Günlük yapısı - Log structure

İçinde cebirsel geometri, bir günlük yapısı çalışmak için soyut bir bağlam sağlar yarı kararlı şemalar ve özellikle logaritmik diferansiyel formu ve ilgili Hodge-teorik kavramlar. Bu fikrin teorisinde uygulamaları var modül uzayları, içinde deformasyon teorisi ve Fontaine'in p-adic Hodge teorisi diğerleri arasında.

Motivasyon

Fikir biraz çalışmak cebirsel çeşitlilik (veya plan ) U hangisi pürüzsüz ama zorunlu değil uygun içine yerleştirerek X, hangisi uygun ve sonra belirli kasnaklara bakmak X. Sorun şu ki, alt tabaka ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ kısıtlaması olan fonksiyonlardan oluşur U tersinir bir halkalar demeti değildir (kaybolmayan iki fonksiyonun eklenmesi ortadan kaybolan birini sağlayabilir) ve sadece bir demet submonoids elde ederiz. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ , çarpılarak. Bu ek yapıyı hatırlamak X bir şekilde dahil etmeyi hatırlamaya karşılık gelir ${ displaystyle j kolon U ila X}$ benzeyen X bu ekstra yapı ile sınırları olan bir çeşitliliğe (karşılık gelen ${ displaystyle D = X-U}$ ).^[1]

Tanım

İzin Vermek X bir plan olun. Bir ön kayıt yapısı açık X (değişmeli) monoid demetinden oluşur ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ açık X monoidlerin homomorfizmi ile birlikte ${ displaystyle alpha kolon { mathcal {M}} - { mathcal {O}} _ {X}}$ , nerede ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ fonksiyonların çarpımı altında bir monoid olarak kabul edilir.

Günlük öncesi yapı ${ displaystyle ({ mathcal {M}}, alpha)}$ bir günlük yapısı eğer ek olarak ${ displaystyle alpha}$ bir izomorfizma neden olur ${ displaystyle alpha iki nokta üst üste alfa ^ {- 1} ({ mathcal {O}} _ {X} ^ { times}) ile { mathcal {O}} _ {X} ^ { times} }$ .

(Pre-) log yapılarının bir morfizmi, ilişkili homomorfizmlerle birlikte gelen monoid demetlerinin homomorfizminden oluşur. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ .

Günlük şeması, basitçe bir günlük yapısıyla döşenmiş bir şemadır.

Örnekler

Herhangi bir şema için Xbiri tanımlayabilir önemsiz günlük yapısı açık X alarak ${ displaystyle { mathcal {M}} = { mathcal {O}} _ {X} ^ { times}}$ ve ${ displaystyle alpha}$ kimlik olmak için.
Log yapısının tanımı için motive edici örnek, yarı kararsız şemalardan gelir. İzin Vermek X bir plan olmak, ${ displaystyle j kolon U ila X}$ açık bir alt şemanın dahil edilmesi Xtamamlayıcı ile ${ displaystyle D = X-U}$ a normal geçişli bölen. Sonra bu durumla ilişkili bir günlük yapısı vardır, ${ displaystyle { mathcal {M}} = { mathcal {O}} _ {X} cap j _ {*} { mathcal {O}} _ {U} ^ { times}}$ , ile ${ displaystyle alpha}$ basitçe dahil etme morfizmi ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ . Bu denir kanonik (veya standart) günlük yapısı açık X ilişkili D.
İzin Vermek R olmak ayrık değerleme halkası kalıntı alanı ile k ve kesir alanı K. Sonra kanonik günlük yapısı açık ${ displaystyle mathrm {Özel} (R)}$ aşağıdakilerin dahil edilmesinden oluşur ${ displaystyle R setminus {0 }}$ (ve yok ${ displaystyle R ^ { times}}$ !) içeride ${ displaystyle R}$ . Bu aslında önceki yapının bir örneğidir, ancak ${ displaystyle j kolon mathrm {Özel} (K) - mathrm {Özel} (R)}$ .
İle R yukarıdaki gibi, biri de tanımlanabilir içi boş günlük yapısı açık ${ displaystyle mathrm {Özel} (R)}$ daha önce olduğu gibi aynı monoid demetini alarak, bunun yerine maksimal idealini göndererek R 0'a kadar.

Başvurular

Günlük yapılarının bir uygulaması, herhangi bir günlük şemasında logaritmik formları tanımlama yeteneğidir. Buradan, örneğin şemalar için olağan tanımlara paralel olan log-düzgünlük ve log-olsallık kavramları tanımlanabilir. Bu daha sonra çalışılmasına izin verir deformasyon teorisi.

Ek olarak, günlük yapıları, karışık Hodge yapısı herhangi bir pürüzsüz çeşitlilikte X, sınır ile bir kompaktlaştırma alarak normal bir geçiş bölen Dve yazmak Hodge-De Rham kompleksi ilişkili X tarafından tanımlanan standart günlük yapısıyla D.^[2]

Günlük nesneleri ayrıca doğal olarak sınırda nesneler olarak görünür. modül uzayları yani dejenerasyonlardan.

Log geometrisi ayrıca log-kristal kohomoloji analogu kristalin kohomoloji Düzgün olması gerekmeyen çeşitler için iyi davranışa sahip olan, sadece düzgün günlük. Bu, daha sonra teorisine uygulanır. Galois temsilleri ve özellikle yarı kararsız Galois temsilleri.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Arthur Ogus (2011). Logaritmik Cebirsel Geometri Üzerine Dersler.
^ Chris A.M. Peters; Joseph H.M. Steenbrink (2007). Karışık Hodge Yapıları. Springer. ISBN 978-3-540-77015-2

[Ogus-1] Arthur Ogus (2011). Logaritmik Cebirsel Geometri Üzerine Dersler.

[MHS-2] Chris A.M. Peters; Joseph H.M. Steenbrink (2007). Karışık Hodge Yapıları. Springer. ISBN 978-3-540-77015-2

[1]

[2]