Gabriels Horn - Gabriels Horn

Gabriel'in boynuzunun 3D çizimi.

Gabriel'in boynuzu (olarak da adlandırılır Torricelli'nin trompet) belirli bir geometrik sonsuz olan figür yüzey alanı ama sonlu Ses. İsim, baş meleği tanımlayan Hıristiyan geleneğini ifade eder. Gabriel duyurmak için kornayı çalan melek gibi Yargı Günü, ilahi olanı ilişkilendirmek veya sonsuz, sonlu. Bu figürün özellikleri ilk olarak İtalyan fizikçi ve matematikçi tarafından incelenmiştir. Evangelista Torricelli 17. yüzyılda.

Matematiksel tanım

Grafiği ${ displaystyle y = {1} / {x}}$.

Cebrail'in boynuzu grafik nın-nin

${ displaystyle y = { frac {1} {x}},}$

ile alan adı ${ displaystyle x geq 1}$ ve dönen üçte boyutları hakkında xeksen. Keşif kullanılarak yapıldı Cavalieri ilkesi icadından önce hesap, ancak bugün, hesaplama, aradaki boynuzun hacmini ve yüzey alanını hesaplamak için kullanılabilir. x = 1 ve x = a, nerede a > 1. Entegrasyonu kullanma (bkz. Katı devrim ve Devrim yüzeyi ayrıntılar için), hacmi bulmak mümkündür V ve yüzey alanı Bir:

${ displaystyle V = pi int limits _ {1} ^ {a} left ({ frac {1} {x}} sağ) ^ {2} mathrm {d} x = pi sol (1 - { frac {1} {a}} sağ)}$

${ displaystyle A = 2 pi int limits _ {1} ^ {a} { frac {1} {x}} { sqrt {1+ left (- { frac {1} {x ^ { 2}}} sağ) ^ {2}}} mathrm {d} x> 2 pi int limits _ {1} ^ {a} { frac { mathrm {d} x} {x}} = 2 pi ln (a).}$

Değer a gerektiği kadar büyük olabilir, ancak denklemden, boynuzun arasındaki kısmın hacminin x = 1 ve x = a asla aşmayacak π; ancak, giderek yaklaşıyor π gibi a artışlar. Matematiksel olarak hacim yaklaşımlar π gibi a yaklaşımlar sonsuzluk. Kullanmak limit kalkülüs notasyonu:

${ displaystyle lim _ {bir ila infty} V = lim _ {a ila infty} pi sol (1 - { frac {1} {a}} sağ) = pi cdot lim _ {a ila infty} left (1 - { frac {1} {a}} sağ) = pi.}$

Yukarıdaki yüzey alanı formülü, alan için 2 olarak bir alt sınır verir.π kere doğal logaritma nın-nin a. Yok üst sınır doğal logaritması için a, gibi a sonsuza yaklaşır. Bu, bu durumda, boynuzun sonsuz bir yüzey alanına sahip olduğu anlamına gelir. Demek ki,

${ displaystyle lim _ {a ila infty} A geq lim _ {a ila infty} 2 pi ln (a) = infty.}$

Görünen paradoks

Cebrail'in boynuzunun özellikleri keşfedildiğinde, sonsuz genişlikte bir bölümün dönmesi gerçeği xy-uçak hakkında x-axis sonlu hacimli bir nesne oluşturur, bir paradoks. Bölüm yatarken xy-düzlemin sonsuz bir alanı vardır, ona paralel olan herhangi bir diğer bölüm sonlu bir alana sahiptir. Böylelikle, bölümlerin "ağırlıklı toplamından" hesaplanan hacim sonludur.

Başka bir yaklaşım da, kornayı azalan bir disk yığını olarak ele almaktır. yarıçap. Yarıçapların toplamı sonsuza giden bir harmonik seri üretir. Ancak, doğru hesaplama, karelerinin toplamıdır. Her diskin bir yarıçapı vardır r = 1/x ve bir alan πr² veya π/x². Seri 1/x farklı ama 1/x² birleşir. Genel olarak, herhangi bir gerçek için ε > 0, 1/x^1+ε birleşir.

