Altyapı (sayı teorisi) - Infrastructure (number theory)

İçinde matematik, bir altyapı bir grup görünen benzeri yapı küresel alanlar.

Tarihi gelişme

1972'de, D. Shanks ilk önce bir gerçek ikinci dereceden sayı alanı ve uyguladı bebek adımı dev adım hesaplamak için algoritma regülatör Böyle bir alanın ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/4 + varepsilon})}$ ikili işlemler (her biri için ${ displaystyle varepsilon> 0}$), nerede ${ displaystyle D}$ ... ayrımcı ikinci dereceden alanın; önceki yöntemler gerekli ${ displaystyle { mathcal {O}} (D ^ {1/2 + varepsilon})}$ ikili işlemler.^[1] On yıl sonra, H. W. Lenstra yayınlanan^[2] gerçek bir ikinci dereceden sayı alanının altyapısını "dairesel gruplar" cinsinden tanımlayan matematiksel bir çerçeve. Aynı zamanda R. Schoof tarafından da tanımlanmıştır.^[3] ve H. C. Williams,^[4] ve daha sonra H.C. Williams, G.W.Dueck ve B.K. kübik sayı alanları nın-nin birim sıralaması bir^[5][6] ve J. Buchmann ve H. C. Williams tarafından birinci sıradaki birimin tüm sayı alanlarına.^[7] Onun içinde habilitasyon tezi J. Buchmann, bir sayı alanının düzenleyicisini hesaplamak için bebek adımlı dev adımlı bir algoritma sundu. keyfi birim sıralaması.^[8] Rastgele birim sıralaması sayı alanlarındaki altyapıların ilk açıklaması R. Schoof tarafından şu şekilde verilmiştir: Arakelov bölenler 2008 yılında.^[9]

Altyapı da başkaları için tanımlandı küresel alanlar yani cebirsel fonksiyon alanları bitmiş sonlu alanlar. Bu ilk olarak A.Stein ve H.G.Zimmer tarafından gerçek olayda yapıldı. hiperelliptik işlev alanları.^[10] R. Scheidler ve A. Stein tarafından birinci dereceli belirli kübik fonksiyon alanlarına genişletildi.^[11][12] 1999'da S. Paulus ve H.-G. Rück, gerçek bir kuadratik fonksiyon alanının altyapısını bölen sınıf grubuyla ilişkilendirdi.^[13] Bu bağlantı, gelişigüzel fonksiyon alanlarına ve R. Schoof'un sonuçlarıyla birleştirilerek tüm global alanlara genelleştirilebilir.^[14]

Tek boyutlu durum

Soyut tanım

Bir tek boyutlu (soyut) altyapı ${ displaystyle (X, d)}$ den oluşur gerçek Numara ${ displaystyle R> 0}$, bir Sınırlı set ${ displaystyle X neq emptyset}$ ile birlikte enjekte edici harita ${ displaystyle d: X - mathbb {R} / R mathbb {Z}}$.^[15] Harita ${ displaystyle d}$ genellikle denir mesafe haritası.

Yorumlayarak ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ olarak daire nın-nin çevre ${ displaystyle R}$ ve tanımlayarak ${ displaystyle X}$ ile ${ displaystyle d (X)}$tek boyutlu bir altyapı, üzerinde sonlu bir nokta kümesi olan bir daire olarak görülebilir.

Bebek adımları

Bir bebek adımı bir tekli işlem ${ displaystyle bs: X - X}$ tek boyutlu bir altyapı üzerinde ${ displaystyle (X, d)}$. Altyapıyı bir daire olarak görselleştiren bir bebek adımı, her noktayı atar. ${ displaystyle d (X)}$ sıradaki. Resmi olarak, bunu atayarak tanımlayabilirsiniz. ${ displaystyle x X'te}$ gerçek numara ${ displaystyle f_ {x}: = inf {f '> 0 orta d (x) + f' d (X) }} içinde$; o zaman kişi tanımlayabilir ${ displaystyle bs (x): = d ^ {- 1} (d (x) + f_ {x})}$.

