Jeffery-Hamel akışı - Jeffery–Hamel flow

İçinde akışkan dinamiği Jeffery-Hamel akışı iki düzlem duvarın kesişme noktasında bir akışkan hacmi kaynağı veya havuzu ile yakınsayan veya uzaklaşan bir kanal tarafından oluşturulan bir akıştır. Adını almıştır George Barker Jeffery (1915)^[1] ve Georg Hamel (1917),^[2] ancak daha sonra birçok büyük bilim adamı tarafından incelenmiştir. von Kármán ve Levi-Civita,^[3] Walter Tollmien,^[4] F. Noether,^[5] W.R. Dean,^[6] Rosenhead,^[7] Landau,^[8] G.K. Batchelor^[9] vb. Eksiksiz bir çözüm seti şu şekilde tanımlanmıştır: Edward Fraenkel 1962'de.^[10]

Akış açıklaması

Sabit bir hava debisine sahip iki sabit düzlem duvar düşünün ${ displaystyle Q}$ düz duvarların kesişme noktasında enjekte / emilir ve iki duvarın kapsadığı açının ${ displaystyle 2 alpha}$. Silindirik koordinatı alın ${ displaystyle (r, theta, z)}$ sistem ile ${ displaystyle r = 0}$ kesişme noktasını temsil eden ve ${ displaystyle theta = 0}$ merkez çizgisi ve ${ displaystyle (u, v, w)}$ karşılık gelen hız bileşenleridir. Plakalar eksenel yönde sonsuz uzunlukta ise ortaya çıkan akış iki boyutludur. ${ displaystyle z}$ yön veya plakalar daha uzun ama sonludur, eğer biri ihmal edildiyse ve aynı nedenle akışın tamamen radyal olduğu varsayılabilir, yani, ${ displaystyle u = u (r, theta), v = 0, w = 0}$.

Sonra süreklilik denklemi ve sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri küçültmek

${ displaystyle { başlangıç ​​{hizalı} { frac { kısmi (ru)} { kısmi r}} & = 0, [6pt] u { frac { kısmi u} { kısmi r}} ve = - { frac {1} { rho}} { frac { kısmi p} { kısmi r}} + nu sol [{ frac {1} {r}} { frac { kısmi} { kısmi r}} left (r { frac { kısmi u} { kısmi r}} sağ) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { kısmi ^ { 2} u} { partici theta ^ {2}}} - { frac {u} {r ^ {2}}} right] [6pt] 0 & = - { frac {1} { rho r}} { frac { kısmi p} { kısmi theta}} + { frac {2 nu} {r ^ {2}}} { frac { kısmi u} { kısmi theta}} end {hizalı}}}$

Sınır koşulları kaymaz durum her iki duvarda ve üçüncü koşul, kesişme noktasında enjekte edilen / emilen hacim akısının herhangi bir yarıçapta bir yüzey boyunca sabit olmasından kaynaklanmaktadır.

${ displaystyle u ( pm alpha) = 0, quad Q = int _ {- alpha} ^ { alpha} ur , d theta}$

Formülasyon

İlk denklem şunu söyler: ${ displaystyle ru}$ sadece işlevi ${ displaystyle theta}$işlev şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle F ( theta) = { frac {ru} { nu}}.}$

Farklı yazarlar işlevi farklı şekilde tanımlar, örneğin, Landau^[8] fonksiyonu bir faktörle tanımlar ${ displaystyle 6}$. Ama takip Whitham,^[11] Rosenhead^[12] ${ displaystyle theta}$ momentum denklemi olur

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { bölümlü p} { kısmi theta}} = { frac {2 nu ^ {2}} {r ^ {2}}} { frac {dF} {d theta}}}$

Şimdi izin veriyorum

${ displaystyle { frac {p-p _ { infty}} { rho}} = { frac { nu ^ {2}} {r ^ {2}}} P ( theta),}$

${ displaystyle r}$ ve ${ displaystyle theta}$ momentum denklemleri indirgenir

${ displaystyle P = - { frac {1} {2}} (F ^ {2} + F '')}$

${ displaystyle P '= 2F', quad Rightarrow quad P = 2F + C}$

ve bunu önceki denkleme koymak (basıncı ortadan kaldırmak için)