Görünen paradoks, sonsuzluğun doğası üzerine, zamanın kilit düşünürlerinin çoğunun dahil olduğu bir anlaşmazlığın bir parçasını oluşturdu. Thomas hobbes, John Wallis ve Galileo Galilei.^[1]

Düzlemdeki uzunluklar ve alanlar için geçerli olan benzer bir fenomen vardır. Eğriler arasındaki alan 1/x² ve -1/x² 1'den sonsuza kadar sonludur, ancak iki eğrinin uzunlukları açıkça sonsuzdur.

Ressamın paradoksu

Boynuzun sınırlı bir hacme, ancak sonsuz bir yüzey alanına sahip olması nedeniyle, boynuzun sınırlı miktarda boya ile doldurulabileceği ve yine de boyanın iç yüzeyini kaplamak için yeterli olmayacağına dair açık bir paradoks vardır. Paradoks, sonlu bir miktarda boyanın aslında sonsuz bir yüzey alanını kaplayabileceğinin farkına varılmasıyla çözülür - basitçe yeterince hızlı bir oranda incelmesi gerekir (serideki gibi) 1/2^N yeterince hızlı küçülür ve toplamı sonludur). Boynuzun boya ile doldurulması durumunda, bu inceltme, boynuzun boğazının çapının giderek azalmasıyla sağlanır.

Converse

Gabriel'in boynuzunun konuşması - bir devrimin yüzeyi olan sonlu yüzey alanı ancak bir sonsuz hacim — sürekli bir işlevi kapalı bir küme üzerinde döndürürken gerçekleşemez:

Teoremi

İzin Vermek f : [1,∞) → [0,∞) sürekli türevlenebilir bir işlev olabilir. Yazmak S için sağlam devrim grafiğin y = f(x) hakkında xeksen. Yüzey alanı S sonlu ise hacim de öyle.

Kanıt

Yanal yüzey alanından beri Bir sonlu, Üstünü sınırla:

${ displaystyle { başlar {hizalı} lim _ {t ila infty} sup _ {x geq t} f (x) ^ {2} ~ - ~ f (1) ^ {2} & = limsup _ {t to infty} int limits _ {1} ^ {t} left (f (x) ^ {2} right) ' mathrm {d} x & leq int limitler _ {1} ^ { infty} left | left (f (x) ^ {2} right) ' right | mathrm {d} x = int limits _ {1} ^ { infty } 2f (x) left | f '(x) right | mathrm {d} x & leq int limits _ {1} ^ { infty} 2f (x) { sqrt {1+ f '(x) ^ {2}}} mathrm {d} x = { frac {A} { pi}} & < infty. end {hizalı}}}$

Bu nedenle, bir t₀ öyle ki üstünlük sup {f(x) | x ≥ t₀} sonludur. Bu nedenle

M = sup {f(x) | x ≥ 1} şu tarihten beri sonlu olmalıdır f bir sürekli işlev ki bunun anlamı f aralığa sınırlıdır [1,∞).

Son olarak, hacim:

${ displaystyle { begin {align} V & = int limits _ {1} ^ { infty} f (x) cdot pi f (x) mathrm {d} x & leq int sınırlar _ {1} ^ { infty} { frac {M} {2}} cdot 2 pi f (x) mathrm {d} x & leq { frac {M} {2}} cdot int limits _ {1} ^ { infty} 2 pi f (x) { sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} mathrm {d} x = { frac { M} {2}} cdot A. end {hizalı}}}$

Bu nedenle: eğer alan Bir sonlu, sonra hacim V ayrıca sonlu olmalıdır.

Ayrıca bakınız

• Hiperbol - Düzlem eğrisi: konik bölüm
• Koch kar tanesi - Fraktal ve matematiksel eğri
• Picard boynuzu
• Pseudosphere
• Evrenin şekli - Evrenin yerel ve küresel geometrisi
• Devrim yüzeyi - Matematiksel terim
• Zeno'nun paradoksları - Bir dizi felsefi problem

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• Torricelli'nin Trompet'i PlanetMath'te
• Weisstein, Eric W. "Gabriel'in Boynuzu". MathWorld.
• "Gabriel'in Boynuzu" John Snyder tarafından Wolfram Gösteriler Projesi, 2007.
• Gabriel Boynuzu: Sonlu Hacimli ve Sonsuz Yüzey Alanlı Bir Katı Anlayışı Jean S. Joseph tarafından.