İçinde matematik , genelleştirilmiş araçlar (veya güç anlamı veya Tutacak anlamına gelmek[1] Pisagor demek (aritmetik , geometrik , ve harmonik anlamına geliyor ).
Tanım Eğer p sıfır olmayan gerçek Numara , ve x 1 , … , x n { displaystyle x_ {1}, noktalar, x_ {n}} genelleştirilmiş ortalama veya güç anlamı üslü p bu pozitif gerçek sayılardan:[2]
M p ( x 1 , … , x n ) = ( 1 n ∑ ben = 1 n x ben p ) 1 p . { displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = sol ({ frac {1} {n}} toplamı _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} sağ) ^ { frac {1} {p}}.} (Görmek p -normp = 0
M 0 ( x 1 , … , x n ) = ∏ ben = 1 n x ben n { displaystyle M_ {0} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { sqrt [{n}] { prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}} Ayrıca, bir sıra pozitif ağırlıkların w ben ∑ ben w ben = 1 { displaystyle textstyle { toplam _ {i} w_ {i} = 1}} ağırlıklı güç anlamı gibi:
M p ( x 1 , … , x n ) = ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) 1 p M 0 ( x 1 , … , x n ) = ∏ ben = 1 n x ben w ben { displaystyle { begin {align} M_ {p} (x_ {1}, dots, x_ {n}) & = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ { i} ^ {p} sağ) ^ { frac {1} {p}} M_ {0} (x_ {1}, dots, x_ {n}) & = prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} end {hizalı}}} Ağırlıksız araçlar, tüm wben = 1/n
Özel durumlar İçin belirtilen durumlardan bazılarının görsel bir tasviri
n = 2 ile
a = x 1 = M ∞ ve
b = x 2 = M −∞ :
harmonik ortalama, H = M −1 (a , b )
geometrik ortalama G = M 0 (a , b )
aritmetik ortalama, Bir = M 1 (a , b )
ikinci dereceden ortalama, Q = M 2 (a , b )
Birkaç belirli değer p { displaystyle p} [3]
M − ∞ ( x 1 , … , x n ) = lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = min { x 1 , … , x n } { displaystyle M _ {- infty} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = lim _ {p to - infty} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ { n}) = min {x_ {1}, noktalar, x_ {n} }} minimum M − 1 ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n { displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { frac {n} {{ frac {1} {x_ {1}}} + noktalar + { frac {1} {x_ {n}}}}}} harmonik ortalama M 0 ( x 1 , … , x n ) = lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x n n { displaystyle M_ {0} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = lim _ {p ila 0} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { sqrt [{n}] {x_ {1} cdot noktalar cdot x_ {n}}}} geometrik ortalama M 1 ( x 1 , … , x n ) = x 1 + ⋯ + x n n { displaystyle M_ {1} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { frac {x_ {1} + noktalar + x_ {n}} {n}}} aritmetik ortalama M 2 ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n { displaystyle M_ {2} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { sqrt { frac {x_ {1} ^ {2} + noktalar + x_ {n} ^ {2}} {n}}}} Kök kare ortalama [4] [5] M 3 ( x 1 , … , x n ) = x 1 3 + ⋯ + x n 3 n 3 { displaystyle M_ {3} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = { sqrt [{3}] { frac {x_ {1} ^ {3} + dots + x_ {n} ^ {3}} {n}}}} kübik ortalama M + ∞ ( x 1 , … , x n ) = lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = max { x 1 , … , x n } { displaystyle M _ {+ infty} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = lim _ {p ila infty} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n }) = maks {x_ {1}, noktalar, x_ {n} }} maksimum
Kanıtı lim p → 0 M p = M 0 { displaystyle textstyle lim _ {p ila 0} M_ {p} = M_ {0}} Tanımını yeniden yazabiliriz Mp kullanmak üstel fonksiyon
M p ( x 1 , … , x n ) = tecrübe ( ln [ ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) 1 / p ] ) = tecrübe ( ln ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) p ) { displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = exp { sol ( ln { sol [ sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ) ^ {1 / p} sağ]} sağ)} = exp { left ({ frac { ln { left ( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ)}} {p}} sağ)}} Sınırda p → 0, başvurabiliriz L'Hôpital kuralı üstel fonksiyonun argümanına. Pay ve paydayı şuna göre farklılaştırma p , sahibiz
