Matris işlevi - Matrix function

İçinde matematik, bir matris işlevi bir işlevi hangi haritalar matris başka bir matrise.

Skaler işlevi matris işlevlerine genişletme

Gerçek bir işlevi bir Kare matris ilginç özellikler korunacak şekilde işlev görür. Aşağıdaki tekniklerin tümü aynı matris işlevini verir, ancak işlevin tanımlandığı alanlar farklı olabilir.

Güç serisi

Gerçek işlev f var Taylor genişlemesi

${displaystyle f (x) = f (0) + f '(0) cdot x + f' '(0) cdot {frac {x ^ {2}} {2!}} + cdots}$

daha sonra bir matris işlevi ikame edilerek tanımlanabilir x bir matris ile: güçler matris güçleri, eklemeler matris toplamları olur ve çarpımlar ölçekleme işlemleri olur. Gerçek seri birleşirse ${displaystyle | x |$, ardından karşılık gelen matris serisi matris argümanı için yakınsar Bir Eğer ${displaystyle | A |$ bazı matris normu ${displaystyle | cdot |}$ hangisini tatmin eder ${displaystyle | AB | leq | A | cdot | B |}$.

Köşegenleştirilebilir matrisler

Matris Bir dır-dir köşegenleştirilebilir problem, her bir özdeğer üzerindeki fonksiyon dizisine indirgenebilir. Yani bir matris bulabiliriz P ve bir Diyagonal matris D öyle ki ${displaystyle A = P ~ D ~ P ^ {- 1}}$Kuvvet serisi tanımını bu ayrıştırmaya uyguladığımızda şunu buluyoruz: f(Bir) tarafından tanımlanır

${displaystyle f (A) = P {egin {bmatrix} f (d_ {1}) & dots & 0 vdots & ddots & vdots 0 & dots & f (d_ {n}) end {bmatrix}} P ^ {- 1} ~,}$

nerede ${displaystyle d_ {1}, noktalar, d_ {n}}$ köşegen girişlerini gösterir D.

Örneğin, birinin aradığını varsayalım ${displaystyle A! = Gamma (A + 1)}$ için

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 3 2 & 1end {bmatrix}} ~.}$

Birinde var

${displaystyle A = P {egin {bmatrix} 1- {sqrt {6}} & 0 0 & 1 + {sqrt {6}} end {bmatrix}} P ^ {- 1} ~,}$

için

${displaystyle P = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} & {frac {1} {sqrt {6}}} end {bmatrix}} ~.}$

Formülün uygulanması daha sonra basitçe verir

${displaystyle A! = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} & {frac {1} {sqrt {6}}} end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} Gama (2- {sqrt {6}}) & 0 0 & Gamma (2+ {sqrt {6}}) end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} 1 & - {sqrt {6}} / 2 1 & {sqrt {6}} / 2end {bmatrix}} yaklaşık {egin {bmatrix} 3.6274 & 8.8423 5.8949 & 3.6274end {bmatrix}} ~.}$

Aynı şekilde,

${displaystyle A ^ {4} = {egin {bmatrix} 1/2 & 1/2 - {frac {1} {sqrt {6}}} ve {frac {1} {sqrt {6}}} end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} (1- {sqrt {6}}) ^ {4} & 0 0 & (1+ {sqrt {6}}) ^ {4} end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} 1 & - {sqrt {6}} / 2 1 & {sqrt {6}} / 2end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} 73 & 84 56 & 73end {bmatrix}} ~.}$

Jordan ayrışması

Köşegenleştirilebilir olsun ya da olmasın, tüm karmaşık matrisler bir Ürdün normal formu ${displaystyle A = P, J, P ^ {- 1}}$, matris nerede J içerir Jordan blokları Bu blokları ayrı ayrı düşünün ve kuvvet serisini bir Jordan bloğuna uygulayın:

${displaystyle fleft ({egin {bmatrix} lambda & 1 & 0 & ldots & 0 0 & lambda & 1 & vdots & vdots 0 & 0 & ddots & ddots & vdots vdots & ldots & ddots & lambda & 1 0 & ldots & ldots & 0 & lambda} {fracrix {bmatrix} ight {bmatrix} ight} } {0!}} & {Frac {f '(lambda)} {1!}} & {Frac {f' '(lambda)} {2!}} & Ldots & {frac {f ^ {(n)} ( lambda)} {n!}} 0 & {frac {f (lambda)} {0!}} & {frac {f '(lambda)} {1!}} & vdots & {frac {f ^ {(n-1 )} (lambda)} {(n-1)!}} 0 & 0 & ddots & ddots & vdots vdots & ldots & ddots & {frac {f (lambda)} {0!}} & {frac {f '(lambda)} {1! }} 0 & ldots & ldots & 0 & {frac {f (lambda)} {0!}} End {bmatrix}}.}$

Bu tanım, matris fonksiyonunun alanını, kuvvet serisinin yakınsama yarıçapından daha küçük spektral yarıçaplı matrisler kümesinin ötesine genişletmek için kullanılabilir. bölünmüş farklılıklar.

