Majumdar-Ghosh modeli - Majumdar–Ghosh model

Majumdar-Ghosh modeli tek boyutlu kuantum Heisenberg dönüş modeli burada en yakın komşu antiferromanyetik değişim etkileşimi, sonraki en yakın komşu etkileşiminden iki kat daha güçlüdür. Daha genel olanın özel bir durumu ${ displaystyle J_ {1}}$-${ displaystyle J_ {2}}$ model, ile ${ displaystyle J_ {1} = 2J_ {2}}$. Model adını Hintli fizikçilerden almıştır Chanchal Kumar Majumdar ve Dipan Ghosh.^[1]

Majumdar-Ghosh modeli dikkate değerdir çünkü temel durumları (en düşük enerjili kuantum durumları) tam olarak bulunabilir ve basit bir biçimde yazılabilir, bu da onu daha karmaşık spin modellerini ve aşamalarını anlamak için yararlı bir başlangıç ​​noktası haline getirir.

Tanım

Majumdar-Ghosh modeli aşağıdaki şekilde tanımlanır Hamiltoniyen:

${ displaystyle { hat {H}} = J sum _ {j = 1} ^ {N} { vec {S}} _ {j} cdot { vec {S}} _ {j + 1} + { frac {J} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N} { vec {S}} _ {j} cdot { vec {S}} _ {j + 2}}$

S vektörünün bir kuantum olduğu yerde çevirmek kuantum numaralı operatörS = 1/2.

Katsayılar için diğer konvansiyonlar literatürde alınabilir, ancak en önemli gerçek, birinci-komşu-ikinci-komşu bağlaşımlarının oranının 2'ye 1 olmasıdır. Bu oranın bir sonucu olarak, Hamiltoniyeni ifade etmek mümkündür ( genel bir sabit tarafından kaydırılır) eşdeğer şekilde formda

${ displaystyle { hat {H}} = { frac {J} {4}} sum _ {j = 1} ^ {N} ({ vec {S}} _ {j-1} + { vec {S}} _ {j} + { vec {S}} _ {j + 1}) ^ {2}}$

Toplanan miktar, spin cebirinin üç ardışık sitedeki temsili için ikinci dereceden Casimir operatöründen başka bir şey değildir. ${ displaystyle j-1, j, j + 1}$bu da spin 1/2 ve 3/2 temsillerinin doğrudan toplamına ayrıştırılabilir. Özdeğerlere sahiptir ${ displaystyle { frac {1} {2}} ({ frac {1} {2}} + 1) = 3/4}$ spin 1/2 altuzayı için ve ${ displaystyle { frac {3} {2}} ({ frac {3} {2}} + 1) = 15/4}$ spin 3/2 alt uzay için.

Zemin durumları

Majumdar-Ghosh modelinin iki minimum enerji durumuna veya temel duruma, yani komşu spin çiftlerinin oluştuğu durumlara sahip olduğu gösterilmiştir. atlet Her temel durum için dalga fonksiyonu, bu tekli çiftlerin bir ürünüdür. Bu, neden aynı enerjiye sahip en az iki temel durum olması gerektiğini açıklar, çünkü biri diğerinden sistemi bir kafes aralığı ile kaydırarak veya çevirerek elde edilebilir. Ayrıca, bunların (ve bunların lineer kombinasyonlarının) benzersiz temel durumlar olduğu da gösterilmiştir.

Genellemeler

Majumdar-Ghosh modeli, tam olarak çözülebilecek küçük bir avuç gerçekçi kuantum spin modelinden biridir. Dahası, temel durumları olarak bilinen şeyin basit örnekleridir. değerlik bağ katıları (VBS). Dolayısıyla Majumdar-Ghosh modeli, başka bir ünlü spin modeliyle ilişkilidir: AKLT modeli, temel durumu tek boyutlu tek boyutlu spin bir (S = 1) değerlik-bağ katıdır.

Majumdar-Ghosh modeli, aynı zamanda Lieb-Schultz-Mattis teoremi bu, sonsuz, tek boyutlu, yarı tek tamsayı bir spin sisteminin ya temel ve uyarılmış durumlar arasında enerji aralığı (ya da boşluğu) olmaması ya da birden fazla temel duruma sahip olması gerektiğini belirtir. Majumdar-Ghosh modelinin bir boşluğu vardır ve ikinci durum kapsamına girer.

Modelin izotropisi, onun tam olarak dimerik bir temel durumuna sahip olması gerçeği için aslında önemli değildir. Örneğin, ${ displaystyle { hat {H}} = J sum _ {j = 1} ^ {N} ({X} _ {j} {X} _ {j + 1} + {Y} _ {j} { Y} _ {j + 1} + delta {Z} _ {j} {Z} _ {j + 1}) + { frac {J} {2}} sum _ {j = 1} ^ {N } ({X} _ {j} {X} _ {j + 2} + {Y} _ {j} {Y} _ {j + 2} + delta {Z} _ {j} {Z} _ { j + 2})}$ aynı zamanda yukarıda belirtilen tam olarak dimerize edilmiş temel duruma sahiptir. ${ displaystyle delta> -1/2}$.

Ayrıca bakınız

• Heisenberg modeli (kuantum)
• Heisenberg modeli (klasik)
• J1 J2 modeli
• Bethe ansatz
• Ising modeli
• t-J modeli

Referanslar

• C K Majumdar ve D Ghosh, Doğrusal Zincirde Sonraki-En Yakın Komşu Etkileşiminde. J. Math. Phys. 10, 1388 (1969); doi:10.1063/1.1664978
• C K Majumdar, Temel durumu bilinen antiferromanyetik model. J. Phys. C: Katı Hal Fiz. 3 911–915 (1970)
• Assa Auerbach, Etkileşen Elektronlar ve Kuantum Manyetizma Springer-Verlag New York (1992) s. 83