${ displaystyle F '' + F ^ {2} + 4F + 2C = 0}$

Çarpan ${ displaystyle F '}$ ve bir kez entegre etmek,

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} F ^ {3} + 2F ^ {2} + 2CF = D,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F ^ {3} + 6F ^ {2} + 6CF-3D) = 0}$

nerede ${ displaystyle C, D}$ sınır koşullarından belirlenecek sabitlerdir. Yukarıdaki denklem, diğer üç sabitle rahatlıkla yeniden yazılabilir ${ displaystyle a, b, c}$ kübik bir polinomun kökleri olarak, yalnızca iki sabitin keyfi olduğu durumlarda, üçüncü sabit her zaman diğer ikisinden elde edilir çünkü köklerin toplamı ${ displaystyle a + b + c = -6}$.

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} + { frac {1} {3}} (F-a) (F-b) (F-c) = 0,}$

${ displaystyle { frac {1} {2}} F '^ {2} - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c) = 0.}$

Sınır koşulları azalır

${ displaystyle F ( pm alpha) = 0, quad { frac {Q} { nu}} = int _ {- alpha} ^ { alpha} F , d theta}$

nerede ${ displaystyle Re = Q / nu}$ karşılık gelen Reynolds sayısı. Çözüm açısından ifade edilebilir eliptik fonksiyonlar. Yakınsak akış için ${ displaystyle Q <0}$çözüm herkes için var ${ displaystyle Re}$ama ıraksak akış için ${ displaystyle Q> 0}$çözüm yalnızca belirli bir aralık için mevcuttur ${ displaystyle Re}$.

Dinamik yorumlama^[13]

Denklem, sönümsüz doğrusal olmayan bir osilatörle (kübik potansiyelli) aynı formu alır. ${ displaystyle theta}$ dır-dir zaman, ${ displaystyle F}$ dır-dir yer değiştirme ve ${ displaystyle F '}$ dır-dir hız birim kütleli bir parçacığın denklemi, enerji denklemini (${ displaystyle K.E. + P.E. = 0}$, nerede ${ displaystyle K.E. = { frac {1} {2}} F '^ {2}}$ ve ${ displaystyle P.E. = V (F)}$ ) sıfır toplam enerji ile, potansiyel enerjinin

${ displaystyle V (F) = - { frac {1} {3}} (a-F) (F-b) (F-c)}$

nerede ${ displaystyle V leq 0}$ hareket halinde. Parçacık şu saatte başladığından beri ${ displaystyle F = 0}$ için ${ displaystyle theta = - alpha}$ ve biter ${ displaystyle F = 0}$ için ${ displaystyle theta = alpha}$Dikkate alınması gereken iki durum var.

• İlk durum ${ displaystyle b, c}$ karmaşık eşleniklerdir ve ${ displaystyle a> 0}$. Parçacık başlar ${ displaystyle F = 0}$ sonlu pozitif hız ile ve ulaşır ${ displaystyle F = a}$ hızı nerede ${ displaystyle F '= 0}$ ve ivme ${ displaystyle F '' = - dV / dF <0}$ ve geri döner ${ displaystyle F = 0}$ sonunda zaman. Parçacık hareketi ${ displaystyle 0$ saf çıkış hareketini temsil eder çünkü ${ displaystyle F> 0}$ ve aynı zamanda simetriktir ${ displaystyle theta = 0}$.
• İkinci durum ${ displaystyle c$tüm sabitler gerçektir. Hareket ${ displaystyle F = 0}$ -e ${ displaystyle F = a}$ -e ${ displaystyle F = 0}$ önceki durumda olduğu gibi saf bir simetrik çıkışı temsil eder. Ve hareket ${ displaystyle F = 0}$ -e ${ displaystyle F = b}$ -e ${ displaystyle F = 0}$ ile ${ displaystyle F <0}$ Tüm zamanlar için(${ displaystyle - alpha leq theta leq alpha}$) saf bir simetrik girişi temsil eder. Ama aynı zamanda parçacıklar arasında salınabilir ${ displaystyle b leq F leq a}$, hem giriş hem de çıkış bölgelerini temsil eder ve akışın artık simetrik olmasına gerek yoktur. ${ displaystyle theta = 0}$.

