Minkowskis soru işareti işlevi - Minkowskis question-mark function

Minkowski soru işareti işlevi.
Ayrıldı: ?(x). Sağ: ?(x) − x.

İçinde matematik, Minkowski soru işareti işlevi ile gösterilir ?(x), bir işlevi çeşitli olağandışı sahip olmak fraktal özellikler, tarafından tanımlanan Hermann Minkowski  (1904, 171–172. sayfalar). Eşlenir ikinci dereceden irrasyonel -e rasyonel sayılar üzerinde birim aralığı ile ilgili bir ifade yoluyla devam eden kesir kuadratiklerin açılımları ikili genişletmeler rasyonellerin Arnaud Denjoy Buna ek olarak, rasyonel sayıları ikili gerekçeler ile yakından ilgili özyinelemeli bir tanımla görülebileceği gibi Stern-Brocot ağacı.

Tanım

Eğer [a0; a1, a2, …] ... sürekli kesir gösterimi bir irrasyonel sayı  x, sonra

oysa eğer [a0; a1, a2, …, am] bir sürekli kesir temsilidir rasyonel sayı  x, sonra

Sezgisel açıklama

Yukarıdaki tanım için biraz sezgi elde etmek için, 0 ile başlayan sonsuz bir bit dizisini gerçek sayı olarak yorumlamanın farklı yollarını düşünün. [0, 1]. Böyle bir dizeyi yorumlamanın açık bir yolu, ilk 0'dan sonra bir ikili nokta yerleştirmek ve dizeyi bir ikili genişletme: bu nedenle, örneğin 001001001001001001001001 ... dizisi 0.010010010010 ... ikili sayısını temsil eder veya 2/7. Başka bir yorum, bir dizeyi devam eden kesir [0; a1, a2, …]tam sayılar nerede aben çalışma uzunlukları bir çalışma uzunluğu kodlaması dizenin. Aynı örnek dize 001001001001001001001001 ... sonra karşılık gelir [0; 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] = 3 − 1/2. Dizge, aynı bitin sonsuz uzunlukta bir çalışmasıyla biterse, onu yok sayar ve gösterimi sonlandırırız; bu resmi "kimlik" tarafından önerilmektedir:

[0; a1, …, an, ∞] = [0; a1, …, an + 1/] = [0; a1, …, an + 0] = [0; a1, …, an].

Soru işareti işlevinin etkisi [0, 1] daha sonra bir dizenin ikinci yorumunu aynı dizenin ilk yorumuna eşlemek olarak anlaşılabilir,[1][2] aynen Kantor işlevi bir üçlü eşleme olarak anlaşılabilir taban-3 baz-2 gösterimine temsil. Örnek dizimiz eşitliği verir

Rasyonel argümanlar için yinelemeli tanım

Birim aralıktaki rasyonel sayılar için işlev de tanımlanabilir tekrarlı; Eğer p/q ve r/s vardır indirgenmiş kesirler öyle ki |psrq| = 1 (böylece bir satırın bitişik öğeleri olurlar. Farey dizisi ) sonra[3][2]

Temel durumları kullanma

daha sonra hesaplamak mümkündür ?(x) herhangi bir rasyonel içinxile başlayarak Farey dizisi sıra 2, sonra 3 vb.

Eğer pn−1/qn−1 ve pn/qn iki ardışık yakınsayan devam eden kesir, sonra matris

vardır belirleyici ± 1. Böyle bir matris, SL (2,Z), belirleyici ± 1 olan 2 × 2 matris grubu. Bu grup ile ilgilidir modüler grup.

Kendi kendine simetri

Soru işareti açıkça görsel olarak kendine benzer. Bir monoid kendi kendine benzerlikler iki operatör tarafından oluşturulabilir S ve R birim kare üzerinde hareket eder ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

Görsel olarak, S birim kareyi sol alt çeyreğine daraltırken R gerçekleştirir nokta yansıması merkezi aracılığıyla.

Bir nokta grafik nın-nin ? koordinatları var (x, ?(x)) bazı x birim aralığında. Böyle bir nokta dönüştürülür S ve R grafiğin başka bir noktasına, çünkü ? herkes için aşağıdaki kimlikleri karşılar x ∈ [0, 1]:

Bu iki operatör tekrar tekrar birleştirilerek bir monoid oluşturabilir. Monoidin genel bir öğesi daha sonra

pozitif tamsayılar için a1, a2, a3, …. Bu tür her eleman bir kendine benzerlik soru işareti işlevinin. Bu monoide bazen denir dönemi ikiye katlayan monoid ve tüm periyot ikiye katlayan fraktal eğrilerin kendisi tarafından tanımlanan bir öz-simetrisi vardır ( de Rham eğrisi soru işareti özel bir durumdur, bu tür eğrilerin bir kategorisidir). Monoidin unsurları, kimlik belirleme yoluyla rasyonellerle uyumludur. a1, a2, a3, … devam eden kesir ile [0; a1, a2, a3,…]. İkisinden beri

ve

vardır doğrusal kesirli dönüşümler tamsayı katsayıları ile, monoid, bir alt kümesi olarak kabul edilebilir modüler grup PSL (2, Z).

