Loewner diferansiyel denklemi - Loewner differential equation

İçinde matematik, Loewner diferansiyel denklemiveya Loewner denklemi, bir adi diferansiyel denklem tarafından keşfedildi Charles Loewner 1923 yılında karmaşık analiz ve geometrik fonksiyon teorisi. Başlangıçta yarık eşlemelerini incelemek için tanıtıldı (konformal eşlemeler of açık disk üzerine karmaşık düzlem 0 ile ∞ arasında bir eğri kaldırılarak), Loewner'ın yöntemi daha sonra 1943'te Rus matematikçi Pavel Parfenevich Kufarev (1909–1968) tarafından geliştirilmiştir. Karmaşık düzlemdeki anlamıyla sürekli genişleyen herhangi bir etki alanı ailesi Carathéodory tüm düzleme, tek parametreli bir uyumlu eşleme ailesine götürür. Loewner zinciriyanı sıra iki parametreli bir aile holomorf tek değerlikli kendi kendine eşlemeler of birim disk, deniliyor Loewner yarı grubu. Bu yarıgrup, pozitif gerçek kısmı olan disk üzerindeki bir parametreli holomorfik fonksiyonlar ailesi tarafından verilen disk üzerindeki zamana bağlı bir holomorfik vektör alanına karşılık gelir. Loewner yarı grubu, bir tek değerlikli yarı grup.

Loewner diferansiyel denklemi, çözümünde önemli bir rol oynayan tek değerlikli fonksiyonlar için eşitsizliklere yol açmıştır. Bieberbach varsayımı tarafından Louis de Branges Loewner, 1923'te üçüncü katsayı varsayımını kanıtlamak için kendi tekniklerini kullandı. Schramm-Loewner denklemi Loewner diferansiyel denkleminin stokastik bir genellemesi, Oded Schramm 1990'ların sonlarında, olasılık teorisi ve konformal alan teorisi.

Alt tek değerli fonksiyonlar

İzin Vermek f ve g olmak holomorf tek değerli fonksiyonlar ünite diskinde D, |z| <1, ile f(0) = 0 = g(0).

f olduğu söyleniyor ikincil -e g eğer ve sadece tek değerlikli bir eşleme varsa φ D kendi içine 0 sabitleyerek

${ displaystyle displaystyle {f (z) = g ( varphi (z))}}$

için |z| < 1.

Böyle bir eşlemenin φ varlığı için gerekli ve yeterli bir koşul şudur:

${ displaystyle f (D) subseteq g (D).}$

Gereklilik acildir.

Tersine φ ile tanımlanmalıdır

${ displaystyle displaystyle { varphi (z) = g ^ {- 1} (f (z)).}}$

Tanım gereği of tek değerlikli bir holomorfik kendi kendini haritalandırmasıdır. D φ (0) = 0 ile.

Böyle bir harita 0 <| φ '(0) | ≤ 1 ve her diski alır D_r, |z| r <1, kendi içine, bunu takip eder

${ displaystyle displaystyle {| f ^ { prime} (0) | leq | g ^ { prime} (0) |}}$

ve

${ displaystyle displaystyle {f (D_ {r}) subseteq g (D_ {r}).}}$

Loewner zinciri

0 ≤ için t ≤ ∞ izin U(t) açık bağlantılı ve basitçe bağlantılı alt kümelerden oluşan bir aile olun C 0 içeren, öyle ki

${ Displaystyle U (s) alt küme U (t)}$

Eğer s < t,

${ displaystyle U (t) = bigcup _ {s$

ve

${ displaystyle U ( infty) = { mathbb {C}}.}$

Böylece eğer ${ displaystyle s_ {n} uparrow t}$,

${ Displaystyle U (s_ {n}) sağ U (t)}$

anlamında Carathéodory çekirdek teoremi.