lim p → 0 ln ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) p = lim p → 0 ∑ ben = 1 n w ben x ben p ln x ben ∑ j = 1 n w j x j p 1 = lim p → 0 ∑ ben = 1 n w ben x ben p ln x ben ∑ j = 1 n w j x j p = ∑ ben = 1 n w ben ln x ben lim p → 0 ∑ j = 1 n w j ( x j x ben ) p = ∑ ben = 1 n w ben ln x ben = ln ( ∏ ben = 1 n x ben w ben ) { displaystyle lim _ {p ile 0} { frac { ln { sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ)} } {p}} = lim _ {p to 0} { frac { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} ln {x_ {i}}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} {1}} = lim _ {p to 0} { frac { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} ln {x_ {i}}} { toplam _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} x_ {j} ^ {p}}} = toplam _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i} ln {x_ {i}}} { lim _ {p to 0} toplam _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} left ({ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} sağ) ^ {p}}} = toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ln {x_ {i}} = ln { left ( prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} sağ)}} Üstel fonksiyonun sürekliliği ile, elde etmek için yukarıdaki ilişkiye geri dönebiliriz
lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = tecrübe ( ln ( ∏ ben = 1 n x ben w ben ) ) = ∏ ben = 1 n x ben w ben = M 0 ( x 1 , … , x n ) { displaystyle lim _ {p ila 0} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = exp { sol ( ln { sol ( prod _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} right)} right)} = prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, noktalar, x_ {n})} istediğiniz gibi.[2]
Kanıtı lim p → ∞ M p = M ∞ { displaystyle textstyle lim _ {p ila infty} M_ {p} = M _ { infty}} lim p → − ∞ M p = M − ∞ { displaystyle textstyle lim _ {p ila - infty} M_ {p} = M _ {- infty}} Varsayalım (muhtemelen terimleri yeniden etiketledikten ve birleştirdikten sonra) x 1 ≥ ⋯ ≥ x n { displaystyle x_ {1} geq dots geq x_ {n}}
lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = lim p → ∞ ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) 1 / p = x 1 lim p → ∞ ( ∑ ben = 1 n w ben ( x ben x 1 ) p ) 1 / p = x 1 = M ∞ ( x 1 , … , x n ) . { displaystyle lim _ {p ila infty} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = lim _ {p ila infty} sol ( toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ) ^ {1 / p} = x_ {1} lim _ {p ila infty} left ( sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} left ({ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} sağ) ^ {p} sağ) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ { infty} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}).} Formülü M − ∞ { displaystyle M _ {- infty}} M − ∞ ( x 1 , … , x n ) = 1 M ∞ ( 1 / x 1 , … , 1 / x n ) . { displaystyle M _ {- infty} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { frac {1} {M _ { infty} (1 / x_ {1}, noktalar, 1 / x_ {n})}}.}
Özellikleri İzin Vermek x 1 , … , x n { displaystyle x_ {1}, noktalar, x_ {n}} P { displaystyle P} [1]
min ( x 1 , … , x n ) ≤ M p ( x 1 , … , x n ) ≤ max ( x 1 , … , x n ) { displaystyle min (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) leq M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) leq max (x_ {1}, noktalar, x_ {n})} Her genelleştirilmiş ortalama her zaman en küçüğü ve en büyüğü arasındadır. x değerler. M p ( x 1 , … , x n ) = M p ( P ( x 1 , … , x n ) ) { displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = M_ {p} (P (x_ {1}, noktalar, x_ {n}))} Her genelleştirilmiş ortalama, argümanlarının simetrik bir işlevidir; genelleştirilmiş bir ortalamanın argümanlarına izin vermek onun değerini değiştirmez. M p ( b x 1 , … , b x n ) = b ⋅ M p ( x 1 , … , x n ) { displaystyle M_ {p} (bx_ {1}, noktalar, bx_ {n}) = b cdot M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n})} Çoğu gibi anlamına geliyor genelleştirilmiş ortalama bir homojen işlev argümanlarının x 1 , ..., xn . Yani, eğer b pozitif bir gerçek sayıdır, ardından üslü genelleştirilmiş ortalama p sayıların b ⋅ x 1 , … , b ⋅ x n { displaystyle b cdot x_ {1}, noktalar, b cdot x_ {n}} b sayıların genelleştirilmiş ortalamasının katı x 1 , …, xn . M p ( x 1 , … , x n ⋅ k ) = M p [ M p ( x 1 , … , x k ) , M p ( x k + 1 , … , x 2 ⋅ k ) , … , M p ( x ( n − 1 ) ⋅ k + 1 , … , x n ⋅ k ) ] { displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n cdot k}) = M_ {p} sol [M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {k}) , M_ {p} (x_ {k + 1}, dots, x_ {2 cdot k}), dots, M_ {p} (x _ {(n-1) cdot k + 1}, noktalar, x_ {n cdot k}) sağ]} Gibi yarı aritmetik araçlar ortalamanın hesaplanması, eşit boyutlu alt blokların hesaplamalarına bölünebilir. Bu, bir böl ve ele geçir algoritması araçları hesaplamak istendiğinde. Genelleştirilmiş ortalama eşitsizlik Genel olarak,
Eğer p < q , sonra M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) { displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) leq M_ {q} (x_ {1}, noktalar, x_ {n})} ve iki araç eşittir ancak ve ancak x 1 = x 2 = ... = xn .