Bu dinamik yorumun zengin yapısı şu kaynaklarda bulunabilir: Rosenhead (1940).^[7]

Saf çıkış

Saf çıkış için, çünkü ${ displaystyle F = a}$ -de ${ displaystyle theta = 0}$, yönetim denkleminin entegrasyonu verir

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {F} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

ve sınır koşulları olur

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ { alpha} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Denklemler, örnek olarak verilen standart dönüşümlerle basitleştirilebilir. Jeffreys.^[14]

• İlk durum ${ displaystyle b, c}$ karmaşık eşleniklerdir ve ${ displaystyle a> 0}$ sebep olur

${ displaystyle F ( theta) = a - { frac {3M ^ {2}} {2}} { frac {1- operatorname {cn} (M theta, kappa)} {1+ operatorname {cn} (M theta, kappa)}}}$

${ displaystyle M ^ {2} = { frac {2} {3}} { sqrt {(ab) (ac)}}, quad kappa ^ {2} = { frac {1} {2} } + { frac {a + 2} {2M ^ {2}}}}$

nerede ${ displaystyle operatöradı {sn}, operatöradı {cn}}$ vardır Jacobi eliptik fonksiyonlar.

• İkinci durum ${ displaystyle c$ sebep olur

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (m theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}.}$

Sınırlayıcı formu

Sınırlayıcı koşul, saf dışarı akışın ne zaman imkansız olduğuna dikkat edilerek elde edilir. ${ displaystyle F '( pm alpha) = 0}$, Hangi ima ${ displaystyle b = 0}$ yönetim denkleminden. Dolayısıyla bu kritik koşulların ötesinde hiçbir çözüm yoktur. Kritik açı ${ displaystyle alpha _ {c}}$ tarafından verilir

${ displaystyle { begin {align} alpha _ {c} & = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {0} ^ {a} { frac {dF} { sqrt {F (aF) (F + a + 6))}}}, & = { sqrt { frac {3} {2a}}} int _ {0} ^ {1} { frac {dt } { sqrt {t (1-t) {1+ (1 + 6 / a) t }}}}, & = { frac {K (k ^ {2})} {m ^ { 2}}} end {hizalı}}}$

nerede

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {3 + a} {3}}, quad k ^ {2} = { frac {1} {2}} sol ({ frac {a} { 3 + a}} sağ)}$

nerede ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ ... birinci türden tam eliptik integral. Büyük değerler için ${ displaystyle a}$kritik açı, ${ displaystyle alpha _ {c} = { sqrt { frac {3} {a}}} K sol ({ frac {1} {2}} sağ) = { frac {3.211} { sqrt {a}}}}$.

Karşılık gelen kritik Reynolds sayısı veya hacim akışı şu şekilde verilir:

${ displaystyle { begin {align} Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} & = 2 int _ {0} ^ { alpha _ {c}} (a-6k ^ {2} m ^ {2} operatöradı {sn} ^ {2} m theta) , d theta, & = { frac {12k ^ {2}} { sqrt {1-2k ^ {2}}}} int _ {0} ^ {K} operatöradı {cn} ^ {2} tdt, & = { frac {12} { sqrt {1-2k ^ {2}}} } [E (k ^ {2}) - (1-k ^ {2}) K (k ^ {2})] end {hizalı}}}$

nerede ${ displaystyle E (k ^ {2})}$ ... ikinci türden tam eliptik integral. Büyük değerler için ${ displaystyle a, sol ( k ^ {2} sim { frac {1} {2}} - { frac {3} {2a}} sağ)}$kritik Reynolds sayısı veya hacim akışı, ${ displaystyle Re_ {c} = { frac {Q_ {c}} { nu}} = 12 { sqrt { frac {a} {3}}} sol [E sol ({ frac {1 } {2}} sağ) - { frac {1} {2}} K sol ({ frac {1} {2}} sağ) sağ] = 2,934 { sqrt {a}}}$.

