Ters çevrilebilir matris - Invertible matrix

İçinde lineer Cebir, bir n-tarafından-n Kare matris $Bir$ denir ters çevrilebilir (Ayrıca tekil olmayan veya dejenere olmayan), varsa bir n-tarafından-n Kare matris $B$ öyle ki

{ displaystyle mathbf {AB} = mathbf {BA} = mathbf {I} _ {n} }

nerede $ben n$ gösterir n-tarafından-n kimlik matrisi ve kullanılan çarpma sıradan matris çarpımı. Durum buysa, matris $B$ tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir $Bir$ ve (çarpımsal) olarak adlandırılır ters nın-nin $Bir$ ile gösterilir $Bir -1$ .^[1]^[2] Matris ters çevirme matrisi bulma sürecidir $B$ belirli bir ters çevrilebilir matris için önceki denklemi sağlayan $Bir$ .

Bir kare matris olan değil tersinir denir tekil veya dejenere. Bir kare matris tekildir ancak ve ancak onun belirleyici sıfırdır.^[3] Tekil matrisler, bir kare matrisin girişleri sayı doğrusu veya karmaşık düzlemdeki herhangi bir sonlu bölgeden rastgele seçilirse, matrisin tekil olma olasılığının 0 olması, yani "neredeyse hiç" tekil ol. Kare olmayan matrisler (m-tarafından-n matrisler m ≠ n) tersi yoktur. Bununla birlikte, bazı durumlarda böyle bir matrisin bir sol ters veya sağ ters. Eğer $Bir$ dır-dir m-tarafından-n ve sıra nın-nin $Bir$ eşittir $n$ ( $n \leq m$ ), sonra $Bir$ sol tersi var $n$ -tarafından- $m$ matris $B$ öyle ki BA = ben_n. Eğer $Bir$ sıralaması var $m$ ( $m \leq n$ ), sonra sağ tersi olur, bir $n$ -tarafından- $m$ matris $B$ öyle ki AB = ben_m.

En yaygın durum, matrislerin gerçek veya karmaşık sayılar, tüm bu tanımlar matrisler için herhangi bir yüzük. Bununla birlikte, halkanın değişmeli olması durumunda, bir kare matrisin tersine çevrilebilir olması koşulu, bunun determinantının halkada tersinir olmasıdır, bu da genel olarak sıfır olmamasından daha katı bir gerekliliktir. Değişmeli olmayan bir halka için, olağan determinant tanımlanmamıştır. Sol-ters veya sağ-tersin varoluş koşulları daha karmaşıktır, çünkü halkalar üzerinde bir derece kavramı yoktur.

Kümesi $n$ × $n$ ters çevrilebilir matrisler, matris çarpımı işlemiyle birlikte (ve halkadan girişler) R) oluşturmak grup, genel doğrusal grup derece n, belirtilen ${ displaystyle GL_ {n} (R)}$ .^[1]

Özellikleri

Tersinir matris teoremi

İzin Vermek Bir kare ol n tarafından n matris üzerinde alan K (ör. alan R gerçek sayılar). Aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir (yani, herhangi bir matris için hepsi doğru veya tümü yanlıştır):^[4]

Bir tersine çevrilebilir, yani Bir tersi vardır, tekil değildir veya dejenere değildir.

Bir dır-dir satır eşdeğeri için n-tarafından-n kimlik matrisi ben_n.

Bir dır-dir sütun eşdeğeri için n-tarafından-n kimlik matrisi ben_n.

Bir vardır n pivot pozisyonları.

det Bir ≠ 0. Genel olarak, bir kare matris değişmeli halka tersinir ancak ve ancak belirleyici bir birim o halkada.

Bir tam sıraya sahip; yani, sıra Bir = n.

Denklem Balta = 0 sadece önemsiz çözüme sahip x = 0.

çekirdek nın-nin Bir önemsizdir, yani bir öğe olarak yalnızca boş vektörü içerir, ker (Bir) = {0}.

Denklem Balta = b her biri için tam olarak bir çözüme sahiptir b içinde Kⁿ.

Sütunları Bir vardır Doğrusal bağımsız.

Sütunları Bir açıklık Kⁿ.

Col Bir = Kⁿ.

Sütunları Bir oluşturmak temel nın-nin Kⁿ.

Doğrusal dönüşüm haritalama x -e Balta bir birebir örten itibaren Kⁿ -e Kⁿ.

Bir n-tarafından-n matris B öyle ki AB = ben_n = BA.

değiştirmek Bir^T tersinir bir matristir (dolayısıyla satırlar Bir vardır Doğrusal bağımsız, aralık Kⁿve bir temel nın-nin Kⁿ).

0 sayısı bir özdeğer nın-nin Bir.

Matris Bir sonlu bir çarpımı olarak ifade edilebilir temel matrisler.

Matris Bir sol tersi vardır (yani, bir B öyle ki BA = ben) veya bir sağ ters (yani, bir C öyle ki AC = ben), bu durumda hem sol hem de sağ tersler vardır ve B = C = Bir⁻¹.

Diğer özellikler

Ayrıca, aşağıdaki özellikler ters çevrilebilir bir matris için geçerlidir Bir:

(Bir⁻¹)⁻¹ = Bir;
(kBir)⁻¹ = k⁻¹Bir⁻¹ sıfır olmayan skaler için k;
(Balta)⁺ = x⁺Bir⁻¹ Eğer Bir ortonormal sütunlara sahiptir, burada ⁺ gösterir Moore-Penrose ters ve x bir vektördür;
(Bir^T)⁻¹ = (Bir⁻¹)^T;
Herhangi bir ters çevrilebilir n-tarafından-n matrisler Bir ve B, (AB)⁻¹ = B⁻¹Bir⁻¹. Daha genel olarak, eğer Bir₁, ..., Bir_k tersinir n-tarafından-n matrisler, sonra (Bir₁Bir₂⋅⋅⋅Bir_k−1Bir_k)⁻¹ = Bir⁻¹
_kBir⁻¹
_k−1⋯Bir⁻¹
₂Bir⁻¹
₁;
det Bir⁻¹ = (det Bir)⁻¹.