İkinci dereceden irrasyonel

Soru işareti işlevi, ikili olmayan rasyonellerden soruya doğru bire bir eşleştirme sağlar. ikinci dereceden irrasyonel, böylece ikincisinin sayılabilirliğinin açık bir kanıtına izin verir. Bunlar, aslında, periyodik yörüngeler için ikili dönüşüm. Bu, sadece birkaç adımda açıkça gösterilebilir.

İkili simetri

İki hareket tanımlayın: bir sol hareket ve bir sağ hareket, birim aralığı gibi

ve

ve

ve

Soru işareti işlevi daha sonra sola hareket simetrisine uyar

ve sağa hareket simetrisi

nerede gösterir işlev bileşimi. Bunlar isteğe bağlı olarak birleştirilebilir. Örneğin, sol-sağ hareketlerin sırasını düşünün C ve D alt simgelerinin eklenmesi ve anlaşılır olması için kompozisyon operatörünün çıkarılması birkaç yer dışında hepsinde şunlar bulunur:

L ve R harflerinde rastgele sonlu uzunlukta dizeler, ikili gerekçeler her ikili rasyonel hem tamsayı için n ve m ve bitlerin sonlu uzunluğu olarak ile Bu nedenle, her ikili rasyonel, soru işareti işlevinin bazı öz-simetrisi ile bire bir örtüşmektedir.

Bazı notasyonel yeniden düzenlemeler, yukarıdakilerin ifade edilmesini biraz daha kolaylaştırabilir. İzin Vermek ve L ve R'yi temsil eder. Fonksiyon bileşimi bunu bir monoid içinde yazabilir ve genellikle bazı ikili rakam dizeleri için Bir, B, nerede AB sadece sıradan birleştirme bu tür dizelerin. İkili monoid M o zaman tüm bu tür sonlu uzunluklu sol-sağ hareketlerin tek biçimidir. yazı monoidin genel bir öğesi olarak, soru işareti işlevinin karşılık gelen bir öz simetrisi vardır:

İzomorfizm

Bir yansıtma operatörü sağlanarak rasyonel ve ikili rasyonel arasında açık bir eşleştirme elde edilebilir.

ve ikisini de not ederek

ve

Dan beri kimliktir, rastgele bir sol-sağ hareket dizisi yalnızca bir sol hareket dizisi olarak yeniden yazılabilir, ardından bir yansıma, ardından daha fazla sola hareket, bir yansıma vb. açıkça izomorf olan yukardan. Bazı açık dizilerin değerlendirilmesi fonksiyon argümanında ikili bir rasyonel verir; açıkça, eşittir her biri nerede bir sol harekete karşılık gelen sıfır ve bir sağ harekete karşılık gelen ikili bir bittir. Eşdeğer dizisi hareketler, değerlendirildi rasyonel bir sayı verir Devamlı kesir tarafından sağlanan açıkça rasyonel olduğunu aklınızda bulundurun çünkü dizi sonlu uzunluktaydı. Bu, ikili rasyonel ve rasyonel arasında bire bir ilişki kurar.

İkili dönüşümün periyodik yörüngeleri

Şimdi düşünün periyodik yörüngeler of ikili dönüşüm. Bunlar, sonlu bir başlangıç ​​"kaotik" bit dizisinden oluşan bit dizilerine karşılık gelir , ardından yinelenen bir dize uzunluk . Bu tür tekrar eden dizeler bir rasyonel sayıya karşılık gelir. Bu kolayca açıklığa kavuşturulur. Yazmak

o zaman açıkça

Tekrar etmeyen ilk sırayı takip ederek, birinin açıkça bir rasyonel sayısı vardır. Aslında, her rasyonel sayı şu şekilde ifade edilebilir: bir ilk "rastgele" dizi, ardından bir döngüsel tekrar. Yani haritanın periyodik yörüngeleri rasyonellerle birebir örtüşmektedir.

Sürekli kesirler olarak periyodik yörüngeler

Bu tür periyodik yörüngeler, yukarıda belirlenen izomorfizm başına eşdeğer bir periyodik sürekli fraksiyona sahiptir. Sonlu uzunlukta bir başlangıç ​​"kaotik" yörünge, ardından tekrar eden bir dizi vardır. Tekrar eden dizi bir periyodik sürekli kesir doyurucu Bu sürekli kesir şu şekle sahiptir:[3]

ile tamsayı olmak ve tatmin edici Açık değerler yazarak elde edilebilir

vardiya için, böylece

yansıma tarafından verilirken

Böylece . Bu matrislerin ikisi de modüler olmayan, rastgele ürünler modüler olmadan kalır ve form matrisi ile sonuçlanır

