Jurkat-Richert teoremi - Jurkat–Richert theorem

Jurkat-Richert teoremi bir matematik teoremi içinde elek teorisi. İspatlarda önemli bir bileşendir. Chen'in teoremi açık Goldbach varsayımı.^[1]^:2721965 yılında Wolfgang B.Jurkat ve Hans-Egon Richert.^[2]

Teoremin ifadesi

Bu formülasyon Diamond & Halberstam.^[3]^:81Diğer formülasyonlar Jurkat & Richert'tedir,^[2]^:230 Halberstam ve Richert,^[4]^:231ve Nathanson.^[1]^:257

Varsayalım Bir sonlu bir tamsayı dizisidir ve P bir dizi asal. Yazmak Bir_d içindeki öğe sayısı için Bir ile bölünebilen d, ve yaz P(z) içindeki elemanların ürünü için P daha az z. Yaz ω (d) için çarpımsal işlev öyle ki ω (p)/p yaklaşık olarak öğelerinin oranı Bir ile bölünebilir p, yazmak X herhangi bir uygun yaklaşım için |Bir| ve kalanı şu şekilde yazın:

{displaystyle r_ {A} (d) = sol | A_ {d} sağ | - {frac {omega (d)} {d}} X.}

Yazmak S(Bir,P,z) içindeki öğe sayısı için Bir görece asal olan P(z). Yazmak

{displaystyle V (z) = prod _ {pin P, p

Ν yaz (m) farklı asal bölenlerin sayısı için m. Yazmak F₁ ve f₁ belirli diferansiyel diferansiyel denklemleri karşılayan fonksiyonlar için (bkz. Diamond & Halberstam^[3]^:67–68 tanımı ve özellikleri için).

Boyutun (eleme yoğunluğu) 1 olduğunu varsayıyoruz: yani, sabit bir C öyle ki 2 ≤ z < w sahibiz

{displaystyle prod _ {zleq p

(Diamond & Halberstam kitabı^[3] teoremi 1'den büyük boyutlara genişletir.) Sonra Jurkat – Richert teoremi herhangi bir sayı için y ve z 2 ≤ ile z ≤ y ≤ X sahibiz

{displaystyle S (A, P, z) leq XV (z) sol (F_ {1} sol ({frac {log y} {log z}} sağ) + Oleft ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) + toplam _ {m | P (z), m

ve

{displaystyle S (A, P, z) geq XV (z) sol (f_ {1} sol ({frac {log y} {log z}} sağ) -Oleft ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) -sum _ {m | P (z), m

Notlar

^ ^a ^b Nathanson, Melvyn B. (1996). Toplamsal Sayı Teorisi: Klasik Temeller. Matematikte Lisansüstü Metinler. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. Alındı 2009-03-14.
^ ^a ^b Jurkat, W. B .; Richert, H.-E. (1965). "Selberg'in elek yöntemi I'in iyileştirilmesi" (PDF). Açta Arithmetica. XI: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. Alındı 2009-02-17.
^ ^a ^b ^c Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini (2008). Daha Yüksek Boyutlu Bir Elek Yöntemi: Elek İşlevlerini Hesaplama Prosedürleriyle. Matematikte Cambridge Yolları. 177. William F. Galway ile. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.
^ Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Elek Yöntemleri. London Mathematical Society Monographs. 4. Londra: Akademik Basın. ISBN 0-12-318250-6. BAY 0424730. Zbl 0298.10026.

[Nathanson-1] Nathanson, Melvyn B. (1996). Toplamsal Sayı Teorisi: Klasik Temeller. Matematikte Lisansüstü Metinler. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. Alındı 2009-03-14.

[JR-2] Jurkat, W. B .; Richert, H.-E. (1965). "Selberg'in elek yöntemi I'in iyileştirilmesi" (PDF). Açta Arithmetica. XI: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. Alındı 2009-02-17.

[DH-3] Diamond, Harold G .; Halberstam, Heini (2008). Daha Yüksek Boyutlu Bir Elek Yöntemi: Elek İşlevlerini Hesaplama Prosedürleriyle. Matematikte Cambridge Yolları. 177. William F. Galway ile. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.

[HR-4] Halberstam, Heini; Richert, H.-E. (1974). Elek Yöntemleri. London Mathematical Society Monographs. 4. Londra: Akademik Basın. ISBN 0-12-318250-6. BAY 0424730. Zbl 0298.10026.

[1]

[2]

[3]

[4]