Eşitsizlik, gerçek değerler için doğrudur p ve q yanı sıra pozitif ve negatif sonsuz değerleri.
Gerçek şu ki, her şey için p ,
∂ ∂ p M p ( x 1 , … , x n ) ≥ 0 { displaystyle { frac { kısmi} { kısmi p}} M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) geq 0} hangi kullanılarak kanıtlanabilir Jensen'in eşitsizliği .
Özellikle, p {−1, 0, 1} 'de genelleştirilmiş ortalama eşitsizlik, Pisagor demek eşitsizliğin yanı sıra aritmetik ve geometrik araçların eşitsizliği .
Güç kanıtı eşitsizlik demektir Ağırlıklı gücün eşitsizlik anlamına geldiğini kanıtlayacağız, ispat amacıyla aşağıdakileri genelliği kaybetmeden varsayacağız:
w ben ∈ [ 0 , 1 ] ∑ ben = 1 n w ben = 1 { displaystyle { begin {align} w_ {i} in [0,1] toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 end {hizalı}}} Ağırlıksız güç araçlarının kanıtı, ikame edilerek kolayca elde edilir. wben = 1/n .
Karşıt işaretlerin araçları arasındaki eşitsizliklerin denkliği Üslü güç ortalamaları arasında bir ortalama varsayalım p ve q tutar:
∑ ben = 1 n w ben x ben p p ≥ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q { displaystyle { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} geq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}} bunu uyguladıktan sonra:
∑ ben = 1 n w ben x ben p p ≥ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q { displaystyle { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {p}}}}} geq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {q}}}}} Her iki tarafı da −1'in gücüne yükseltiriz (pozitif gerçeklerde kesin olarak azalan fonksiyon):
∑ ben = 1 n w ben x ben − p − p = 1 ∑ ben = 1 n w ben 1 x ben p p ≤ 1 ∑ ben = 1 n w ben 1 x ben q q = ∑ ben = 1 n w ben x ben − q − q { displaystyle { sqrt [{- p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- p}}} = { sqrt [{p}] { frac {1} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} { frac {1} {x_ {i} ^ {p}}}}}} leq { sqrt [{q }] { frac {1} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} { frac {1} {x_ {i} ^ {q}}}}}} = { sqrt [ {-q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}}} Üslü araçlar için eşitsizliği elde ederiz -p ve -q ve aynı akıl yürütmeyi geriye doğru kullanabiliriz, böylece eşitsizliklerin eşdeğer olduğunu kanıtlayabiliriz, bu daha sonraki bazı kanıtlarda kullanılacaktır.
