Genelleştirilmiş Clifford cebiri - Generalized Clifford algebra

İçinde matematik, bir Genelleştirilmiş Clifford cebiri (GCA) bir ilişkisel cebir genelleyen Clifford cebiri ve çalışmasına geri döner Hermann Weyl,[1] bunları kim kullandı ve resmileştirdi saat ve vardiya tarafından tanıtılan operatörler J. J. Sylvester (1882),[2] ve düzenleyen Cartan (1898)[3] ve Schwinger.[4]

Saat ve kaydırma matrisleri, matematiksel fiziğin çok sayıda alanında rutin uygulamaları bulur ve sonlu boyutlu vektör uzaylarında kuantum mekaniği dinamiği.[5][6][7] A kavramı spinor ayrıca bu cebirlere bağlanabilir.[6]

Genelleştirilmiş Clifford Cebirleri terimi, ikinci dereceden formlar yerine daha yüksek dereceli formlar kullanılarak oluşturulan birleştirici cebirleri de ifade edebilir.[8][9][10][11]

Tanım ve özellikler

Soyut tanım

nboyutlu genelleştirilmiş Clifford cebiri, bir alan üzerindeki ilişkisel cebir olarak tanımlanır F, tarafından oluşturuldu[12]

ve

j,k,l,m = 1,...,n.

Ayrıca, fiziksel uygulamalarla ilgili herhangi bir indirgenemez matris gösteriminde,

j,k = 1,...,n, ve gcd. Alan F genellikle karmaşık sayılar olarak alınır C.

Daha spesifik tanım

Daha yaygın GCA vakalarında,[6] ndüzenin boyutlu genelleştirilmiş Clifford cebiri p mülke sahip ωkj = ω, hepsi için j,k, ve . Bunu takip eder

ve

hepsi için j,k, l = 1, ...,n, ve

... p1'inci kökü.

Literatürde Genelleştirilmiş Clifford Cebirinin birkaç tanımı vardır.[13]

Clifford cebiri

(Ortogonal) Clifford cebirinde, elementler bir anti-komütasyon kuralını takip eder. ω = −1 ve p = 2.

Matris gösterimi

Clock ve Shift matrisleri temsil edilebilir[14] tarafından n × n Schwinger'ın kanonik gösterimindeki matrisler

.

Özellikle, Vn = 1, VU = ωUV ( Weyl örgü ilişkileri ), ve W−1VW = U ( ayrık Fourier dönüşümü ). İle e1 = V , e2 = VU, ve e3 = Ubirinin üç temel unsuru vardır ve ω, Genelleştirilmiş Clifford Cebirinin (GCA) yukarıdaki koşullarını yerine getirin.

Bu matrisler, V ve U, normalde "kaydırma ve saat matrisleri ", tarafından tanıtıldı J. J. Sylvester 1880'lerde. (Matrislerin V döngüsel permütasyon matrisleri bu bir dairesel vardiya; kafaları karıştırılmamalıdır ile üst ve alt kaydırma matrisleri sadece köşegenin üstünde veya altında olanlara sahiptir).

Belirli örnekler

Durum n = p = 2

Bu durumda bizde ω = −1 ve

Böylece

,

oluşturan Pauli matrisleri.