Ters matrisin satırları V bir matrisin U vardır ortonormal sütunlarına U (ve tersi sütunlar için sıraları değiştirir). Bunu görmek için varsayalım ki UV = VU = I satırları nerede V olarak belirtilir ${ displaystyle v_ {i} ^ {T}}$ ve sütunları U gibi ${ displaystyle u_ {j}}$ için ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$ . Sonra açıkça Öklid iç çarpımı herhangi ikisinden ${ displaystyle v_ {i} ^ {T} u_ {j} = delta _ {i, j}}$ . Bu özellik, bazı durumlarda bir kare matrisin tersini oluşturmada da yararlı olabilir. dikey vektörler (ancak ortonormal vektörler değil) sütunlarına U bilinmektedir. Bu durumda, yinelemeli Gram-Schmidt süreci tersin satırlarını belirlemek için bu başlangıç kümesine V.

Kendi tersi olan bir matris (yani, bir matris Bir öyle ki Bir = Bir⁻¹ ve Bir² = ben), denir involüsyon matrisi.

Adjugate ile ilgili olarak

tamamlayıcı bir matrisin ${ displaystyle A}$ tersini bulmak için kullanılabilir ${ displaystyle A}$ aşağıdaki gibi:

Eğer ${ displaystyle A}$ bir ${ displaystyle n kere n}$ tersinir matris, o zaman

{ displaystyle A ^ {- 1} = { frac {1} { det (A)}} operatöradı {adj} (A).}

Kimlik matrisi ile ilgili olarak

Matris çarpımının ilişkilendirilebilirliğinden şu sonuç çıkar:

{ displaystyle mathbf {AB} = mathbf {I} }

için sonlu kare matrisler Bir ve B, ve hatta

{ displaystyle mathbf {BA} = mathbf {I} }

^[5]

Yoğunluk

Gerçek sayılar alanı üzerinde, tekil küme n-tarafından-n matrisler, alt kümesi olarak kabul edilir R^n×n, bir boş küme yani vardır Lebesgue sıfır ölçmek. Bu doğrudur çünkü tekil matrisler, belirleyici işlevi. Bu sürekli bir fonksiyondur çünkü matrisin girişlerinde bir polinomdur. Böylece dilinde teori ölçmek, Neredeyse hepsi n-tarafından-n matrisler ters çevrilebilir.

Ayrıca, n-tarafından-n tersinir matrisler bir yoğun açık küme içinde topolojik uzay hepsinden n-tarafından-n matrisler. Eşdeğer olarak, tekil matrisler kümesi kapalı ve hiçbir yer yoğun değil alanında n-tarafından-n matrisler.

Ancak pratikte, tersinemez matrislerle karşılaşılabilir. Ve sayısal hesaplamalar tersinir olan, ancak tersinemez bir matrise yakın olan matrisler yine de sorunlu olabilir; bu tür matrislerin kötü şartlandırılmış.

Örnekler

Aşağıdakileri göz önünde bulundur 2-tarafından-2 matris:

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} -1 & { tfrac {3} {2}} 1 & -1 end {pmatrix}}.}

Matris ${ displaystyle mathbf {A}}$ ters çevrilebilir. Bunu kontrol etmek için, bunu hesaplayabiliriz ${ displaystyle det mathbf {A} = -1 / 2}$ sıfır olmayan.

Tersine çevrilemez veya tekil bir matris örneği olarak, matrisi düşünün

{ displaystyle mathbf {B} = { begin {pmatrix} -1 & { tfrac {3} {2}} { tfrac {2} {3}} & - 1 end {pmatrix}}.}

Determinantı ${ displaystyle mathbf {B}}$ 0, bir matrisin tersinemez olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Matris ters çevirme yöntemleri

Gauss elimine etme

Gauss-Ürdün elemesi bir algoritma bu, belirli bir matrisin ters çevrilebilir olup olmadığını belirlemek ve tersini bulmak için kullanılabilir. Bir alternatif, LU ayrıştırma, tersine çevrilmesi daha kolay olan üst ve alt üçgen matrisleri oluşturan.

Newton yöntemi

Bir genelleme Newton yöntemi için kullanıldığı gibi çarpımsal ters algoritma uygun bir başlangıç tohumu bulmak uygunsa uygun olabilir:

{ displaystyle X_ {k + 1} = 2X_ {k} -X_ {k} AX_ {k}.}

Victor Pan ve John Reif bir başlangıç tohumu oluşturmanın yollarını içeren işler yaptık.^[6]^[7] Byte dergisi yaklaşımlarından birini özetledi.^[8]

Newton yöntemi, yukarıdaki homotopi için üretilen dizi gibi yeterince davranan ilişkili matris aileleri ile uğraşırken özellikle yararlıdır: bazen yeni tersi için bir yaklaşımı düzeltmek için iyi bir başlangıç noktası, neredeyse eşleşen önceki bir matrisin zaten elde edilmiş tersi olabilir. mevcut matris, örneğin, elde etmede kullanılan ters matris dizisi çifti Denman – Beavers yinelemesiyle matris karekökleri; sadece bir matriste yetecek kadar yakın değillerse, her yeni matriste birden fazla yineleme geçişi gerekebilir. Newton'un yöntemi aynı zamanda, küçük hatalar nedeniyle kirlenmiş olan Gauss-Jordan algoritmasına "rötuş" düzeltmeleri için de yararlıdır. kusurlu bilgisayar aritmetiği.