Saf akış

Saf giriş için örtük çözüm şu şekilde verilir:

${ displaystyle theta = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {F} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}}$

ve sınır koşulları olur

${ displaystyle alpha = { sqrt { frac {3} {2}}} int _ {b} ^ {0} { frac {dF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc)) }}}, quad Re = 2 { sqrt { frac {3} {2}}} int _ { alpha} ^ {0} { frac {FdF} { sqrt {(aF) (Fb) (Fc))}}}.}$

Saf akış yalnızca tüm sabitler gerçek olduğunda mümkündür ${ displaystyle c$ ve çözüm şu şekilde verilir:

${ displaystyle F ( theta) = a-6k ^ {2} m ^ {2} operatorname {sn} ^ {2} (Km theta, k) = b + 6k ^ {2} m ^ {2} operatöradı {cn} ^ {2} (Km theta, k)}$

${ displaystyle m ^ {2} = { frac {1} {6}} (a-c), quad k ^ {2} = { frac {a-c} {a-c}}}$

nerede ${ displaystyle K (k ^ {2})}$ ... birinci türden tam eliptik integral.

Sınırlayıcı formu

Reynolds sayısı arttıkça (${ displaystyle -b}$ daha büyük hale gelir), akış tekdüze olma eğilimindedir (bu nedenle potansiyel akış çözüm), duvarların yakınındaki sınır tabakaları hariç. Dan beri ${ displaystyle m}$ büyük ve ${ displaystyle alpha}$ verilmişse, çözümden anlaşılıyor ki ${ displaystyle K}$ bu nedenle büyük olmalı ${ displaystyle k sim 1}$. Ama ne zaman ${ displaystyle k yaklaşık 1}$, ${ displaystyle operatorname {sn} t yaklaşık tanh t, c yaklaşık b, a yaklaşık -2b}$çözüm olur

${ displaystyle F ( theta) = b sol {3 tanh ^ {2} sol [{ sqrt {- { frac {b} {2}}}} ( alpha - theta) + tanh ^ {- 1} { sqrt { frac {2} {3}}} sağ] -2 sağ }.}$

Açık ki ${ displaystyle F yaklaşık b}$ kalınlığın sınır tabakası dışında her yerde ${ displaystyle O sol ({ sqrt {- { frac {b} {2}}}} sağ)}$. Hacim akışı ${ displaystyle Q / nu yaklaşık 2 alpha b}$ Böylece ${ displaystyle | Re | = O (| b |)}$ ve sınır katmanları klasik kalınlığa sahiptir ${ Displaystyle O sol (| Re | ^ {1/2} sağ)}$.

Referanslar

1. ^ Jeffery, G. B. "L. Viskoz bir sıvının iki boyutlu sabit hareketi." The London, Edinburgh ve Dublin Philosophical Magazine ve Journal of Science 29.172 (1915): 455–465.
2. ^ Hamel, Georg. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten." Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
3. ^ von Kármán, ve Levi-Civita. "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik." (1922)
4. ^ Walter Tollmien "Handbuch der Experimentalphysik, Cilt 4." (1931): 257.
5. ^ Fritz Noether "Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, Cilt 5." Leipzig, JA Barch (1931): 733.
6. ^ Dean, W. R. "LXXII. Akışkanın farklı akışıyla ilgili not." The London, Edinburgh ve Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 18.121 (1934): 759–777.
7. ^ ^{a b} Louis Rosenhead "Viskoz sıvının iki eğimli düzlem duvar arasındaki sabit iki boyutlu radyal akışı." Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri: Matematik, Fizik ve Mühendislik Bilimleri. Cilt 175. No. 963. Kraliyet Cemiyeti, 1940.
8. ^ ^{a b} Lev Landau, ve E. M. Lifshitz. "Akışkanlar Mekaniği Pergamon." New York 61 (1959).
9. ^ G.K. Batchelor. Akışkanlar dinamiğine giriş. Cambridge üniversite basını, 2000.
10. ^ Fraenkel, L. E. (1962). Hafif eğimli duvarlara sahip simetrik kanallarda laminer akış, I. Düz duvarlar arasındaki akış için Jeffery-Hamel çözümleri. Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri. Seri A. Matematiksel ve Fiziksel Bilimler, 267 (1328), 119-138.
11. ^ Whitham, G. B. "Laminer Sınır Katmanlarında Bölüm III." (1963): 122.
12. ^ Rosenhead, Louis, ed. Laminer sınır tabakaları. Clarendon Press, 1963.
13. ^ Drazin, Philip G., ve Norman Riley. Navier-Stokes denklemleri: akışların sınıflandırılması ve kesin çözümler. 334. Cambridge University Press, 2006.
14. ^ Jeffreys, Harold, Bertha Swirles ve Philip M. Morse. "Matematiksel fizik yöntemleri." (1956): 32–34.