Dev adımlar ve azaltma haritaları

Bunu gözlemlemek ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ doğal olarak bir değişmeli grup toplamı düşünülebilir ${ displaystyle d (x) + d (y) in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ için ${ displaystyle x, y X'te}$. Genel olarak, bu bir unsur değildir ${ displaystyle d (X)}$. Ancak bunun yerine, ${ displaystyle d (X)}$ hangi yalanlar yakınlarda. Bu kavramı resmileştirmek için bir harita olduğunu varsayalım ${ displaystyle kırmızı: mathbb {R} / R mathbb {Z} - X}$; o zaman kişi tanımlayabilir ${ displaystyle gs (x, y): = kırmızı (d (x) + d (y))}$ elde etmek için ikili işlem ${ displaystyle gs: X times X to X}$, aradı dev adım operasyon. Bu işlemin genel olarak değil ilişkisel.

Ana zorluk haritanın nasıl seçileceğidir ${ displaystyle kırmızı}$. Birinin koşula sahip olmak istediğini varsayarsak ${ displaystyle red circ d = mathrm {id} _ {X}}$, bir dizi olasılık kalır. Olası bir seçim^[15] aşağıdaki gibi verilir: için ${ displaystyle v in mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, tanımlamak ${ displaystyle f_ {v}: = inf {f geq 0 orta v-f d (X) }} içinde$; o zaman biri tanımlanabilir ${ displaystyle kırmızı (v): = d ^ {- 1} (v-f_ {v})}$. Biraz keyfi gibi görünen bu seçim, küresel alanlardan altyapı elde edilmeye çalışıldığında doğal bir şekilde ortaya çıkıyor.^[14] Başka seçenekler de mümkündür, örneğin bir öğe seçmek ${ displaystyle x in d (X)}$ öyle ki ${ displaystyle | d (x) -v |}$ minimumdur (burada, ${ displaystyle | d (x) -v |}$ anlamına gelir ${ displaystyle inf {| f-v | orta f d (x) }}$, gibi ${ displaystyle d (x)}$ formda ${ displaystyle v + R mathbb {Z}}$); Gerçek kuadratik hiperelliptik fonksiyon alanları durumunda olası bir yapı S.D. Galbraith, M. Harrison ve D. J. Mireles Morales tarafından verilmiştir.^[16]

Gerçek ikinci dereceden alanlarla ilişki

D. Shanks, azaltılmış döngülere bakarken altyapıyı gerçek ikinci dereceden sayı alanlarında gözlemledi. ikili ikinci dereceden formlar. İkili ikinci dereceden formların indirgenmesi ile devam eden kesir genişleme; belirli bir birimin sürekli kesir genişlemesinde bir adım ikinci dereceden mantıksızlık verir tekli işlem tek bir eşdeğerlik sınıfındaki tüm indirgenmiş biçimler arasında dolaşan indirgenmiş biçimler kümesi üzerinde. Tüm bu indirgenmiş formları bir döngüde düzenleyen Shanks, bir kişinin, çemberin başlangıcından daha uzaktaki indirgenmiş formlara hızla atlayabileceğini fark etti beste yapmak bu tür iki form ve sonucu azaltmak. Bunu aradı ikili işlem indirgenmiş formlar setinde bir dev adımve döngüde bir sonraki indirgenmiş forma gitme işlemi a bebek adımı.

İlişkisi ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$

Set ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ doğal grup operasyonu vardır ve dev adım operasyonu ona göre tanımlanır. Bu nedenle, altyapıdaki aritmetik ile aritmetiği karşılaştırmak mantıklıdır. ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$. Grup operasyonunun ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ dev adımlar ve bebek adımları kullanılarak tanımlanabilir. ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ unsurları tarafından ${ displaystyle X}$ nispeten küçük bir reel sayı ile birlikte; bu ilk olarak D. Hühnlein ve S.Paulus tarafından tanımlanmıştır.^[17] ve M.J. Jacobson, Jr., R. Scheidler ve H. C. Williams^[18] gerçek ikinci dereceden sayı alanlarından elde edilen altyapılar durumunda. Gerçek sayıları temsil etmek için kayan noktalı sayılar kullandılar ve bu gösterimleri CRIAD-gösterimleri olarak adlandırdılar. ${ displaystyle (f, p)}$- temsiller. Daha genel olarak, tüm tek boyutlu altyapılar için benzer bir kavram tanımlanabilir; bunlar bazen denir ${ displaystyle f}$- temsiller.^[15]