Geometrik ortalama Herhangi q > 0 ve negatif olmayan ağırlıkların toplamı 1, aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
∑ ben = 1 n w ben x ben − q − q ≤ ∏ ben = 1 n x ben w ben ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q . { displaystyle { sqrt [{- q}] { toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} leq prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} leq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}.} Kanıt aşağıdaki gibidir Jensen'in eşitsizliği , gerçeği kullanarak logaritma içbükey:
günlük ∏ ben = 1 n x ben w ben = ∑ ben = 1 n w ben günlük x ben ≤ günlük ∑ ben = 1 n w ben x ben . { displaystyle log prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} log x_ {i } leq log sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.} Uygulayarak üstel fonksiyon her iki taraf için de ve kesinlikle artan bir işlev olarak eşitsizliğin işaretini koruduğunu gözlemleyerek,
∏ ben = 1 n x ben w ben ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben . { displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} leq sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}.} Alma q güçleri x ben q ; negatifler için durum aynıdır.
Herhangi iki güç aracı arasındaki eşitsizlik Bunu herhangi biri için kanıtlamak zorundayız p < q aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:
∑ ben = 1 n w ben x ben p p ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q { displaystyle { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} leq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}} Eğer p negatif ve q pozitif, eşitsizlik yukarıda kanıtlanana eşdeğerdir:
∑ ben = 1 n w ben x ben p p ≤ ∏ ben = 1 n x ben w ben ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q { displaystyle { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} leq prod _ {i = 1} ^ { n} x_ {i} ^ {w_ {i}} leq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}} } Pozitifin kanıtı p ve q aşağıdaki gibidir: Aşağıdaki işlevi tanımlayın: f : R + → R + f ( x ) = x q p { displaystyle f (x) = x ^ { frac {q} {p}}} f bir güç fonksiyonudur, bu nedenle ikinci bir türevi vardır:
f ″ ( x ) = ( q p ) ( q p − 1 ) x q p − 2 { displaystyle f '' (x) = sol ({ frac {q} {p}} sağ) sol ({ frac {q} {p}} - 1 sağ) x ^ {{ frac {q} {p}} - 2}} etki alanı içinde kesinlikle olumlu olan f , dan beri q > p yani biliyoruz f dışbükeydir.
Bunu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak şunu elde ederiz:
f ( ∑ ben = 1 n w ben x ben p ) ≤ ∑ ben = 1 n w ben f ( x ben p ) ∑ ben = 1 n w ben x ben p p q ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben q { displaystyle { begin {align} f left ( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ) & leq sum _ {i = 1 } ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} ^ {p}) [3pt] { sqrt [{ frac {p} {q}}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} & leq sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} end {hizalı}} } her iki tarafı da 1 / gücüne yükselttikten sonraq (artan bir işlev, 1 /q pozitif) kanıtlanacak eşitsizliği elde ederiz:
∑ ben = 1 n w ben x ben p p ≤ ∑ ben = 1 n w ben x ben q q { displaystyle { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} leq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}} Daha önce gösterilen denkliği kullanarak, negatif için eşitsizliği kanıtlayabiliriz p ve q ile değiştirerek -q ve -p , sırasıyla.
Genelleştirilmiş f -anlamına gelmek Güç ortalaması, daha da genelleştirilebilir. genelleştirilmiş f -anlamına gelmek :
M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( 1 n ⋅ ∑ ben = 1 n f ( x ben ) ) { displaystyle M_ {f} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = f ^ {- 1} sol ({{ frac {1} {n}} cdot toplamı _ {i = 1} ^ {n} {f (x_ {i})}} sağ)} Bu, bir sınır kullanmadan geometrik ortalamayı kapsar f (x ) = günlük (x ). Güç ortalaması için elde edilir f (x ) = xp .
Başvurular Sinyal işleme Bir güç ortalama doğrusal olmayan hareketli ortalama küçük sinyal değerlerine doğru kaydırılır p ve büyük için büyük sinyal değerlerini vurgular p . Verimli bir uygulama göz önüne alındığında hareketli aritmetik ortalama aranan pürüzsüz Aşağıdakilere göre hareketli bir güç aracı uygulanabilir Haskell kodu.
