Temel lemma (Langlands programı) - Fundamental lemma (Langlands program)

Matematiksel teorisinde otomorfik formlar, temel lemma yörünge integrallerini bir indirgeyici grup üzerinde yerel alan kararlı yörünge integrallerine endoskopik gruplar. Tarafından varsayıldı Robert Langlands  (1983 ) geliştirme sürecinde Langlands programı. Temel lemma tarafından kanıtlandı Gérard Laumon ve Ngô Bảo Châu bu durumuda üniter gruplar ve sonra Ngô (2010) genel indirgeyici gruplar için, bir dizi önemli indirime dayanarak Jean-Loup Waldspurger durumunda Lie cebirleri. Zaman dergisi, Ngô'nun kanıtını "2009'un En İyi 10 Bilimsel Buluşu" listesine koydu.^[1] 2010 yılında Ngô, Fields madalyası bu kanıt için.

Motivasyon ve tarih

Langlands, yerel ve küresel olduğunu kanıtlamak için bir strateji belirledi Langlands varsayımları kullanmak Arthur-Selberg izleme formülü, ancak bu yaklaşımın işe yaraması için, iz formülünün farklı gruplar için geometrik taraflarının belirli bir şekilde ilişkilendirilmesi gerekir. Bu ilişki arasındaki kimlikler şeklini alır yörünge integralleri açık indirgeyici gruplar G ve H bir arşimet olmayan üzerine yerel alan Fgrup nerede H, aradı endoskopik grup nın-nin G, inşa edilmiştir G ve bazı ek veriler.

Ele alınan ilk vaka ${ displaystyle G = { rm {SL}} _ {2}}$ (Labesse ve Langlands 1979 ). Langlands ve Diana Shelstad  (1987 ) daha sonra endoskopik transfer teorisi için genel bir çerçeve geliştirdi ve spesifik varsayımlar formüle etti. Bununla birlikte, sonraki yirmi yıl boyunca, temel lemmanın kanıtlanması yönünde yalnızca kısmi ilerleme kaydedildi.^[2][3] Harris bunu "bir dizi aritmetik sorudaki ilerlemeyi sınırlayan darboğaz" olarak nitelendirdi.^[4] Langlands, endoskopinin kökenleri üzerine yazarak şu yorumu yaptı:

... otomorfik formların analitik teorisi ve aritmetiği için kritik olan temel lemma değildir. Shimura çeşitleri; stabilize (veya stabil) iz formülü, eser formülün kendisinin bir grup ve endoskopik grupları için stabil iz formülüne indirgenmesi ve stabilizasyonudur. Grothendieck-Lefschetz formülü. Bunların hiçbiri temel lemma olmadan mümkün değildir ve yokluğu ilerlemeyi yirmi yıldan fazla bir süredir neredeyse imkansız kılmıştır.^[5]

Beyan

Temel lemma, bir yörünge integralinin Ö bir grup için G kararlı bir yörünge integraline eşittir YANİ endoskopik bir grup için H, bir transfer faktörüne kadar Δ (Nadler 2012 ):

${ displaystyle SO _ { gamma _ {H}} (1_ {K_ {H}}) = Delta ( gamma _ {H}, gamma _ {G}) O _ { gamma _ {G}} ^ { kappa} (1_ {K_ {G}})}$

nerede

• F yerel bir alandır
• G üzerinde tanımlanan çerçevelenmemiş bir gruptur Fbaşka bir deyişle, üzerinde tanımlanan yarı bölünmüş bir indirgeyici grup F çerçevesiz bir uzantıya bölünen F
• H çerçevesiz bir endoskopik gruptur G κ ile ilişkili
• K_G ve K_H hiperspecial maksimal kompakt alt gruplarıdır G ve H, bu da kabaca onların tamsayılar halkasındaki katsayıları olan noktaların alt grupları oldukları anlamına gelir. F.
• 1_KG ve 1_KH karakteristik fonksiyonlarıdır K_G ve K_H.
• Δ (γ_H, γ_G) bir transfer faktörüdür, belirli bir temel ifadedir γ_H ve γ_G
• γ_H ve γ_G unsurları G ve H kararlı eşlenik sınıflarını temsil eder, öyle ki kararlı eşlenik sınıfı G kararlı eşlenik sınıfının aktarılmasıdır. H.
• κ, γ'nin kararlı eşlenik sınıfındaki eşlenik sınıfları grubunun bir karakteridir._G
• YANİ ve Ö sabit orbital integraller ve parametrelerine bağlı olarak orbital integrallerdir.