İlgili bir kavram da Jordan-Chevalley ayrışımı bir matrisi köşegenleştirilebilir ve üstelsıfır bir parçanın toplamı olarak ifade eder.

Hermit matrisleri

Bir Hermit matrisi tüm gerçek özdeğerlere sahiptir ve her zaman bir ile köşegenleştirilebilir üniter matris P, göre spektral teorem Bu durumda, Jordan tanımı doğaldır. Dahası, bu tanım, standart eşitsizliklerin gerçek işlevler için genişletilmesine izin verir:

Eğer ${displaystyle f (a) leq g (a)}$ tüm özdeğerler için ${displaystyle A}$, sonra ${displaystyle f (A) preceq g (A)}$(Bir kongre olarak, ${displaystyle Xpreceq YLeftrightarrow Y-X}$ bir pozitif-yarı kesin matris.) İspat, doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır.

Cauchy integrali

Cauchy'nin integral formülü itibaren karmaşık analiz skaler fonksiyonları matris fonksiyonlarına genellemek için de kullanılabilir. Cauchy'nin integral formülü, herhangi bir analitik işlev f bir sette tanımlanmış D ⊂ ℂ, birinde var

${displaystyle f (x) = {frac {1} {2pi i}} oint _ {C}! {frac {f (z)} {z-x}}, mathrm {d} z ~,}$

nerede C etki alanı içindeki kapalı basit bir eğridir D çevreleyen x.

Şimdi değiştir x bir matrisle Bir ve bir yol düşün C içeride D hepsini kapsayan özdeğerler nın-nin Bir. Bunu başarmanın bir yolu, C etrafında daire olmak Menşei ile yarıçap daha geniş ‖Bir‖ Keyfi için matris normu ‖ • ‖. Sonra, f(Bir) tarafından tanımlanabilir

${displaystyle f (A) = {frac {1} {2pi i}} oint _ {!!!!! C}! {f (z) (zI-A) ^ {- 1}}, mathrm {d} z ~.}$

Bu integral, kullanılarak sayısal olarak kolayca değerlendirilebilir. trapez kuralı, hangi yakınsak bu durumda üssel olarak. Bu şu demektir hassas Sonuç, düğüm sayısı iki katına çıktığında ikiye katlanır. Rutin durumlarda, bu bypass edilir Sylvester formülü.

Bu fikir uygulandı sınırlı doğrusal operatörler bir Banach alanı sonsuz matrisler olarak görülebilen, holomorfik fonksiyonel analiz.

Matris tedirginlikler

Yukarıdaki Taylor güç serisi skaler ${displaystyle x}$ matris ile değiştirilecek. Bu, açısından genişlerken genel olarak doğru değildir ${displaystyle A (eta) = A + eta B}$ hakkında ${displaystyle eta = 0}$ sürece ${displaystyle [A, B] = 0}$. Bir karşı örnek ${görüntü stili f (x) = x ^ {3}}$Sonlu uzunlukta Taylor serisine sahip olan. Bunu iki şekilde hesaplıyoruz,

• Dağıtım kanunu:

${displaystyle f (A + eta B) = (A + eta B) ^ {3} = A ^ {3} + eta (A ^ {2} B + ABA + BA ^ {2}) + eta ^ {2} (AB ^ {2} + BAB + B ^ {2} A) + eta ^ {3} B ^ {3}}$

• Skaler Taylor genişlemesini kullanma ${displaystyle f (a + eta b)}$ ve skalerleri matrislerle değiştirerek sonunda:

${displaystyle {egin {dizi} {rcl} f (a + eta b) & = & f (a) + f '(a) {frac {eta b} {1!}} + f' '(a) {frac { (eta b) ^ {2}} {2!}} + f '' '(a) {frac {(eta b) ^ {3}} {3!}} [. 5em] & = & a ^ {3 } + 3a ^ {2} (eta b) + 3a (eta b) ^ {2} + (eta b) ^ {3} [. 5em] & o & A ^ {3} + 3A ^ {2} (eta B) + 3A (eta B) ^ {2} + (eta B) ^ {3} end {dizi}}}$

