Legendre rasyonel fonksiyonlarının grafiği için n = 0,1,2 ve 3 için x 0,01 ile 100 arasında.
İçinde matematik Legendre rasyonel işlevler bir dizi ortogonal fonksiyonlar [0, ∞) üzerinde. Oluşturarak elde edilirler Cayley dönüşümü ile Legendre polinomları.
Rasyonel bir Legendre derecesi işlevi n olarak tanımlanır:
![{displaystyle R_ {n} (x) = {frac {sqrt {2}} {x + 1}}, P_ {n} sol ({frac {x-1} {x + 1}} ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1797911517f3f6c990ed0206eea8c53b491835c)
nerede
bir Legendre polinomudur. Bu işlevler özfonksiyonlar tekil Sturm-Liouville sorunu:
![(x + 1) kısmi_x (xpartial_x ((x + 1) v (x))) + lambda v (x) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a5d0b0a0ba1ae28af916ebb3f02e78ff8b654f)
özdeğerlerle
![lambda_n = n (n + 1),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6483c40a6f29acccbc0e81649e0069a7df420188)
Özellikleri
Birinci tür Legendre polinomlarının özelliklerinden birçok özellik türetilebilir. Diğer özellikler, işlevlerin kendilerine özgüdür.
Özyineleme
![R_ {n + 1} (x) = frac {2n + 1} {n + 1}, frac {x-1} {x + 1}, R_n (x) -frac {n} {n + 1}, R_ {n-1} (x) quadmathrm {for, nge 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5aa277c68a207bd371e2d9c582be01a128749ec)
ve
![2 (2n + 1) R_n (x) = (x + 1) ^ 2 (kısmi_x R_ {n + 1} (x) -partial_x R_ {n-1} (x)) + (x + 1) (R_ { n + 1} (x) -R_ {n-1} (x))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918d9e603d7cd5bda3abb6e6b7a904ae870a7e36)
Sınırlayıcı davranış
Yedinci derecenin arsa (n = 7) Legendre rasyonel işlevi ile çarpılır 1 + x için x 0,01 ile 100 arasında. n simetrik olarak düzenlenmiş sıfırlar x = 1 ve eğer x0 sıfır, öyleyse 1 / x0 aynı zamanda sıfırdır. Bu özellikler tüm siparişler için geçerlidir.
Gösterilebilir ki
![lim_ {xightarrow infty} (x + 1) R_n (x) = sqrt {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ec1b2592c00a6e523156ad935a7c3265844961)
ve
![lim_ {xightarrow infty} xpartial_x ((x + 1) R_n (x)) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09781ba875f99382788af0ca40f68b7d3d97a8f0)
Diklik
![int_ {0} ^ infty R_m (x), R_n (x), dx = frac {2} {2n + 1} delta_ {nm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8da58fe8cce0d7755f4a4c4f62e960af3829a3)
nerede
... Kronecker deltası işlevi.
Özel değerler
![R_ {0} (x) = 1,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2dfb5b36db8d2fc248339e0db433ddb9b1da6e)
![R_ {1} (x) = {frac {x-1} {x + 1}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee709f13f56ac0c4d40adcaf683e72a31ef5fa11)
![R_2 (x) = frac {x ^ 2-4x + 1} {(x + 1) ^ 2},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec8de3c6a042759e02245d85548f6dd588e9d01)
![R_3 (x) = frac {x ^ 3-9x ^ 2 + 9x-1} {(x + 1) ^ 3},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3460d50c2a38aa001f1b9368a8e80448ff9b99)
![R_4 (x) = frac {x ^ 4-16x ^ 3 + 36x ^ 2-16x + 1} {(x + 1) ^ 4},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1dd01b2f83ba73c26bb3bcd3b3ad7b60bf0fa5)
Referanslar
Zhong-Qing, Wang; Ben-Yu, Guo (2005). "Sonsuz bir şeritte sıkıştırılamaz viskoz sıvı akışı için karışık spektral bir yöntem". Mat. Apl. Bilgisayar. 24 (3). doi:10.1590 / S0101-82052005000300002.