Lochss teoremi - Lochss theorem

İçinde sayı teorisi, Lochs teoremi yakınsama oranıyla ilgili bir teoremdir devam eden kesir tipik bir gerçek sayının genişlemesi. Teoremin bir kanıtı tarafından yayınlandı Gustav Lochs 1964'te.^[1]

Teorem şunu belirtir: Neredeyse hepsi (0,1) aralığında gerçek sayılar, terim sayısı m ilkini belirlemek için gereken sayının devam eden kesir genişletmesinin n sayının ondalık açılımının basamağı davranır asimptotik olarak aşağıdaki gibi:

${ displaystyle lim _ {n ile infty} { frac {m} {n}} = { frac {6 ln (2) ln (10)} { pi ^ {2}}} yaklaşık 0.97027014}$ (sıra A086819 içinde OEIS ).^[2]

Bu sınır 1'den sadece biraz daha küçük olduğu için, bu, "tipik" bir gerçek sayının sürekli kesir gösterimindeki her bir ek terimin, temsilin doğruluğunu yaklaşık bir ondalık basamak artırdığı şeklinde yorumlanabilir. ondalık sistem son konumsal sistem her basamağın, sürekli bir kesir bölümünden daha az bilgi taşıdığı; gidiyor taban-11 (değiştirme ${ displaystyle ln (10)}$ -e ${ displaystyle ln (11)}$ denklemde) yukarıdaki değeri 1'i aşar.

Bu sınırın tersi,

${ displaystyle { frac { pi ^ {2}} {6 ln (2) ln (10)}} yaklaşık 1.03064083}$ (sıra A062542 içinde OEIS ),

10 tabanlı logaritmanın iki katıdır Lévy sabiti.

Üç tipik sayı ve altın Oran. Tipik sayılar yaklaşık 45 ° 'lik bir çizgiyi takip eder, çünkü her devam eden kesir katsayısı yaklaşık bir ondalık basamak verir. Altın oran ise her basamak için en fazla katsayı gerektiren sayıdır.

Bu davranışı sergilemeyen bir sayının belirgin bir örneği, altın Oran - bazen "en mantıksız "sayı - devam eden kesir terimlerinin tümü birdir, kanonik biçimde mümkün olan en küçük terimdir. Ortalama olarak, ondalık basamak başına yaklaşık 2,39 sürekli kesir terimi gerektirir.^[3]

Referanslar