Eğer D birim diski gösterir C, bu teorem, benzersiz tek değerlikli haritaların f_t(z)

${ displaystyle f_ {t} (D) = U (t), , , , f_ {t} (0) = 0, , , , kısmi _ {z} f_ {t} (0 ) = 1}$

tarafından verilen Riemann haritalama teoremi vardır tekdüze sürekli kompakt alt kümelerinde ${ displaystyle [0, infty) kere D}$.

Dahası, işlev ${ displaystyle a (t) = f_ {t} ^ { üssü} (0)}$ pozitif, sürekli, kesinlikle artan ve süreklidir.

Bir yeniden değerleme ile şu varsayılabilir:

${ displaystyle f_ {t} ^ { prime} (0) = e ^ {t}.}$

Bu nedenle

${ displaystyle f_ {t} (z) = e ^ {t} z + a_ {2} (t) z ^ {2} + cdots}$

Tek değerlikli eşlemeler f_t(z) a denir Loewner zinciri.

Koebe bozulma teoremi zincir bilgisinin açık kümelerin özelliklerine eşdeğer olduğunu gösterir U(t).

Loewner yarı grubu

Eğer f_t(z) bir Loewner zinciridir, o zaman

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (D) subsetneq f_ {t} (D)}}$

için s < t böylece diskin benzersiz bir tek değerlikli kendi kendine eşlemesi olur φ_{s, t}(z) 0 sabitlemek öyle ki

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (z) = f_ {t} ( varphi _ {s, t} (z)).}}$

Eşsizlikle eşlemeler φ_{s, t} aşağıdaki yarı grup özelliğine sahiptir:

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {t, r} circ varphi _ {s, t} = varphi _ {s, r}}}$

için s ≤ t ≤ r.

Oluştururlar Loewner yarı grubu.

Kendi kendine eşlemeler sürekli olarak şunlara bağlıdır: s ve t ve tatmin et

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {t, t} (z) = z.}}$

Loewner diferansiyel denklemi

Loewner diferansiyel denklemi Loewner yarı grubu için veya Loewner zinciri için eşdeğer olarak türetilebilir.

Yarı grup için izin ver

${ displaystyle displaystyle {w_ {s} (z) = kısmi _ {t} varphi _ {s, t} (z) | _ {t = s}}}$

sonra

${ displaystyle displaystyle {w_ {s} (z) = - zp_ {s} (z)}}$

ile

${ displaystyle displaystyle { Re , p_ {s} (z)> 0}}$

için |z| < 1.

Sonra w(t) = φ_{s, t}(z) tatmin eder adi diferansiyel denklem

${ displaystyle displaystyle {{dw dt üzerinden} = - wp_ {t} (w)}}$

başlangıç ​​koşulu ile w(s) = z.

Loewner zinciri tarafından sağlanan diferansiyel denklemi elde etmek için f_t(z) Bunu not et

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) = f_ {s} ( varphi _ {s, t} (z))}}$

Böylece f_t(z) diferansiyel denklemi karşılar

${ displaystyle displaystyle { kısmi _ {t} f_ {t} (z) = zp_ {t} (z) kısmi _ {z} f_ {t} (z)}}$

başlangıç ​​koşulu ile

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) | _ {t = 0} = f_ {0} (z).}}$

Picard-Lindelöf teoremi sıradan diferansiyel denklemler için bu soruların çözülebileceğini ve çözümlerin holomorfik olduğunu garanti eder. z.

