Kovner – Besicovitch ölçüsü - Kovner–Besicovitch measure

En büyük merkezi simetrik altküme (merkezi gölgeli bölge) Reuleaux üçgeni ve alt kümenin simetri merkezi boyunca yansıması

İçinde uçak geometrisi Kovner – Besicovitch ölçüsü herhangi bir sınırlı için tanımlanan bir sayıdır dışbükey küme olmaya ne kadar yakın olduğunu tarif etmek merkezi simetrik bu. Kümenin en büyük merkezi simetrik alt kümesi tarafından kapsanabilen bölümüdür.^[1]

Özellikleri

Bu ölçü, merkezi olarak simetrik olan bir küme için ve kapanışı merkezi olarak simetrik olmayan kümeler için birden azdır. Altında değişmez afin dönüşümler uçağın. Eğer ${ displaystyle c}$ belirli bir dışbükey cisim içindeki en büyük merkezi simetrik kümenin simetri merkezidir ${ displaystyle K}$ merkezi simetrik kümenin kendisi, ${ displaystyle K}$ yansımasıyla ${ displaystyle c}$ .^[1]

Küçültücüler

Mümkün olan en küçük Kovner – Besicovitch ölçüsüne sahip dışbükey kümeler, ölçüsü 2/3 olan üçgenlerdir. Üçgenlerin bu önlemin küçültülmesi sonucu şu şekilde bilinir: Kovner teoremi ya da Kovner-Besicovitch teoremive tüm dışbükey kümeler için 2 / 3'ün üzerindeki ölçüyü sınırlayan eşitsizlik, Kovner-Besicovitch eşitsizliği.^[2] sabit genişlikte eğri mümkün olan en küçük Kovner – Besicovitch önlemi ile Reuleaux üçgeni.^[3]

Hesaplama karmaşıklığı

Herhangi bir dışbükey çokgenin Kovner – Besicovitch ölçüsü ${ displaystyle n}$ köşeler zamanında bulunabilir ${ displaystyle O (n log n)}$ Yansıtılmamış çokgen ile mümkün olan en büyük örtüşmeye sahip olan çokgenin yansımasının bir çevirisini belirleyerek.^[4]

Tarih

Branko Grünbaum Kovner-Besicovitch teoreminin ilk olarak 1935 tarihli bir ders kitabında Rusça olarak yayınlandığını yazar. varyasyonlar hesabı tarafından Mikhail Lavrentyev ve Lazar Lyusternik Sovyet matematikçi ve jeofizikçiye yatırıldığı yer S. S. Kovner [ru ]. Ek kanıtlar tarafından verildi Abram Samoilovitch Besicovitch ve tarafından István Fáry, ayrıca Kovner – Besicovitch ölçüsünün her küçültücüsünün bir üçgen olduğunu kanıtladı.^[1]

Ayrıca bakınız

Estermann ölçüsü alt kümeler yerine süper kümeler kullanılarak tanımlanan merkezi simetri ölçüsü

Referanslar

^ ^a ^b ^c Grünbaum, Branko (1963), "Dışbükey kümeler için simetri ölçüleri", in Klee, Victor L. (ed.), Dışbükeylik, Saf Matematikte Sempozyum Bildirileri, 7Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 233–270, BAY 0156259
^ Makeev, V. V. (2007), "Vektör demetleri için bazı aşırı sorunlar", St.Petersburg Matematik Dergisi, 19 (2): 131–155, doi:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, BAY 2333901
^ Finch Steven R. (2003), "8.10 Reuleaux Üçgen Sabitleri" (PDF), Matematiksel Sabitler, Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, Cambridge University Press, s.513–514, ISBN 978-0-521-81805-6.
^ de Berg, M.; Cheong, O.; Devillers, O .; van Kreveld, M.; Teillaud, M. (1998), "İki dışbükey çokgenin çeviriler altındaki maksimum örtüşmesini hesaplama", Hesaplama Sistemleri Teorisi, 31 (5): 613–628, doi:10.1007 / PL00005845, BAY 1640323

Dış bağlantılar

Merkezi Simetri Ölçüsü, Tanya Khovanova 's Math Blog, 2 Eylül 2012

[grunbaum-1] Grünbaum, Branko (1963), "Dışbükey kümeler için simetri ölçüleri", in Klee, Victor L. (ed.), Dışbükeylik, Saf Matematikte Sempozyum Bildirileri, 7Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 233–270, BAY 0156259

[makaev-2] Makeev, V. V. (2007), "Vektör demetleri için bazı aşırı sorunlar", St.Petersburg Matematik Dergisi, 19 (2): 131–155, doi:10.1090 / S1061-0022-08-00998-9, BAY 2333901

[finch-3] Finch Steven R. (2003), "8.10 Reuleaux Üçgen Sabitleri" (PDF), Matematiksel Sabitler, Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, Cambridge University Press, s.513–514, ISBN 978-0-521-81805-6.

[bcdkt-4] Berg, M.; Cheong, O.; Devillers, O .; van Kreveld, M.; Teillaud, M. (1998), "İki dışbükey çokgenin çeviriler altındaki maksimum örtüşmesini hesaplama", Hesaplama Sistemleri Teorisi, 31 (5): 613–628, doi:10.1007 / PL00005845, BAY 1640323

[1]

[2]

[3]

[4]