güç Düzgün :: Yüzer a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] güç Düzgün pürüzsüz p = harita ( ** yemek tarifi p ) . pürüzsüz . harita ( ** p ) Ayrıca bakınız Notlar ^ a b Sıkora, Stanislav (2009). Matematiksel araçlar ve ortalamalar: temel özellikler . 3 . Stan’ın Kütüphanesi: Castano Primo, İtalya. doi :10.3247 / SL3Math09.001 . ^ a b P. S. Bullen: Araçlar ve Eşitsizlikleri El Kitabı . Dordrecht, Hollanda: Kluwer, 2003, s. 175-177 ^ Weisstein, Eric W. "Güç Anlamı" . MathWorld ^ Thompson, Sylvanus P. (1965). Matematik Kolaylaştırıldı ISBN 9781349004874 . Alındı 5 Temmuz 2020 . ^ Jones, Alan R. (2018). Olasılık, İstatistikler ve Diğer Korkunç Şeyler ISBN 9781351661386 . Alındı 5 Temmuz 2020 . ^ AC = ise a ve BC = b . OC = AM nın-nin a ve b ve yarıçap r = QO = OG.Pisagor teoremi , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM .OC² - OG² = GM .benzer üçgenler , HC / GC GC / OC GC² / OC HM . Referanslar ve daha fazla okuma P. S. Bullen: Araçlar ve Eşitsizlikleri El Kitabı . Dordrecht, Hollanda: Kluwer, 2003, bölüm III (The Power Means), s. 175-265 Dış bağlantılar 
![M_0 (x_1, noktalar, x_n) = sqrt [n] { prod_ {i = 1} ^ n x_i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c389840696d51db570f6af4e5443feb30ff1a4a)
![M_0 (x_1, dots, x_n) = lim_ {p to0} M_p (x_1, dots, x_n) = sqrt [n] {x_1 cdot dots cdot x_n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bc811b24285b8134ca93a3cbefde3c13262b6f)
![M_ {3} (x_ {1}, noktalar, x_ {n}) = { sqrt [{3}] {{ frac {x_ {1} ^ {3} + noktalar + x_ {n} ^ { 3}} {n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea033d3d469a5602c10b50b74faf83cd1bc1043)
![M_p (x_1, noktalar, x_n) = exp { left ( ln { left [ left ( sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p right) ^ {1 / p} sağ]} sağ)} = exp { left ( frac { ln { left ( sum_ {i = 1} ^ n w_ix_ {i} ^ p sağ)}} {p} sağ)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e70d68040177c8c1152830e6a8873280d4c3a9d)
![{ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {n cdot k}) = M_ {p} sol [M_ {p} (x_ {1}, noktalar, x_ {k}) , M_ {p} (x_ {k + 1}, dots, x_ {2 cdot k}), dots, M_ {p} (x _ {(n-1) cdot k + 1}, noktalar, x_ {n cdot k}) sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123bdbdd17dee6edcaf0853d80b4fb9d949a5cea)
![{ displaystyle { begin {align} w_ {i} in [0,1] toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 end {hizalı}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74495b015da1fdf962f200e45159932bbc89b29)
![sqrt [p] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} geq sqrt [q] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8265a812d9b40e99f8d756c5a4974c5789213220)
![sqrt [p] { sum_ {i = 1} ^ n frac {w_i} {x_i ^ p}} geq sqrt [q] { sum_ {i = 1} ^ n frac {w_i} {x_i ^ q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637b7cd118305af650a40af13510e45c94c83170)
![sqrt [-p] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ {- p}} = sqrt [p] { frac {1} { sum_ {i = 1} ^ nw_i frac {1} { x_i ^ p}}} leq sqrt [q] { frac {1} { sum_ {i = 1} ^ nw_i frac {1} {x_i ^ q}}} = sqrt [-q] { toplam_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ {- q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8073b85bf09ece6bc34f29c058a5c7684a9854b)
![{ displaystyle { sqrt [{- q}] { toplamı _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} leq prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} leq { sqrt [{q}] { toplam _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b17edb61899e70c0d143093cd2e49031e40bb01)
![sqrt [p] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} leq sqrt [q] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ce95d6e1a98945428e8b5c909c573266d2a32b)
![sqrt [p] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ p} leq prod_ {i = 1} ^ nx_i ^ {w_i} leq sqrt [q] { sum_ {i = 1} ^ nw_ix_i ^ q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2a13b76294cdf6c4207225fde1ce92cf7d8a58)
![{ displaystyle { begin {align} f left ( sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} sağ) & leq sum _ {i = 1 } ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} ^ {p}) [3pt] { sqrt [{ frac {p} {q}}] { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} & leq sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} end {hizalı}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0842e9fa84322495bb38a75bede88d39e631904e)