Loewner zinciri, sınıra geçilerek Loewner yarı grubundan kurtarılabilir:

${ displaystyle displaystyle {f_ {s} (z) = lim _ {t rightarrow infty} e ^ {t} phi _ {s, t} (z).}}$

Sonunda herhangi bir tek değerlikli kendi kendine eşleme verilirz) nın-nin D, 0 sabitlendiğinde, bir Loewner yarı grubu oluşturmak mümkündürφ_{s, t}(z) öyle ki

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {0,1} (z) = psi (z).}}$

Benzer şekilde tek değerli bir işlev verildiğinde g açık D ile g(0) = 0, öyle ki g(D) kapalı birim diski içerir, bir Loewner zinciri vardır f_t(z) öyle ki

${ displaystyle displaystyle {f_ {0} (z) = z, , , , f_ {1} (z) = g (z).}}$

Bu türden sonuçlar, ψ veya g sürekli olarak genişletmek ∂D. Genelde eşlemeleri değiştirerek takip ederler f(z) onaylamalarlaf(rz)/r ve sonra standart bir kompaktlık argümanı kullanarak.^[1]

Yarık eşlemeleri

Holomorfik fonksiyonlar p(z) üzerinde D pozitif gerçek kısmı ile normalleştirilmiş ve böylece p(0) = 1, Herglotz temsil teoremi:

${ displaystyle displaystyle {p (z) = int _ {0} ^ {2 pi} {1 + e ^ {- i theta} z 1-e üzerinde ^ {- i theta} z} , d mu ( theta),}}$

μ, daire üzerindeki olasılık ölçüsüdür. Bir nokta ölçüsü almak, işlevleri seçer

${ displaystyle displaystyle {p_ {t} (z) = {1+ kappa (t) z 1- kappa (t) z}}} üzerinde$

ile | κ (t) | = 1, tarafından ilk dikkate alınacak olan Loewner (1923).

Birim diskteki tek değerlikli işlevler için eşitsizlikler, kompakt alt kümeleri üzerinde tek tip yakınsama için yoğunluk kullanılarak kanıtlanabilir. yarık eşlemeleri. Bunlar, sonlu bir noktayı ∞ ihmal edilmiş bir noktaya bağlayan bir Jordan yayı ile birim diskin karmaşık düzlem üzerindeki uyumlu haritalarıdır. Yoğunluk, Carathéodory çekirdek teoremi. Aslında herhangi bir tek değerli fonksiyon f(z) fonksiyonlarla yaklaşık olarak hesaplanır

${ displaystyle displaystyle {g (z) = f (rz) / r}}$

birim çemberi analitik bir eğriye götürür. Bu eğri üzerindeki bir nokta, bir Jordan yayı ile sonsuza bağlanabilir. Analitik eğrinin küçük bir parçasının seçilen noktanın bir tarafına çıkarılmasıyla elde edilen bölgeler, g(D) böylece karşılık gelen tek değerlikli haritalar D bu bölgelere yakınsar g kompakt setlerde eşit olarak.^[2]

Loewner diferansiyel denklemini bir yarık fonksiyonuna uygulamak için f, ihmal edilen Jordan yayı c(t) sonlu bir noktadan ∞'a [0, ∞) ile parametrelendirilebilir, böylece harita tek değerlikli harita f_t nın-nin D üstüne C Daha az c([t, ∞)) forma sahiptir

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} (z) = e ^ {t} (z + b_ {2} (t) z ^ {2} + b_ {3} (t) z ^ {3} + cdots )}}$

ile b_n sürekli. Özellikle

${ displaystyle displaystyle {f_ {0} (z) = f (z).}}$

İçin s ≤ t, İzin Vermek

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {s, t} (z) = f_ {t} ^ {- 1} circ f_ {s} (z) = e ^ {st} (z + a_ {2} ( s, t) z ^ {2} + a_ {3} (s, t) z ^ {3} + cdots)}}$

ile a_n sürekli.

Bu bir Loewner zinciri ve Loewner yarı grubu verir.