Yaklaşımlar

Shelstad (1982) Arşimet tarlaları için temel lemmayı kanıtladı.

Waldspurger (1991) genel doğrusal gruplar için temel lemmayı doğruladı.

Kottwitz (1992) ve Blasius ve Rogawski (1992) 3 boyutlu üniter gruplar için bazı temel lemma vakalarını doğruladı.

Hales (1997) ve Weissauer (2009) semplektik ve genel semplektik gruplar için temel lemmayı doğruladı Sp₄, GSp₄.

Bir kağıt George Lusztig ve David Kazhdan yörünge integrallerinin, sonlu alanlar üzerinden belirli cebirsel çeşitler üzerindeki noktaları sayma olarak yorumlanabileceğini belirtti. Ayrıca, söz konusu integraller, yalnızca aşağıdaki kalıntı alanına bağlı olacak şekilde hesaplanabilir. F; ve konu yörünge integrallerinin Lie cebir versiyonuna indirgenebilir. Daha sonra sorun şu şekilde yeniden ifade edildi: Yaylı elyaf cebirsel gruplar.^[6] Fikir çemberi bir saflık varsayımı; Laumon, üniter gruplar için böyle bir varsayıma dayalı koşullu bir kanıt verdi. Laumon ve Ngô (2008 ) daha sonra üniter gruplar için temel lemmayı kanıtladı. Hitchin fibrasyonu Ngô tarafından tanıtıldı (2006 ), soyut bir geometrik analoğu olan Hitchin sistemi karmaşık cebirsel geometri.Waldspurger (2006) Lie cebirleri için fonksiyon alanı durumunun tüm yerel alanlar üzerindeki temel lemmayı ima ettiğini gösterdi ve Waldspurger (2008) Lie cebirlerinin temel lemasının, gruplar için temel lemmayı ifade ettiğini gösterdi.