Cayley-Hamilton yöntemi

Cayley-Hamilton teoremi tersine izin verir ${ displaystyle A}$ det açısından ifade edilecek ( ${ displaystyle A}$ ), izleri ve yetkileri ${ displaystyle A}$ :^[9]

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} toplamı _ {s = 0} ^ {n-1} mathbf {A } ^ {s} toplam _ {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {n-1}} prod _ {l = 1} ^ {n-1} { frac {(-1 ) ^ {k_ {l} +1}} {l ^ {k_ {l}} k_ {l}!}} operatöradı {tr} ( mathbf {A} ^ {l}) ^ {k_ {l}} ,}

nerede ${ displaystyle n}$ boyutu ${ displaystyle A}$ , ve ${ displaystyle operatöradı {tr} (A)}$ ... iz matrisin ${ displaystyle A}$ ana köşegenin toplamı ile verilir. Toplam devralınır ${ displaystyle s}$ ve hepsinin setleri ${ displaystyle k_ {l} geq 0}$ doğrusal olanı tatmin etmek Diyofant denklemi

{ displaystyle s + toplam _ {l = 1} ^ {n-1} lk_ {l} = n-1.}

Formül tam olarak yeniden yazılabilir Bell polinomları argümanların ${ displaystyle t_ {l} = - (l-1)! operatör adı {tr} (A ^ {l})}$ gibi

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} toplamı _ {s = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {s-1} { frac {(-1) ^ {n-1}} {(ns)!}} B_ {ns} (t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {ns}) .}

Eigende kompozisyon

Eğer matris Bir özdeşleştirilmiş olabilir ve özdeğerlerinden hiçbiri sıfır değilse, o zaman Bir tersinirdir ve tersi ile verilir

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {Q} mathbf { Lambda} ^ {- 1} mathbf {Q} ^ {- 1},}

nerede ${ displaystyle mathbf {Q}}$ kare (N×N) matris kimin ben-th sütun özvektördür ${ displaystyle q_ {i}}$ nın-nin ${ displaystyle mathbf {A}}$ , ve ${ displaystyle mathbf { Lambda}}$ ... Diyagonal matris köşegen elemanları karşılık gelen özdeğerlerdir, yani, ${ displaystyle Lambda _ {ii} = lambda _ {i}}$ . Eğer ${ displaystyle mathbf {A}}$ simetrik ${ displaystyle mathbf {Q}}$ olması garantilidir ortogonal matris bu nedenle ${ displaystyle mathbf {Q} ^ {- 1} = mathbf {Q} ^ { mathrm {T}}}$ . Ayrıca, çünkü ${ displaystyle mathbf { Lambda}}$ köşegen bir matristir, tersinin hesaplanması kolaydır:

{ displaystyle sol [ Lambda ^ {- 1} sağ] _ {ii} = { frac {1} { lambda _ {i}}}.}

Cholesky ayrışma

Eğer matris Bir dır-dir pozitif tanımlı, daha sonra tersi şu şekilde elde edilebilir:

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = ( mathbf {L} ^ {*}) ^ {- 1} mathbf {L} ^ {- 1},}

nerede L alt üçgen Cholesky ayrışma nın-nin Bir, ve L * eşlenik devri belirtir L.

Analitik çözüm

Transpozenin yazılması kofaktör matrisi, olarak bilinir ek matris tersini hesaplamanın etkili bir yolu da olabilir. küçük matrisler, ancak bu yinelemeli yöntem büyük matrisler için yetersizdir. Tersini belirlemek için, bir kofaktör matrisi hesaplıyoruz:

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = {1 over { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} mathbf {C} ^ { mathrm {T}} = {1 over { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} { begin {pmatrix} mathbf {C} _ {11} & mathbf {C} _ {21} & cdots & mathbf {C} _ {n1} mathbf {C} _ {12} & mathbf {C} _ {22} & cdots & mathbf {C} _ {n2} vdots & vdots & ddots & vdots mathbf {C} _ {1n} & mathbf {C} _ {2n} & cdots & mathbf {C} _ {nn} end {pmatrix}}}

Böylece

{ displaystyle sol ( mathbf {A} ^ {- 1} sağ) _ {ij} = {1 { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} sol ( mathbf {C} ^ { mathrm {T}} right) _ {ij} = {1 over { begin {vmatrix} mathbf {A} end {vmatrix}}} left ( mathbf {C} _ {ji} sağ)}

nerede |Bir| ... belirleyici nın-nin Bir, C ... kofaktör matrisi, ve C^T matrisi temsil eder değiştirmek.

2 × 2 matrislerin ters çevrilmesi

kofaktör denklemi yukarıda listelenen şu sonucu verir: 2 × 2 matrisler. Bu matrislerin ters çevrilmesi şu şekilde yapılabilir:^[10]

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}} ^ {- 1} = { frac {1} { det mathbf { A}}} { begin {bmatrix} , , , d & ! ! - b - c & , a end {bmatrix}} = { frac {1} {ad-bc} } { başla {bmatrix} , , , d & ! ! - b - c & , a end {bmatrix}}.}

Bu mümkün çünkü 1/(reklam − M.Ö) söz konusu matrisin determinantının tersidir ve aynı strateji diğer matris boyutları için de kullanılabilir.

Cayley-Hamilton yöntemi verir

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det mathbf {A}}} sol [ sol ( operatöradı {tr} mathbf {A} sağ) mathbf {I} - mathbf {A} sağ].}

3 × 3 matrislerin ters çevrilmesi

Hesaplama açısından verimli 3 × 3 matris ters çevirme ile verilir

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} a & b & c d & e & f g & h & i end {bmatrix}} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} , A & , B & , C , D & , E & , F , G & , H & , I end {bmatrix}} ^ { mathrm {T}} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} , A & , D & , G , B & , E & , H , C & , F & , I end {bmatrix}}}

(skaler nerede Bir matris ile karıştırılmamalıdır BirEğer determinant sıfır değilse, matris tersine çevrilebilir, yukarıda sağ taraftaki ara matrisin elemanları ile

{ displaystyle { begin {alignat} {6} A & = {} & (ei-fh), & quad & D & = {} & - (bi-ch), & quad & G & = {} & (bf-ce ), B & = {} & - (di-fg), & quad & E & = {} & (ai-cg), & quad & H & = {} & - (af-cd), C & = { } & (dh-eg), & quad & F & = {} & - (ah-bg), & quad & I & = {} & (ae-bd). end {alignat}}}

Determinantı Bir uygulanarak hesaplanabilir Sarrus kuralı aşağıdaki gibi:

{ displaystyle det ( mathbf {A}) = aA + bB + cC.}

Cayley-Hamilton ayrışımı verir

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} sol [{ frac {1} {2}} sol (( operatöradı {tr} mathbf {A}) ^ {2} - operatöradı {tr} mathbf {A} ^ {2} right) mathbf {I} - mathbf {A} operatorname {tr} mathbf {A} + mathbf {A} ^ {2} sağ].}

Genel 3 × 3 ters, kısaca ifade edilebilir Çapraz ürün ve üçlü ürün. Bir matris ${ displaystyle mathbf {A} = sol [ mathbf {x} _ {0}, ; mathbf {x} _ {1}, ; mathbf {x} _ {2} sağ]}$ (üç sütun vektöründen oluşur, ${ displaystyle mathbf {x} _ {0}}$ , ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}}$ , ve ${ displaystyle mathbf {x} _ {2}}$ ) ters çevrilebilir, tersi şu şekilde verilir:

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} { begin {bmatrix} {( mathbf {x_ {1}} times mathbf {x_ {2}})} ^ { mathrm {T}} {( mathbf {x_ {2}} times mathbf {x_ {0}})} ^ { mathrm {T}} {( mathbf {x_ {0}} times mathbf {x_ {1}})} ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}}.}

A'nın determinantı, ${ displaystyle det ( mathbf {A})}$ , şunun üçlü ürününe eşittir ${ displaystyle mathbf {x_ {0}}}$ , ${ displaystyle mathbf {x_ {1}}}$ , ve ${ displaystyle mathbf {x_ {2}}}$ - hacmi paralel yüzlü satırlar veya sütunlardan oluşan:

{ displaystyle det ( mathbf {A}) = mathbf {x} _ {0} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2}).}

Formülün doğruluğu, çapraz ve üçlü ürün özellikleri kullanılarak ve gruplar için sol ve sağ terslerinin her zaman çakıştığına dikkat edilerek kontrol edilebilir. Sezgisel olarak, çapraz çarpımlar nedeniyle her bir satır ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1}}$ karşılık gelmeyen iki sütununa ortogonaldir ${ displaystyle mathbf {A}}$ (köşegen dışı terimler ${ displaystyle mathbf {I} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}}$ sıfır olmak). Bölme ölçütü

{ displaystyle det ( mathbf {A}) = mathbf {x} _ {0} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2})}

köşegen unsurlarına neden olur ${ displaystyle mathbf {I} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}}$ birlik olmak. Örneğin, ilk köşegen:

{ displaystyle 1 = { frac {1} { mathbf {x_ {0}} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2})}} mathbf {x_ {0}} cdot ( mathbf {x} _ {1} times mathbf {x} _ {2}).}

4 × 4 matrislerin ters çevrilmesi

Artan boyutla, tersi için ifadeler Bir karmaşıklaşır. İçin n = 4Cayley-Hamilton yöntemi, hala izlenebilen bir ifadeye yol açar:

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = { frac {1} { det ( mathbf {A})}} sol [{ frac {1} {6}} sol (( operatorname {tr} mathbf {A}) ^ {3} -3 operatorname {tr} mathbf {A} operatorname {tr} mathbf {A} ^ {2} +2 operatorname {tr} mathbf { A} ^ {3} sağ) mathbf {I} - { frac {1} {2}} mathbf {A} left (( operatöradı {tr} mathbf {A}) ^ {2} - operatorname {tr} mathbf {A} ^ {2} right) + mathbf {A} ^ {2} operatorname {tr} mathbf {A} - mathbf {A} ^ {3} right] .}

Blok halinde ters çevirme

Matrisler ayrıca blok halinde ters çevrilmiş aşağıdaki analitik ters çevirme formülünü kullanarak:

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } mathbf {A} ^ {- 1} + mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} & - mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} - ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1 } & ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} end {bmatrix}},}

(1)

nerede Bir, B, C ve D vardır matris alt blokları keyfi büyüklükte. (Bir Tersine çevrilebilmesi için kare olmalıdır. Ayrıca, Bir ve $D - CA -1 B$ tekil olmamalıdır.^[11]) Bu strateji özellikle aşağıdaki durumlarda avantajlıdır: Bir köşegendir ve $D - CA -1 B$ ( Schur tamamlayıcı nın-nin Bir) ters çevirme gerektiren tek matrisler oldukları için küçük bir matristir.

Bu teknik birkaç kez yeniden keşfedildi ve Hans Boltz (1923),^{[kaynak belirtilmeli ]} onu ters çevirmek için kullanan jeodezik matrisler ve Tadeusz Banachiewicz (1937), onu genelleştiren ve doğruluğunu kanıtlayan.

sıfırlık teoremi geçersiz olduğunu söylüyor Bir ters matrisin sağ alt köşesindeki alt bloğun sıfırına eşittir ve B ters matrisin sağ üst köşesindeki alt bloğun boşluğuna eşittir.

Denklem'e yol açan ters çevirme prosedürü (1) üzerinde çalışan matris blok işlemleri gerçekleştirdi C ve D ilk. Bunun yerine, eğer Bir ve B ilk önce çalıştırılır ve sağlanır D ve $Bir - BD -1 C$ tekil değil^[12] sonuç

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} & - ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} - mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C}) ^ {- 1} & quad mathbf {D} ^ {- 1} + mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} end {bmatrix}}.}

(2)

Eşitleme Denklemleri (1) ve (2) sebep olur

{ displaystyle ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} + mathbf {A} ^ { -1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} ,}

(3)

{ displaystyle ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {B} ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} ,}

{ displaystyle mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C}) ^ {- 1} = ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} ,}

{ displaystyle mathbf {D} ^ {- 1} + mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {C} ( mathbf {A} - mathbf {BD} ^ {- 1} mathbf {C }) ^ {- 1} mathbf {BD} ^ {- 1} = ( mathbf {D} - mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B}) ^ {- 1} ,}

Denklem nerede (3) Woodbury matris kimliği eşdeğer olan iki terimli ters teorem.