Skaler ifade, matris ifadesi değişmezken, değişme olduğunu varsayar ve bu nedenle, bunlar doğrudan eşitlenemez. ${displaystyle [A, B] = 0}$. Bazı f(x) bu, skaler Taylor serileriyle aynı yöntem kullanılarak ele alınabilir. Örneğin, ${displaystyle f (x) = {frac {1} {x}}}$. Eğer ${displaystyle A ^ {- 1}}$ o zaman var ${displaystyle f (A + eta B) = f (mathbb {I} + eta A ^ {- 1} B) f (A)}$. İlk terimin genişletilmesi daha sonra yukarıda verilen kuvvet serisini takip eder,

${displaystyle f (mathbb {I} + eta A ^ {- 1} B) = mathbb {I} -eta A ^ {- 1} B + (- eta A ^ {- 1} B) ^ {2} + ldots = toplam _ {n = 0} ^ {infty} (- eta A ^ {- 1} B) ^ {n}}$

Kuvvet serisinin yakınsama kriterleri daha sonra uygulanır. ${displaystyle Vert eta A ^ {- 1} BVert}$ uygun matris normu altında yeterince küçük olması. İki matrisin değişeceği şekilde yeniden yazılamayan daha genel problemler için, Leibniz kuralının tekrar tekrar uygulanmasıyla üretilen matris ürünlerinin sıralaması izlenmelidir.

2 × 2 matrisin keyfi işlevi

Keyfi bir işlev f (A) 2 × 2 A matrisinin Sylvester formülü basitleştirmek

${displaystyle f (A) = {frac {f (lambda _ {+}) + f (lambda _ {-})} {2}} I + {frac {A-sol ({frac {tr (A)} {2 }} ight) I} {sqrt {left ({frac {tr (A)} {2}} ight) ^ {2} - | A |}}} {frac {f (lambda _ {+}) - f ( lambda _ {-})} {2}} ~,}$

nerede ${displaystyle lambda _ {pm}}$ karakteristik denkleminin özdeğerleridir, | A-λI | = 0 ve

${displaystyle lambda _ {pm} = {frac {tr (A)} {2}} pm {sqrt {left ({frac {tr (A)} {2}} ight) ^ {2} - | A |}} .}$

Örnekler

• Cebirsel Riccati denklemi
• Matris polinomu
• Matris kökü
• Matris logaritması
• Matris üstel

Matris fonksiyonlarının sınıfları

Yarı belirsiz sıralamayı kullanma (${displaystyle Xpreceq YLeftrightarrow Y-X}$ dır-dir pozitif-yarı kesin ve ${displaystyle Xprec YLeftrightarrow Y-X}$ dır-dir pozitif tanımlı ), bazı skaler fonksiyon sınıfları, matris fonksiyonlarına genişletilebilir. Hermit matrisleri.^[1]

Operatör monoton

Bir işlev ${displaystyle f}$ Operatör monoton denir ancak ve ancak${displaystyle 0prec Apreceq HRightarrow f (A) preceq f (H)}$tüm kendinden eşlenik matrisler için ${displaystyle A, H}$ f alanındaki spektrumlarla. Bu, monoton işlev skaler durumda.

Operatör içbükey / dışbükey

Bir işlev ${displaystyle f}$ operatör içbükey olarak adlandırılır ancak ve ancak

${displaystyle au f (A) + (1- au) f (H) preceq fleft (au A + (1-au) Hight)}$

tüm kendinden eşlenik matrisler için ${displaystyle A, H}$ f alanında spektrumlarla ve ${displaystyle au [0,1]}$Bu tanım, bir içbükey skaler fonksiyon Bir operatör dışbükey işlevi, anahtarlama olarak tanımlanabilir ${displaystyle preceq}$ -e ${displaystyle succeq}$ yukarıdaki tanımda.

Örnekler

Matris günlüğü hem operatör monoton hem de operatör içbükeydir. Matris karesi operatör dışbükeydir. Üstel matris bunlardan hiçbiri değildir. Loewner teoremi bir fonksiyonun bir açık aralığı, ancak ve ancak üst yarım düzlemin kendisine eşleneceği şekilde üst ve alt karmaşık yarım düzlemlere analitik bir uzantıya sahipse, operatör monotondur.^[1]

Ayrıca bakınız

• Sylvester formülü
• Matris hesabı
• Eşitsizlikleri izleme
• Matrislerin trigonometrik fonksiyonları

Notlar

Referanslar

• Higham, Nicholas J. (2008). Matris teorisi ve hesaplamanın fonksiyonları. Philadelphia: Endüstriyel ve Uygulamalı Matematik Derneği. ISBN  9780898717778.