${ displaystyle displaystyle {p_ {t} (z) = {1+ kappa (t) z 1- kappa (t) z}}} üzerinde$

burada κ [0, ∞) birim çembere sürekli bir haritadır.^[3]

Κ'yi belirlemek için, note'ye dikkat edin_{s, t} birim diski, bir iç noktadan kaldırılan sınıra bir Jordan yayı ile birim diske eşler. Sınıra dokunduğu noktadan bağımsızdır s ve sürekli bir fonksiyonu λ (t) [0, ∞) birim çembere. κ (t) λ'nın karmaşık eşleniği (veya tersidir) (t):

${ displaystyle displaystyle { kappa (t) = lambda (t) ^ {- 1}.}}$

Eşdeğer olarak Carathéodory teoremi f_t kapalı birim diske ve λ (t), bazen denir sürüş işlevi, tarafından belirtilir

${ displaystyle displaystyle {f_ {t} ( lambda (t)) = c (t).}}$

Her sürekli fonksiyon κ bir yarık eşlemesinden gelmez, ancak Kufarev, κ'nin sürekli bir türevi olduğunda bunun doğru olduğunu gösterdi.

Bieberbach varsayımına uygulama

Loewner (1923) yarık eşlemeleri için diferansiyel denklemini kullanarak Bieberbach varsayımı

${ displaystyle displaystyle {| a_ {3} | leq 3}}$

tek değerlikli bir fonksiyonun üçüncü katsayısı için

${ displaystyle displaystyle {f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}}$

Bu durumda, gerekirse döndürme, varsayılabilir a₃ negatif değildir.

Sonra

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {0, t} (z) = e ^ {- t} (z + a_ {2} (t) z ^ {2} + a_ {3} (t) z ^ { 3} + cdots)}}$

ile a_n sürekli. Tatmin ederler

${ displaystyle displaystyle {a_ {n} (0) = 0, , , a_ {n} ( infty) = a_ {n}.}}$

Eğer

${ displaystyle displaystyle { alpha (t) = e ^ {- t} kappa (t),}}$

Loewner diferansiyel denklemi,

${ displaystyle displaystyle {{ nokta {a_ {2}}} = - 2 alpha}}$

ve

${ displaystyle displaystyle {{ nokta {a_ {3}}} = - 2 alpha ^ {2} -4 alpha , a_ {2}.}}$

Yani

${ displaystyle displaystyle {a_ {2} = - 2 int _ {0} ^ { infty} alpha (t) , dt}}$

bu hemen Bieberbach'ın eşitsizliğini ima eder

${ displaystyle displaystyle {| a_ {2} | leq 2.}}$

benzer şekilde

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = - 2 int _ {0} ^ { infty} alpha ^ {2} , dt + 4 sol ( int _ {0} ^ { infty} alfa , dt sağ) ^ {2}}}$

Dan beri a₃ negatif değildir ve | κ (t)| = 1,

${ displaystyle displaystyle {| a_ {3} | = 2 int _ {0} ^ { infty} | Re alpha ^ {2} | , dt + 4 sol ( int _ {0} ^ { infty} Re alpha , dt right) ^ {2}} leq 2 int _ {0} ^ { infty} | Re alpha ^ {2} | , dt + 4 left ( int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} , dt right) left ( int _ {0} ^ { infty} e ^ {t} ( Re alpha) ^ {2} , dt right) = 1 + 4 int _ {0} ^ { infty} (e ^ {- t} -e ^ {- 2t}) ( Re kappa) ^ {2} , dt leq 3,}$

kullanmak Cauchy-Schwarz eşitsizliği.

Notlar

Referanslar

• Duren, P.L. (1983), Tek değerli fonksiyonlar, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Kufarev, P. P. (1943), "Analitik fonksiyonların tek parametreli aileleri hakkında", Mat. Sbornik, 13: 87–118
• Lawler, G.F. (2005), Düzlemde uyumlu olarak değişmeyen süreçler, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 114, Amerikan Matematik Derneği ISBN  0-8218-3677-3
• Loewner, C. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I", Matematik. Ann., 89: 103–121, doi:10.1007 / BF01448091, hdl:10338.dmlcz / 125927
• Pommerenke, C. (1975), Tek değerli fonksiyonlar, ikinci dereceden diferansiyeller üzerine Gerd Jensen tarafından yazılmıştır., Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck ve Ruprecht