Bir blok halinde tersine çevrilmesinden beri $n \times n$ matris iki yarı boyutlu matrisin tersine çevrilmesini ve iki yarı boyutlu matris arasında 6 çarpımı gerektirir, gösterilebilir böl ve ele geçir algoritması Bu, dahili olarak kullanılan matris çarpım algoritması ile aynı zaman karmaşıklığına sahip bir matrisi tersine çevirmek için bloksal ters çevirme kullanan.^[13] Var matris çarpma algoritmaları karmaşıklığı ile $Ö (n 2.3727)$ en iyi kanıtlanmış alt sınır ise $Ω (n 2 günlük n)$ .^[14]

Bu formül, sağ üst blok matrisi ${ displaystyle B}$ sıfır matristir. Bu formülasyon, matrisler ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle D}$ nispeten basit ters formüllere sahip (veya sözde tersler blokların hepsinin kare olmaması durumunda. Bu özel durumda, yukarıda tam genel olarak belirtilen blok matris ters çevirme formülü şu hale gelir:

{ displaystyle { begin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {0} mathbf {C} & mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix } mathbf {A} ^ {- 1} & mathbf {0} - mathbf {D} ^ {- 1} mathbf {CA} ^ {- 1} & mathbf {D} ^ {- 1 } end {bmatrix}}.}

Neumann serisine göre

Bir matris Bir özelliği var

{ displaystyle lim _ {n ila infty} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n} = 0}

sonra Bir tekil değildir ve tersi bir ile ifade edilebilir Neumann serisi:^[15]

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = toplamı _ {n = 0} ^ { infty} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n}.}

Toplamın kısaltılması, "yaklaşık" bir ters ile sonuçlanır ve bu, bir ön koşullayıcı. Kesilmiş bir serinin, Neumann serisinin bir geometrik toplam. Gibi tatmin ediyor

{ displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ {2 ^ {L} -1} ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {n} = prod _ {l = 0} ^ {L -1} ( mathbf {I} + ( mathbf {I} - mathbf {A}) ^ {2 ^ {l}})}

.

Bu nedenle, sadece ${ displaystyle 2L-2}$ hesaplamak için matris çarpımlarına ihtiyaç vardır ${ displaystyle 2 ^ {L}}$ toplamın şartları.

Daha genel olarak, eğer Bir ters çevrilebilir matrise "yakın" X anlamda olduğu

{ displaystyle lim _ {n - infty} ( mathbf {I} - mathbf {X} ^ {- 1} mathbf {A}) ^ {n} = 0 mathrm {~~ veya ~~ } lim _ {n ila infty} ( mathbf {I} - mathbf {A} mathbf {X} ^ {- 1}) ^ {n} = 0}

sonra Bir tekil değildir ve tersi

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = toplamı _ {n = 0} ^ { infty} left ( mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {X} - mathbf { A}) sağ) ^ {n} mathbf {X} ^ {- 1} ~.}

Eğer durum buysa Bir − X vardır sıra 1 o zaman bu basitleştirir

{ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} = mathbf {X} ^ {- 1} - { frac { mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {A} - mathbf {X }) mathbf {X} ^ {- 1}} {1+ operatöradı {tr} ( mathbf {X} ^ {- 1} ( mathbf {A} - mathbf {X}))}} ~. }

p-adic yaklaşım

Eğer Bir tamsayı veya rasyonel katsayıları olan bir matristir ve biz bir çözüm arıyoruz keyfi hassasiyet rasyonel, sonra a p-adic yaklaşım yöntemi kesin bir çözüme yakınsar ${ displaystyle O (n ^ {4} log ^ {2} n)}$ standart varsayarsak ${ displaystyle O (n ^ {3})}$ matris çarpımı kullanılır.^[16] Yöntem çözmeye dayanır n Dixon'ın yöntemiyle doğrusal sistemler p-adic yaklaşım (her biri ${ displaystyle O (n ^ {3} log ^ {2} n)}$ ) ve isteğe bağlı hassas matris işlemlerinde uzmanlaşmış yazılımlarda, örneğin IML'de mevcuttur.^[17]

Karşılıklı temel vektörler yöntemi

Verilen bir ${ displaystyle n kere n}$ Kare matris ${ displaystyle mathbf {X} = [x ^ {ij}]}$ , ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$ , ile ${ displaystyle n}$ olarak yorumlanan satırlar ${ displaystyle n}$ vektörler ${ displaystyle mathbf {x} _ {i} = x ^ {ij} mathbf {e} _ {j}}$ (Einstein toplamı varsayıldı) nerede ${ displaystyle mathbf {e} _ {j}}$ bir standart ortonormal taban nın-nin Öklid uzayı ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ ( ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} = mathbf {e} ^ {i}, mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j} = delta _ {i} ^ {j}}$ ), sonra kullanarak Clifford cebiri (veya Geometrik Cebir ) karşılıklı hesaplıyoruz (bazen çift ) sütun vektörleri ${ displaystyle mathbf {x} ^ {i} = x_ {ji} mathbf {e} ^ {j} = (- 1) ^ {i-1} ( mathbf {x} _ {1} wedge cdots wedge () _ {i} wedge cdots wedge mathbf {x} _ {n}) cdot ( mathbf {x} _ {1} wedge mathbf {x} _ {2} kama cdots kama mathbf {x} _ {n}) ^ {- 1}}$ ters matrisin sütunları olarak ${ displaystyle mathbf {X} ^ {- 1} = [x_ {ji}]}$ . Unutmayın, yer " ${ displaystyle () _ {i}}$ " belirtir " ${ displaystyle mathbf {x} _ {i}}$ ", yukarıdaki ifadede bu yerden kaldırılır ${ displaystyle mathbf {x} ^ {i}}$ . O zaman bizde ${ displaystyle mathbf {X} mathbf {X} ^ {- 1} = [ mathbf {x} _ {i} cdot mathbf {x} ^ {j}] = [ delta _ {i} ^ {j}] = mathbf {I} _ {n}}$ , nerede ${ displaystyle delta _ {i} ^ {j}}$ ... Kronecker deltası. Ayrıca buna sahibiz ${ displaystyle mathbf {X} ^ {- 1} mathbf {X} = [( mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {x} ^ {k}) ( mathbf {e} ^ { j} cdot mathbf {x} _ {k})] = [ mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j}] = [ delta _ {i} ^ {j} ] = mathbf {I} _ {n}}$ , gereğince, gerektiği gibi. Vektörler ${ displaystyle mathbf {x} _ {i}}$ doğrusal olarak bağımsız değildir, o zaman ${ displaystyle ( mathbf {x} _ {1} wedge mathbf {x} _ {2} wedge cdots wedge mathbf {x} _ {n}) = 0}$ ve matris ${ displaystyle mathbf {X}}$ tersinmez değildir (tersi yoktur).