Notlar

Referanslar

• Blasius, Don; Rogawski, Jonathan D. (1992), "U (3) ve ilgili gruplar için temel lemmalar", Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (editörler), Picard modüler yüzeylerinin zeta fonksiyonları, Montreal, QC: Univ. Montréal, s. 363–394, ISBN  978-2-921120-08-1, BAY  1155234
• Casselman, W. (2009), Langlands'in SL için Temel Lemması (2) (PDF)
• Dat, Jean-François (Kasım 2004), Lemme fondamental et endoscopie, une Approche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu (PDF), Séminaire Bourbaki, hayır 940
• Hales, Thomas C. (1997), "Sp (4) için temel lemma", American Mathematical Society'nin Bildirileri, 125 (1): 301–308, doi:10.1090 / S0002-9939-97-03546-6, ISSN  0002-9939, BAY  1346977
• Harris, M. (ed.), Stabilization de la formule des traces, variétés de Shimura, and apps arithmétiques, dan arşivlendi orijinal 2012-04-20 tarihinde, alındı 2012-01-04
• Kazhdan, David; Lusztig, George (1988), "Afin bayrak manifoldlarında sabit nokta çeşitleri", İsrail Matematik Dergisi, 62 (2): 129–168, doi:10.1007 / BF02787119, ISSN  0021-2172, BAY  0947819
• Kottwitz, Robert E. (1992), "Bazı yörünge integrallerinin hesaplanması", Langlands, Robert P .; Ramakrishnan, Dinakar (editörler), Picard modüler yüzeylerinin zeta fonksiyonları, Montreal, QC: Univ. Montréal, s. 349–362, ISBN  978-2-921120-08-1, BAY  1155233
• Labesse, Jean-Pierre; Langlands, R. P. (1979), "SL (2) için L-ayırt edilemezliği", Kanada Matematik Dergisi, 31 (4): 726–785, doi:10.4153 / CJM-1979-070-3, ISSN  0008-414X, BAY  0540902
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stabil, Mathématiques de l'Université Paris VII Yayınları [Paris VII Üniversitesi Matematiksel Yayınları], 13, Paris: Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques, BAY  0697567
• Langlands, Robert P .; Shelstad, Diana (1987), "Transfer faktörlerinin tanımı üzerine", Mathematische Annalen, 278 (1): 219–271, doi:10.1007 / BF01458070, ISSN  0025-5831, BAY  0909227
• Laumon, Gérard (2006), "Aspects géométriques du Lemme Fondamental de Langlands-Shelstad", Uluslararası Matematikçiler Kongresi. Cilt II, Avro. Matematik. Soc., Zürich, s. 401–419, BAY  2275603, dan arşivlendi orijinal 2012-03-15 tarihinde, alındı 2012-01-09
• Laumon, Gérard; Ngô, Bao Châu (2008), "Le lemme fondamental pour les groupes unitaires", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 168 (2): 477–573, arXiv:matematik / 0404454, doi:10.4007 / annals.2008.168.477, ISSN  0003-486X, BAY  2434884
• Nadler, David (2012), "Temel lemmanın geometrik doğası", Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 49: 1–50, arXiv:1009.1862, doi:10.1090 / S0273-0979-2011-01342-8, ISSN  0002-9904
• Ngô, Bao Châu (2006), "Fibration de Hitchin et endoscopie", Buluşlar Mathematicae, 164 (2): 399–453, arXiv:matematik / 0406599, Bibcode:2006InMat.164..399N, doi:10.1007 / s00222-005-0483-7, ISSN  0020-9910, BAY  2218781
• Ngô, Bao Châu (2010), "Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie", Institut des Hautes Études Scientifiques. Mathématiques Yayınları, 111: 1–169, arXiv:0801.0446, doi:10.1007 / s10240-010-0026-7, ISSN  0073-8301, BAY  2653248
• Shelstad, Diana (1982), "Gerçek gruplar için L-ayırt edilemezlik", Mathematische Annalen, 259 (3): 385–430, doi:10.1007 / BF01456950, ISSN  0025-5831, BAY  0661206
• Waldspurger, Jean-Loup (1991), "Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental", Kanada Matematik Dergisi, 43 (4): 852–896, doi:10.4153 / CJM-1991-049-5, ISSN  0008-414X, BAY  1127034
• Waldspurger, Jean-Loup (2006), "Endoscopie et changement de caractéristique", Jussieu Matematik Enstitüsü Dergisi. JIMJ. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, 5 (3): 423–525, doi:10.1017 / S1474748006000041, ISSN  1474-7480, BAY  2241929
• Waldspurger, Jean-Loup (2008), "L'endoscopie tordue n'est pas si tordue" [Bükülmüş endoskopi çok bükülmüş değil] (PDF), American Mathematical Society'nin Anıları (Fransızca), Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, 194 (908): 261, ISBN  978-0-8218-4469-4, ISSN  0065-9266, BAY  2418405
• Weissauer, Rainer (2009), GSp (4) için endoskopi ve Siegel modüler üç kat kohomolojisiMatematik Ders Notları, 1968, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-89306-6, ISBN  978-3-540-89305-9, BAY  2498783

Dış bağlantılar

• Gerard Laumon, üniter gruplar için temel lemma üzerine konferans
• Basken, Paul (12 Eylül 2010). "Langlands Temel Lemmasını Anlamak". Yüksek Öğrenim Chronicle.