Loomis-Whitney eşitsizliği - Loomis–Whitney inequality

İçinde matematik, Loomis-Whitney eşitsizliği sonuçtur geometri, en basit şekliyle, bir kişinin "boyutunu" tahmin etmesine izin veren ${displaystyle d}$-boyutlu boyutlarına göre belirlenir ${displaystyle (d-1)}$boyutlu projeksiyonlar. Eşitsizliğin uygulamaları var olay geometrisi sözde "kafes hayvanları" ve diğer alanların incelenmesi.

Sonuç, Amerikan matematikçiler Lynn Harold Loomis ve Hassler Whitney ve 1949'da yayınlandı.

Eşitsizlik beyanı

Bir boyutu düzeltin ${displaystyle dgeq 2}$ ve projeksiyonları düşünün

${displaystyle pi _ {j}: mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R} ^ {d-1},}$

${displaystyle pi _ {j}: x = (x_ {1}, dots, x_ {d}) mapsto {x}} _ {j} = (x_ {1}, dots, x_ {j-1}, x_ {j + 1}, noktalar, x_ {d}).}$

Her 1 ≤ için j ≤ d, İzin Vermek

${displaystyle g_ {j}: mathbb {R} ^ {d-1} o [0, + infty),}$

${displaystyle g_ {j} L ^ {d-1} (mathbb {R} ^ {d-1}).}$

Sonra Loomis-Whitney eşitsizliği tutar:

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} g_ {j} (pi _ {j} (x)), mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} | g_ {j} | _ {L ^ {d-1} (mathbb {R} ^ {d-1})}.}$

Eşdeğer olarak, alarak

${displaystyle f_ {j} (x) = g_ {j} (x) ^ {d-1},}$

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)}, mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} left (int _ {mathbb {R} ^ {d-1}} f_ {j} ({hat {x}} _ {j}), mathrm {d} {şapka {x}} _ {j} ight) ^ {1 / (d-1)}.}$

Özel bir durum

Loomis-Whitney eşitsizliği, Lebesgue ölçümü alt kümesinin Öklid uzayı ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ koordinat yönlerinde "ortalama genişliklerine". İzin Vermek E biraz ol ölçülebilir alt küme nın-nin ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ ve izin ver

${displaystyle f_ {j} = mathbf {1} _ {pi _ {j} (E)}}$

ol gösterge işlevi projeksiyonunun E üzerine jkoordinat hiper düzlemi. Bunu herhangi bir nokta için takip eder x içinde E,

${displaystyle prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)} = 1.}$

Dolayısıyla, Loomis-Whitney eşitsizliğine göre,

${displaystyle | E | leq prod _ {j = 1} ^ {d} | pi _ {j} (E) | ^ {1 / (d-1)},}$

ve dolayısıyla

${displaystyle | E | geq prod _ {j = 1} ^ {d} {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}.}$

Miktar

${displaystyle {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}}$

ortalama genişliği olarak düşünülebilir ${displaystyle E}$ içinde ${displaystyle j}$koordinat yönü. Loomis-Whitney eşitsizliğinin bu yorumu, Öklid uzayının sonlu bir alt kümesini ele alırsak ve Lebesgue ölçüsünü şu şekilde değiştirirsek de geçerlidir. sayma ölçüsü.

Genellemeler

Loomis-Whitney eşitsizliği özel bir durumdur Brascamp-Lieb eşitsizliği projeksiyonların π_j yukarıda daha genel olarak değiştirilmiştir doğrusal haritalar, mutlaka aynı boyuttaki alanlarla eşleştirme olması gerekmez.

Referanslar

• Loomis, Lynn H.; Whitney, Hassler (1949). "İzoperimetrik eşitsizlikle ilgili bir eşitsizlik". Amerikan Matematik Derneği Bülteni. 55 (10): 961–962. doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09320-5. BAY0031538