Matris tersinin türevi

Ters çevrilebilir matrisin Bir bir parametreye bağlıdır t. Sonra tersinin türevi Bir göre t tarafından verilir^[18]

{ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} = - mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- 1}.}

Tersinin türevi için yukarıdaki ifadeyi türetmek için Birmatris tersinin tanımı ayırt edilebilir ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A} = mathbf {I}}$ ve sonra tersini çözün Bir:

{ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} = { frac { mathrm {d} mathbf { A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} + mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} = { frac { mathrm {d} mathbf {I}} { mathrm {d} t}} = mathbf {0}.}

Çıkarma ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}}}$ yukarıdakinin her iki tarafından ve sağda çarpılarak ${ displaystyle mathbf {A} ^ {- 1}}$ tersin türevi için doğru ifadeyi verir:

{ displaystyle { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- 1}} { mathrm {d} t}} = - mathbf {A} ^ {- 1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- 1}.}

Benzer şekilde, if ${ displaystyle varepsilon}$ o zaman küçük bir sayı

{ displaystyle sol ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X} sağ) ^ {- 1} = mathbf {A} ^ {- 1} - varepsilon mathbf {A} ^ {- 1 } mathbf {X} mathbf {A} ^ {- 1} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}) ,.}

Daha genel olarak, eğer

{ displaystyle { frac { mathrm {d} f ( mathbf {A})} { mathrm {d} t}} = sum _ {i} g_ {i} ( mathbf {A}) { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} h_ {i} ( mathbf {A}),}

sonra,

{ displaystyle f ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) = f ( mathbf {A}) + varepsilon toplamı _ {i} g_ {i} ( mathbf {A}) mathbf {X} h_ {i} ( mathbf {A}) + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}).}

Pozitif bir tam sayı verildiğinde ${ displaystyle n}$ ,

{ displaystyle { begin {align} { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {n}} { mathrm {d} t}} & = sum _ {i = 1} ^ {n } mathbf {A} ^ {i-1} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {ni}, { frac { mathrm {d} mathbf {A} ^ {- n}} { mathrm {d} t}} & = - sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {- i} { frac { mathrm {d} mathbf {A}} { mathrm {d} t}} mathbf {A} ^ {- (n + 1-i)}. end {hizalı}}}

Bu nedenle,

{ displaystyle { begin {align} ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) ^ {n} & = mathbf {A} ^ {n} + varepsilon sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {i-1} mathbf {X} mathbf {A} ^ {ni} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}), ( mathbf {A} + varepsilon mathbf {X}) ^ {- n} & = mathbf {A} ^ {- n} - varepsilon sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {A} ^ {- i} mathbf {X} mathbf {A} ^ {- (n + 1-i)} + { mathcal {O}} ( varepsilon ^ {2}). end {hizalı}}}

Genelleştirilmiş ters

Ters matrislerin bazı özellikleri şu şekilde paylaşılır: genelleştirilmiş tersler (örneğin, Moore-Penrose ters ), herhangi biri için tanımlanabilir m-tarafından-n matris.

Başvurular

Çoğu pratik uygulama için değil bir matrisi ters çevirmek için gerekli doğrusal denklem sistemi; ancak benzersiz bir çözüm için dır-dir ilgili matrisin ters çevrilebilir olması gerekir.

Ayrıştırma teknikleri gibi LU ayrıştırma tersine çevirmeden çok daha hızlıdır ve özel doğrusal sistem sınıfları için çeşitli hızlı algoritmalar da geliştirilmiştir.

Regresyon / en küçük kareler

Bilinmeyenlerin vektörünü tahmin etmek için açık bir ters gerekli olmasa da, bir ters matrisin (bilinmeyenler vektörünün arka kovaryans matrisi) köşegeninde bulunan doğruluklarını tahmin etmenin en kolay yoludur. Bununla birlikte, bir matris tersinin yalnızca köşegen girişlerini hesaplayan daha hızlı algoritmalar çoğu durumda bilinmektedir.^[19]

Matris, gerçek zamanlı simülasyonlarda tersine döner

Matris ters çevirme önemli bir rol oynar bilgisayar grafikleri, Özellikle de 3D grafikler işleme ve 3B simülasyonlar. Örnekler arasında ekrandan dünyaya Ray dökümü, dünyadan alt uzaydan dünyaya nesne dönüşümleri ve fiziksel simülasyonlar.

