Iitaka boyutu - Iitaka dimension

İçinde cebirsel geometri, Iitaka boyutu bir hat demeti L bir cebirsel çeşitlilik X görüntünün boyutudur rasyonel harita -e projektif uzay tarafından karar verildi L. Bu, boyutundan 1 daha küçüktür. bölüm halkası nın-nin L

${displaystyle R (X, L) = igoplus _ {d = 0} ^ {infty} H ^ {0} (X, L ^ {otimes d}).}$

Iitaka boyutu L her zaman boyutundan küçük veya ona eşittir X. Eğer L etkili değildir, bu durumda Iitaka boyutu genellikle şöyle tanımlanır: ${displaystyle -infty}$ veya basitçe negatif olduğu söylenir (bazı erken referanslar bunu -1 olarak tanımlar). Iitaka boyutu L bazen L boyutu olarak adlandırılırken, bölen D boyutuna D boyutu denir. Iitaka boyutu, Shigeru Iitaka  (1970, 1971 ).

Büyük hat paketleri

Bir hat demeti dır-dir büyük eğer maksimum Iitaka boyutuna sahipse, yani onun Iitaka boyutu temeldeki çeşitliliğin boyutuna eşitse. Bigness bir çift ​​uluslu değişmez: If f: Y → X çeşitlerin birasyonel morfizmidir ve eğer L büyük bir satır paketi X, sonra f^*L büyük bir satır paketi Y.

Herşey geniş hat demetleri büyük.

Büyük hat demetlerinin çiftasyonlu izomorfizmlerini belirlemesi gerekmez. X görüntüsü ile. Örneğin, eğer C bir hiperelliptik eğri (ikinci cinsin eğrisi gibi), sonra kanonik paket büyüktür, ancak belirlediği rasyonel harita çiftleşme izomorfizmi değildir. Bunun yerine, bire bir kapak sayfasıdır. kanonik eğri nın-nin Changi bir rasyonel normal eğri.

Kodaira boyutu

Bir kanonik demetinin Iitaka boyutu pürüzsüz çeşitlilik denir Kodaira boyutu.

Iitaka varsayımı

Karmaşık manifoldların m-çoğulcu haritası M -e W bir fiber uzay yapısını indükler.

Aşağıdaki karmaşık cebirsel çeşitleri düşünün.

K olsun kanonik paket M üzerinde H boyutu⁰(M, K^m), K holomorfik kesitleri^m, P ile gösterilir_m(M), aradı m cinsi. İzin Vermek

${displaystyle N (M) = {mgeq 1 | P_ {m} (M) geq 1},}$

o zaman N (M), sıfır olmayan m-cinsine sahip tüm pozitif tamsayı olur. N (M) boş olmadığında, ${displaystyle min N (M)}$ m-pluricanonical haritası ${displaystyle Phi _ {mK}}$ harita olarak tanımlanır

${displaystyle {egin {hizalı} Phi _ {mK}: & Mlongrightarrow mathbb {P} ^ {N} & z mapsto (varphi _ {0} (z): varphi _ {1} (z): cdots: varphi _ {N } (z)) son {hizalı}}}$

nerede ${displaystyle varphi _ {i}}$ H'nin temelleri⁰(M, K^m). Sonra görüntüsü ${displaystyle Phi _ {mK}}$, ${displaystyle Phi _ {mK} (M)}$ altmanifoldu olarak tanımlanır ${displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$.

Kesin olarak ${displaystyle m}$ İzin Vermek ${displaystyle Phi _ {mk}: Mightarrow W = Phi _ {mK} (M) altkümesi mathbb {P} ^ {N}}$ W'nin projektif uzaya gömülü karmaşık manifold olduğu m-çoğulcu haritası P^N.

Κ (M) = 1 olan yüzeyler durumunda, yukarıdaki W, eliptik bir eğri olan (κ (C) = 0) olan bir C eğrisi ile değiştirilir. Bu gerçeği genel boyuta genişletmek ve sağ üst şekilde gösterilen analitik lif yapısını elde etmek istiyoruz.