Durum n = p = 4

Bu durumda bizde ω = ben, ve

ve e1, e2, e3 buna göre belirlenebilir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1W. doi:10.1007 / BF02055756.
    — (1950) [1931]. Gruplar Teorisi ve Kuantum Mekaniği. Dover. ISBN  9780486602691.
  2. ^ Sylvester, J.J. (1882), Nonions hakkında bir kelime, Johns Hopkins Üniversitesi Genelgesi, ben, s. 241–2, hdl:1774.2/32845; ibid II (1883) 46; a.g.e. III (1884) 7-9. Özetle James Joseph Sylvester'ın Toplanan Matematik Kağıtları (Cambridge University Press, 1909) v III . internet üzerinden ve Daha ileri.
  3. ^ Cartan, E. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complexes" (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 12 (1): B65 – B99.
  4. ^ Schwinger, J. (Nisan 1960). "Üniter operatör üsleri". Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (4): 570–9. Bibcode:1960PNAS ... 46..570S. doi:10.1073 / pnas.46.4.570. PMC  222876. PMID  16590645.
    — (1960). "Üniter dönüşümler ve eylem ilkesi". Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (6): 883–897. Bibcode:1960PNAS ... 46..883S. doi:10.1073 / pnas.46.6.883. PMC  222951. PMID  16590686.
  5. ^ Santhanam, T. S .; Tekumalla, A.R. (1976). "Sonlu boyutlarda kuantum mekaniği". Fiziğin Temelleri. 6 (5): 583. Bibcode:1976FoPh .... 6..583S. doi:10.1007 / BF00715110.
  6. ^ a b c Örneğin bakınız: Granik, A .; Ross, M. (1996). "Genelleştirilmiş Clifford Cebiri ve kuantum mekaniğine uygulanması için yeni bir temelde". Ablamowicz, R .; Parra, J .; Lounesto, P. (editörler). Sayısal ve Sembolik Hesaplama Uygulamaları ile Clifford Cebirleri. Birkhäuser. s. 101–110. ISBN  0-8176-3907-1.
  7. ^ Kwaśniewski, A.K. (1999). "Genelleştirilmiş Clifford cebiri hakkındaC(n)4 andGLq(2; C) kuantum grubu ". AACA. 9 (2): 249–260. arXiv:matematik / 0403061. doi:10.1007 / BF03042380.
  8. ^ Tesser Steven Barry (2011). "Genelleştirilmiş Clifford cebirleri ve temsilleri". Micali, A .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (editörler). Clifford cebirleri ve matematiksel fizikteki uygulamaları. Springer. pp.133 –141. ISBN  978-90-481-4130-2.
  9. ^ Childs, Lindsay N. (30 Mayıs 2007). "N-ic formlarının ve genelleştirilmiş Clifford cebirlerinin doğrusallaştırılması". Doğrusal ve Çok Doğrusal Cebir. 5 (4): 267–278. doi:10.1080/03081087808817206.
  10. ^ Pappacena, Christopher J. (Temmuz 2000). "Matris kalemler ve genelleştirilmiş bir Clifford cebiri". Doğrusal Cebir ve Uygulamaları. 313 (1–3): 1–20. doi:10.1016 / S0024-3795 (00) 00025-2.
  11. ^ Chapman, Adam; Kuo, Jung-Miao (Nisan 2015). "Bir monik polinomun genelleştirilmiş Clifford cebiri üzerine". Doğrusal Cebir ve Uygulamaları. 471: 184–202. arXiv:1406.1981. doi:10.1016 / j.laa.2014.12.030.
  12. ^ Servis verilebilir bir inceleme için bkz. Vourdas, A. (2004). "Sonlu Hilbert uzayına sahip kuantum sistemleri". Rep. Prog. Phys. 67 (3): 267–320. Bibcode:2004RPPh ... 67..267V. doi:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.
  13. ^ Örneğin, aşağıda verilen incelemeye bakın: Smith, Tara L. "Genelleştirilmiş Clifford Cebirlerinin Ayrıştırılması" (PDF). Arşivlenen orijinal (PDF) 2010-06-12 tarihinde.
  14. ^ Ramakrishnan, Alladi (1971). "Genelleştirilmiş Clifford Cebiri ve uygulamaları - Dahili kuantum sayılarına yeni bir yaklaşım". Clifford Cebiri Konferansı Bildirileri, Genellemesi ve Uygulamaları, 30 Ocak – 1 Şubat 1971 (PDF). Kumaş: Matscience. s. 87–96.

daha fazla okuma