Matris, MIMO kablosuz iletişiminde tersine döner

Matris ters çevirme de önemli bir rol oynar. MIMO Kablosuz iletişimde (Çoklu Giriş, Çoklu Çıkış) teknolojisi. MIMO sistemi şunlardan oluşur: N ilet ve M antenleri alır. Aynı frekans bandını işgal eden benzersiz sinyaller, N antenleri iletir ve üzerinden alınır M antenleri alır. Her alıcı antenine gelen sinyal, sinyalin doğrusal bir kombinasyonu olacaktır. N bir oluşturan iletilen sinyaller N × M iletim matrisi H. Matris için çok önemlidir H alıcının iletilen bilgileri çözebilmesi için tersine çevrilebilir olması.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ ^a ^b "Kapsamlı Cebir Sembolleri Listesi". Matematik Kasası. 2020-03-25. Alındı 2020-09-08.
^ "Ters Çevrilebilir Matrisler". www.sosmath.com. Alındı 2020-09-08.
^ Weisstein, Eric W. "Matris Tersi". mathworld.wolfram.com. Alındı 2020-09-08.
^ Weisstein, Eric W. "Ters Çevrilebilir Matris Teoremi". mathworld.wolfram.com. Alındı 2020-09-08.
^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985). Matris Analizi. Cambridge University Press. s. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..
^ Pan, Victor; Reif, John (1985), Doğrusal Sistemlerin Verimli Paralel ÇözümüHesaplama Teorisi üzerine 17. Yıllık ACM Sempozyumu Bildiriler Kitabı, Providence: ACM
^ Pan, Victor; Reif, John (1985), Harvard Üniversitesi Bilgisayar Teknolojisinde Araştırma Merkezi Raporu TR-02-85, Cambridge, MA: Aiken Hesaplama Laboratuvarı
^ "Büyük Matrislerin Ters Çevrilmesi". Byte Dergisi. 11 (4): 181-190. Nisan 1986.
^ Kanıt Ek B'de bulunabilir. Kondratyuk, L. A .; Krivoruchenko, M. I. (1992). "SU (2) renk grubunda süperiletken kuark maddesi". Zeitschrift für Physik A. 344: 99–115. doi:10.1007 / BF01291027.
^ Strang Gilbert (2003). Doğrusal cebire giriş (3. baskı). SIAM. s. 71. ISBN 978-0-9614088-9-3., Bölüm 2, sayfa 71
^ Bernstein, Dennis (2005). Matris Matematiği. Princeton University Press. s. 44. ISBN 978-0-691-11802-4.
^ Bernstein, Dennis (2005). Matris Matematiği. Princeton University Press. s. 45. ISBN 978-0-691-11802-4.
^ T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Algoritmalara Giriş, 3. baskı, MIT Press, Cambridge, MA, 2009, §28.2.
^ Ran Raz. Matris çarpımının karmaşıklığı üzerine. Hesaplama Teorisi üzerine otuz dördüncü yıllık ACM sempozyumunun Bildirilerinde. ACM Press, 2002. doi:10.1145/509907.509932.
^ Stewart Gilbert (1998). Matris Algoritmaları: Temel ayrıştırmalar. SIAM. s. 55. ISBN 978-0-89871-414-2.
^ Haramoto, H .; Matsumoto, M. (2009). "Tamsayı matrislerinin tersini hesaplamak için bir p-adic algoritma". Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi. 225: 320–322. doi:10.1016 / j.cam.2008.07.044.
^ "IML - Tamsayı Matris Kitaplığı". cs.uwaterloo.ca. Alındı 14 Nisan 2018.
^ Magnus, Jan R .; Neudecker, Heinz (1999). Matris Diferansiyel Hesabı: İstatistik ve Ekonometride Uygulamalar ile (Revize ed.). New York: John Wiley & Sons. s. 151–152. ISBN 0-471-98633-X.
^ Lin, Lin; Lu, Jianfeng; Ying, Lexing; Araba, Roberto; E, Weinan (2009). "Metalik sistemlerin elektronik yapı analizine uygulama ile ters matrisin köşegenini çıkarmak için hızlı algoritma". Matematik Bilimlerinde İletişim. 7 (3): 755–777. doi:10.4310 / CMS.2009.v7.n3.a12.

daha fazla okuma

"Bir matrisin ters çevrilmesi", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Ters matrisler". Algoritmalara Giriş (2. baskı). MIT Press ve McGraw-Hill. s. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.
Bernstein, Dennis S. (2009). Matris Matematiği: Teori, Gerçekler ve Formüller (2. baskı). Princeton University Press - aracılığıyla Google Kitapları.
Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (15 Kasım 2012). "Matrix Yemek Kitabı" (PDF). sayfa 17–23.

Dış bağlantılar

Sanderson, Grant (15 Ağustos 2016). "Ters Matrisler, Sütun Uzayı ve Sıfır Uzay". Doğrusal Cebirin Özü - üzerinden Youtube.
Strang, Gilbert. "Ters Matrisler Üzerine Doğrusal Cebir Dersi". MIT Açık Ders Malzemeleri.
Matris Hesaplayıcının Sembolik Tersi, gösterilen adımlarla
Moore-Penrose Ters Matrisi

[:0-1] "Kapsamlı Cebir Sembolleri Listesi". Matematik Kasası. 2020-03-25. Alındı 2020-09-08.

[2] "Ters Çevrilebilir Matrisler". www.sosmath.com. Alındı 2020-09-08.

[3] Weisstein, Eric W. "Matris Tersi". mathworld.wolfram.com. Alındı 2020-09-08.

[4] Weisstein, Eric W. "Ters Çevrilebilir Matris Teoremi". mathworld.wolfram.com. Alındı 2020-09-08.

[5] Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985). Matris Analizi. Cambridge University Press. s. 14. ISBN 978-0-521-38632-6..

[6] Pan, Victor; Reif, John (1985), Doğrusal Sistemlerin Verimli Paralel ÇözümüHesaplama Teorisi üzerine 17. Yıllık ACM Sempozyumu Bildiriler Kitabı, Providence: ACM

[7] Pan, Victor; Reif, John (1985), Harvard Üniversitesi Bilgisayar Teknolojisinde Araştırma Merkezi Raporu TR-02-85, Cambridge, MA: Aiken Hesaplama Laboratuvarı

[8] "Büyük Matrislerin Ters Çevrilmesi". Byte Dergisi. 11 (4): 181-190. Nisan 1986.

[9] Kanıt Ek B'de bulunabilir. Kondratyuk, L. A .; Krivoruchenko, M. I. (1992). "SU (2) renk grubunda süperiletken kuark maddesi". Zeitschrift für Physik A. 344: 99–115. doi:10.1007 / BF01291027.

[10] Strang Gilbert (2003). Doğrusal cebire giriş (3. baskı). SIAM. s. 71. ISBN 978-0-9614088-9-3., Bölüm 2, sayfa 71

[11] Bernstein, Dennis (2005). Matris Matematiği. Princeton University Press. s. 44. ISBN 978-0-691-11802-4.

[12] Bernstein, Dennis (2005). Matris Matematiği. Princeton University Press. s. 45. ISBN 978-0-691-11802-4.

[13] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Algoritmalara Giriş, 3. baskı, MIT Press, Cambridge, MA, 2009, §28.2.