Bir dizi ${ displaystyle f}$temsiller bir alt kümedir ${ displaystyle fRep}$ nın-nin ${ displaystyle X times mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ öyle ki harita ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep to mathbb {R} / R mathbb {Z}, ; (x, f) mapsto d (x) + f}$ bir bijeksiyon ve bu $fRep'te { displaystyle (x, 0) }$ her biri için ${ displaystyle x X'te}$. Eğer ${ displaystyle kırmızı: mathbb {R} / R mathbb {Z} - X}$ bir indirgeme haritasıdır, ${ displaystyle fRep_ {kırmızı}: = {(x, f) X times mathbb {R} / R mathbb {Z} orta kırmızı (d (x) + f) = x }}$ bir dizi ${ displaystyle f}$- temsiller; tersine, eğer ${ displaystyle fRep}$ bir dizi ${ displaystyle f}$- temsiller, ayarlayarak bir indirim haritası elde edilebilir ${ displaystyle kırmızı (f) = pi _ {1} ( Psi _ {fRep} ^ {- 1} (f))}$, nerede ${ displaystyle pi _ {1}: X times mathbb {R} / R mathbb {Z} ila X, ; (x, f) mapsto x}$ $ X $ üzerindeki tahmin. Bu nedenle, kümeler ${ displaystyle f}$- temsiller ve azaltma haritaları bir bire bir yazışma.

Birleştirmeyi kullanma ${ displaystyle Psi _ {fRep}: fRep ila mathbb {R} / R mathbb {Z}}$, grup işlemi üzerinden çekilebilir ${ displaystyle mathbb {R} / R mathbb {Z}}$ -e ${ displaystyle fRep}$dolayısıyla dönüyor ${ displaystyle fRep}$ değişmeli bir gruba ${ displaystyle (fRep, +)}$ tarafından ${ displaystyle x + y: = Psi _ {fRep} ^ {- 1} ( Psi _ {fRep} (x) + Psi _ {fRep} (y))}$, $fRep'te { displaystyle x, y }$. Bazı durumlarda, bu grup işlemi kullanılmadan açıkça tanımlanabilir. ${ displaystyle Psi _ {fRep}}$ ve ${ displaystyle d}$.

İndirgeme haritasının kullanılması durumunda ${ displaystyle red: mathbb {R} / R mathbb {Z} ile X, ; v mapsto d ^ {- 1} (v- inf {f geq 0 mid vf d ( X) })}$biri elde eder ${ displaystyle fRep_ {kırmızı} = {(x, f) orta f geq 0, ; forall f ' [0, f): d (x) + f' değil d (X ) }}$. Verilen $fRep_ {kırmızı}} içinde { displaystyle (x, f), (x ', f')$, düşünülebilir ${ displaystyle (x '', f '')}$ ile ${ displaystyle x '' = gs (x, x ')}$ ve ${ Displaystyle f '' = f + f '+ (d (x) + d (x') - d (gs (x, x '))) geq 0}$; bu genel olarak hiçbir unsur değildir ${ displaystyle fRep_ {kırmızı}}$, ancak şu şekilde azaltılabilir: ${ displaystyle bs ^ {- 1} (x '')}$ ve ${ Displaystyle f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x '')))}$; ikincisi olumsuz değilse, biri değiştirilir ${ displaystyle (x '', f '')}$ ile ${ displaystyle (bs ^ {- 1} (x ''), f '' - (d (x '') - d (bs ^ {- 1} (x ''))))}$ ve devam ediyor. Değer negatifse, bu vardır $fRep_ {kırmızı}} içinde { displaystyle (x '', f '')$ ve şu ${ displaystyle Psi _ {fRep_ {kırmızı}} (x, f) + Psi _ {fRep_ {kırmızı}} (x ', f') = Psi _ {fRep_ {kırmızı}} (x '', f '')}$yani ${ displaystyle (x, f) + (x ', f') = (x '', f '')}$.

Referanslar