M-çoğulcu haritası, birasyonel değişmezdir. P_m(M) = P_m(W)

Çift uluslu bir harita verildiğinde ${displaystyle varphi: Mlongrightarrow W}$, m-çoğulcu haritası, soldaki şekilde gösterilen değişmeli diyagramı getirir, bu da şu anlama gelir: ${displaystyle Phi _ {mK} (M) = Phi _ {mK} (W)}$yani, m-çoğulcu cinsi çift yönlü değişmezdir.

Çift uluslu haritanın varlığı ψ: W_m1 → W_m2 projektif alanda

Iitaka tarafından n boyutlu kompakt kompleks manifold verildiği gösterilmiştir. M 1 dimension κ (M) ≤ n-1'i karşılayan Kodaira boyutu κ (M) ile yeterince büyük m₁,m₂ öyle ki ${displaystyle Phi _ {m_ {1} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {1}} (M)}$ ve ${displaystyle Phi _ {m_ {2} K}: Mlongrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$ çiftleşme açısından eşdeğerdir, yani çiftleşme haritası vardır ${displaystyle varyphi: W_ {m_ {1}} longrightarrow W_ {m_ {2}} (M)}$. Yani, sağdaki şekilde gösterilen diyagram değişmeli.

Ayrıca, biri seçilebilir ${displaystyle M ^ {*}}$ ile çiftleşme ${displaystyle M}$ ve ${displaystyle W ^ {*}}$ bu her ikisiyle de ikili ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ ve ${displaystyle W_ {m_ {1}}}$ öyle ki

${displaystyle Phi: M ^ {*} longrightarrow W ^ {*}}$

çift ​​uluslu haritadır, lifleri ${displaystyle Phi}$ basitçe birbirine bağlıdır ve genel lifler ${displaystyle Phi}$

${displaystyle M_ {w} ^ {*}: = Phi ^ {- 1} (w), W ^ {*}} kazan$

Kodaira boyutu 0 var.

Yukarıdaki lif yapısına Iitaka fiber uzayı. S yüzeyi durumunda (n = 2 = dim (S)), W^* cebirsel eğridir, lif yapısı 1 boyutundadır ve daha sonra genel lifler Kodaira boyutuna 0, yani eliptik eğriye sahiptir. Bu nedenle S, eliptik yüzeydir. Bu gerçek genel olarak genelleştirilebilir n. Bu nedenle, yüksek boyutlu birasyonel geometri çalışması, κ = -∞, 0, n ve lifleri κ = 0 olan lif uzayına ayrışır.

Iitaka'nın aşağıdaki ek formülü Iitaka varsayımı, cebirsel çeşitlerin veya kompakt karmaşık manifoldların sınıflandırılması için önemlidir.

Bu varsayım sadece kısmen çözülmüştür, örneğin şu durumda: Moishezon manifoldları. Sınıflandırma teorisinin, Iitaka varsayımını çözme çabası olduğu ve üç boyutlu V çeşidinin olduğu başka bir teoremlere öncülük ettiği söylenebilir. değişmeli ancak ve ancak κ (V) = 0 ve q (V) = 3 ve genellemesi böyle devam ediyor. minimal model programı bu varsayımdan yola çıkılmış olabilir.

Referanslar

• Iitaka, Shigeru (1970), "Cebirsel çeşitlerin D-boyutları üzerine", Proc. Japonya Acad., 46: 487–489, doi:10.3792 / pja / 1195520260, BAY  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), "Cebirsel çeşitlerin D-boyutları üzerine.", J. Math. Soc. Japonya, 23: 356–373, doi:10.2969 / jmsj / 02320356, BAY  0285531
• Ueno Kenji (1975), Cebirsel çeşitlerin ve kompakt karmaşık uzayların sınıflandırma teorisiMatematik Ders Notları, 439, Springer-Verlag, BAY  0506253