[14] Ran Raz. Matris çarpımının karmaşıklığı üzerine. Hesaplama Teorisi üzerine otuz dördüncü yıllık ACM sempozyumunun Bildirilerinde. ACM Press, 2002. doi:10.1145/509907.509932.

[15] Stewart Gilbert (1998). Matris Algoritmaları: Temel ayrıştırmalar. SIAM. s. 55. ISBN 978-0-89871-414-2.

[16] Haramoto, H .; Matsumoto, M. (2009). "Tamsayı matrislerinin tersini hesaplamak için bir p-adic algoritma". Hesaplamalı ve Uygulamalı Matematik Dergisi. 225: 320–322. doi:10.1016 / j.cam.2008.07.044.

[17] "IML - Tamsayı Matris Kitaplığı". cs.uwaterloo.ca. Alındı 14 Nisan 2018.

[18] Magnus, Jan R .; Neudecker, Heinz (1999). Matris Diferansiyel Hesabı: İstatistik ve Ekonometride Uygulamalar ile (Revize ed.). New York: John Wiley & Sons. s. 151–152. ISBN 0-471-98633-X.

[19] Lin, Lin; Lu, Jianfeng; Ying, Lexing; Araba, Roberto; E, Weinan (2009). "Metalik sistemlerin elektronik yapı analizine uygulama ile ters matrisin köşegenini çıkarmak için hızlı algoritma". Matematik Bilimlerinde İletişim. 7 (3): 755–777. doi:10.4310 / CMS.2009.v7.n3.a12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

Lineer Cebir
Temel konseptler	Skaler Vektör Vektör alanı Skaler çarpım Vektör projeksiyonu Doğrusal açıklık Doğrusal harita Doğrusal projeksiyon Doğrusal bağımsızlık Doğrusal kombinasyon Temel Baz değişikliği Satır ve sütun vektörleri Satır ve sütun boşlukları Çekirdek Özdeğerler ve özvektörler Transpoze Doğrusal denklemler
Matrisler	Blok Ayrışma Ters çevrilebilir Minör Çarpma işlemi Sıra dönüşüm Cramer kuralı Gauss elimine etme
Çift Doğrusal	Diklik Nokta ürün İç ürün alanı Dış ürün Gram-Schmidt süreci
Çok çizgili cebir	Belirleyici Çapraz ürün Üçlü ürün Yedi boyutlu çapraz çarpım Geometrik cebir Dış cebir Bivektör Multivektör Tensör Dış biçimcilik
Vektör alanı yapılar	Çift Doğrudan toplam İşlev alanı Bölüm Alt uzay Tensör ürünü
Sayısal	Kayan nokta Sayısal kararlılık Temel Doğrusal Cebir Alt Programları (BLAS) Seyrek matris Doğrusal cebir kitaplıklarının karşılaştırılması
Kategori Anahat Matematik portalı Vikikitap Vikiversite

Matris sınıflar
Açıkça kısıtlanmış girdiler	(0,1) Alternatif Anti-diyagonal Anti-Hermitian Anti-simetrik Ok ucu Grup Bidiagonal İkili Bisimetrik Blok çapraz Blok Üçgen blok Boole Cauchy Santrosimetrik Konferans Karmaşık Hadamard Eş pozitif Çapraz olarak baskın Diyagonal Ayrık Fourier Dönüşümü İlköğretim Eşdeğer Frobenius Genelleştirilmiş permütasyon Hadamard Hankel Hermit Hessenberg Oyuk Tamsayı Mantıklı Markov Metzler Tek terimli Moore Negatif olmayan Bölümlenmiş Paris Beşgen Permütasyon Persimetrik Polinom Pozitif Kuaterniyonik İşaret İmza Çarpık-Hermitiyen Çarpık simetrik Skyline Seyrek Sylvester Simetrik Toeplitz Üçgensel Üçgen Üniter Vandermonde Walsh Z
Sabit	Değiş tokuş Hilbert Kimlik Lehmer Birinin Pascal Pauli Redheffer Vardiya Sıfır
Koşullar özdeğerler veya özvektörler	Arkadaş Yakınsak Arızalı Köşegenleştirilebilir Hurwitz Pozitif tanımlı istikrar Stieltjes
Koşulların karşılanması Ürün:% s veya ters	Uyumlu Etkisiz veya Projeksiyon Ters çevrilebilir İstenmeyen Nilpotent Normal Dikey Ortonormal Tekil Modüler olmayan Unipotent Tamamen modüler değil Tartım
Özel uygulamalarla	Adjugate Alternatif işaret Artırılmış Bézout Carleman Cartan Dolaşan Kofaktör Değişim Bilinç bulanıklığı, konfüzyon Coxeter Aşağılayıcı Mesafe Çoğaltma Eliminasyon Öklid mesafesi Temel (doğrusal diferansiyel denklem) Jeneratör Gramian Hessian Hane sahibi Jacobian An Ödemek Toplamak Rastgele Rotasyon Seifert Kesme Benzerlik Semplektik Tamamen olumlu dönüşüm Wedderburn X – Y – Z
Kullanılan İstatistik	Bernoulli Merkezleme Korelasyon Kovaryans Tasarım Dağılım İki kat stokastik Fisher bilgisi Şapka Hassas Stokastik Geçiş
Kullanılan grafik teorisi	Bitişiklik Biadjacency Derece Edmonds İnsidans Laplacian Seidel bitişikliği Eğik bitişiklik Tutte
Bilim ve mühendislikte kullanılır	Cabibbo – Kobayashi – Maskawa Yoğunluk Temel (bilgisayar görüşü) Bulanık çağrışımlı Gama Gell-Mann Hamiltoniyen Düzensiz Üst üste gelmek S Devlet geçişi ikame Z (kimya)
İlgili terimler	Ürdün kanonik formu Doğrusal bağımsızlık Matris üstel Konik bölümlerin matris gösterimi Mükemmel matris Sözde ters Kuaterniyonik matris Sıralı basamak formu Wronskiyen
Matrislerin listesi Kategori: Matrisler