Hadamards lemma - Hadamards lemma

İçinde matematik, Hadamard lemması, adını Jacques Hadamard, esasen birinci dereceden bir biçimdir Taylor teoremi Düzgün, gerçek değerli bir işlevi tam olarak uygun bir şekilde ifade edebileceğimiz.

Beyan

Diyelim ki ƒ bir açık üzerinde tanımlanmış düzgün, gerçek değerli bir fonksiyon olsun, yıldız dışbükey Semt U bir noktadan a içinde nboyutlu Öklid uzayı. Sonra ƒ (x) herkes için ifade edilebilir x içinde U, şeklinde:

${ displaystyle f (x) = f (a) + toplamı _ {i = 1} ^ {n} sol (x_ {i} -a_ {i} sağ) g_ {i} (x),}$

her biri nerede g_ben düzgün bir işlevdir U, a = (a₁, …, a_n), ve x = (x₁, …, x_n).

Kanıt

İzin Vermek x içinde olmak U. İzin Vermek h [0,1] ile tanımlanan gerçek sayılara kadar olan harita

${ displaystyle h (t) = f (bir + t (x-a)).}$

O zamandan beri

${ displaystyle h '(t) = toplamı _ {i = 1} ^ {n} { frac { kısmi f} { kısmi x_ {i}}} (a + t (xa)) sol (x_ {i} -a_ {i} sağ),}$

sahibiz

${ displaystyle h (1) -h (0) = int _ {0} ^ {1} h '(t) , dt = int _ {0} ^ {1} toplamı _ {i = 1} ^ {n} { frac { kısmi f} { kısmi x_ {i}}} (a + t (xa)) left (x_ {i} -a_ {i} right) , dt = sum _ {i = 1} ^ {n} left (x_ {i} -a_ {i} sağ) int _ {0} ^ {1} { frac { kısmi f} { kısmi x_ {i} }} (a + t (xa)) , dt.}$

Ancak ek olarak, h(1) − h(0) = f(x) − f(a), öyleyse izin verirsek

${ displaystyle g_ {i} (x) = int _ {0} ^ {1} { frac { kısmi f} { kısmi x_ {i}}} (a + t (xa)) , dt, }$

teoremi kanıtladık.

Referanslar

• Nestruev, Jet (2002). Düzgün manifoldlar ve gözlenebilirler. Berlin: Springer. ISBN  0-387-95543-7.