteren Pólya'ya yazdı.^[2]

Beyan

Eğer ${ displaystyle P}$ iki değişkenli gerçek bir kuadratik polinomdur. ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ bir bijeksiyon ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ -e ${ displaystyle mathbb {N}}$ o zaman öyle

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((x + y) ^ {2} + 3x + y)}$

veya

${ displaystyle P (x, y): = { frac {1} {2}} ((y + x) ^ {2} + 3y + x).}$

Kanıt

Orijinal kanıt, şaşırtıcı derecede zordur. Lindemann-Weierstrass teoremi aşkınlığını kanıtlamak için${ displaystyle e ^ {a}}$ sıfır olmayan bir cebirsel sayı için ${ displaystyle a}$.^[3]2002'de M. A. Vsemirnov bu sonucun temel bir kanıtını yayınladı.^[4]

Fueter-Pólya varsayımı

Teorem, Cantor polinomunun tek kuadratik paring polinomu olduğunu belirtir. ${ displaystyle mathbb {N} ^ {2}}$ ve ${ displaystyle mathbb {N}}$. Cantor polinomu, ℕ'nin bijeksiyonu olarak daha yüksek derecede genelleştirilebilir^k için ℕ ile k > 2. Varsayım, bunların tek eşleşme polinomları olduğudur.

Daha yüksek boyutlar

Cantor polinomunun daha yüksek boyutlarda genelleştirilmesi şu şekildedir:^[5]

${ displaystyle P_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {k-1 + sum _ {j = 1} ^ {k} x_ {j}} {k}} = x_ {1} + { binom {x_ {1} + x_ {2} +1} {2}} + cdots + { binom {x_ {1 } + cdots + x_ {n} + n-1} {n}}}$

Bunların toplamı iki terimli katsayılar bir derece polinomu verir ${ displaystyle n}$ içinde ${ displaystyle n}$ değişkenler. Açık bir sorudur her derece ${ displaystyle n}$ bir bijeksiyon olan polinom ${ displaystyle mathbb {N} ^ {n} rightarrow mathbb {N}}$ polinom değişkenlerinin bir permütasyonu olarak ortaya çıkar ${ displaystyle P_ {n}}$.^[6]

Referanslar