Devam eden kesrin kesin değerini vermek. Tüm matris girdileri tam sayı olduğundan, bu matris projektif modüler grup

Açıkça çözme, biri var Buna yönelik çözümlerin ikinci dereceden mantıksızlık tanımına uyduğunu doğrulamak zor değildir. Aslında, her ikinci dereceden irrasyonel bu şekilde ifade edilebilir. Bu nedenle, ikinci dereceden irrasyoneller, ikili dönüşümün periyodik yörüngeleri ile bire bir örtüşmektedir; bunlar, (ikili olmayan) rasyonellerle bire bir örtüşmektedir, bunlar ile bire bir örtüşmektedir. ikili rasyonel. Soru işareti işlevi her durumda yazışmayı sağlar.

Özellikleri ?(x)

? (x) - x

Soru işareti işlevi bir kesinlikle artan ve sürekli[4] Ama değil kesinlikle sürekli işlevi. türev kaybolur rasyonel sayılar. Bir için birkaç yapı var ölçü entegre edildiğinde soru işareti işlevi sağlar. Böyle bir yapı, yoğunluğun ölçülmesiyle elde edilir. Farey numaraları gerçek sayı doğrusunda. Soru işareti ölçüsü, bazen olarak adlandırılan şeyin prototipik bir örneğidir. çok fraktal önlemler.

Soru işareti işlevi, rasyonel sayıları şu şekilde eşler: ikili rasyonel sayılar yani kimin ikinci taban Yukarıda özetlenen yinelemeli yapıdan tümevarımla kanıtlanabileceği gibi temsil sona erer. Eşlenir ikinci dereceden irrasyonel ikili olmayan rasyonel sayılara. O bir Tek işlev ve fonksiyonel denklemi karşılar ?(x + 1) = ?(x) + 1; sonuç olarak x → ?(x) − x garip periyodik fonksiyon birinci dönem ile. Eğer ?(x) mantıksız, öyleyse x ya cebirsel ikiden büyük derece veya transandantal.

Soru işareti işlevi, sabit noktalar 0'da, 1/2 ve 1 ve en az iki tane daha, orta nokta etrafında simetrik. Biri yaklaşık 0,42037'dir.[4]Moshchevitin, bunların sadece 5 sabit nokta olduğunu varsaydı.[5]

1943'te, Raphaël Salem soru işareti fonksiyonunun Fourier-Stieltjes katsayılarının sonsuzda yok olup olmadığı sorusunu gündeme getirdi.[6] Başka bir deyişle,

Bu, Jordan ve Sahlsten tarafından olumlu cevaplandı.[7] özel bir sonuç olarak Gibbs önlemleri.

Minkowski soru işareti fonksiyonunun grafiği, özel bir fraktal eğriler durumudur. de Rham eğrileri.

Algoritma

Özyinelemeli tanım doğal olarak kendini bir algoritma aşağıdaki gibi herhangi bir gerçek sayı için istenen herhangi bir doğruluk derecesinde işlevi hesaplamak için C işlevi gösterir. Algoritma, Stern-Brocot ağacı girdiyi ararkenxve ikili genişlemesinin koşullarını toplar y = ?(x) yolda. Sürece döngüsel değişmez qrps = 1 memnun kalırsa, oranı azaltmaya gerek yoktur m/n = p + r/q + s, çünkü zaten en düşük şartlarda. Başka bir değişmez p/qx < r/s. için Bu programdaki döngü bir şekilde bir süre döngü, ilk üç satırdaki koşullu break ifadeleri koşulu oluşturan. Döngüdeki değişmezleri etkileyebilecek tek ifade son iki satırdadır ve bunların, ilk üç satır döngüden kopmadan başarılı bir şekilde yürütüldüğü sürece her iki değişmezin doğruluğunu koruduğu gösterilebilir. Döngünün gövdesi için üçüncü bir değişmez (kayan nokta hassasiyetine kadar) y ≤ ?(x) < y + dama o zamandan beri d dır-dir yarıya Döngünün başlangıcında, herhangi bir koşul test edilmeden önce, sonucumuz yalnızca y ≤ ?(x) < y + 2d döngünün sonunda.

İçin fesih kanıtlamak, toplamın q + s Döngünün her yinelemesinde en az 1 artar ve bu toplam ilkel C veri türünde temsil edilemeyecek kadar büyük olduğunda döngü sona erer uzun. Ancak pratikte şartlı mola ne zaman y + d == y döngünün makul bir süre içinde sonlandırılmasını sağlayan şeydir.

/ * Minkowski'nin soru işareti işlevi * /çift Minkowski(çift x) {    uzun p = x;    Eğer ((çift)p > x) --p; / * p = kat (x) * /    uzun q = 1, r = p + 1, s = 1, m, n;    çift d = 1, y = p;    Eğer (x < (çift)p || (p < 0) ^ (r <= 0))        dönüş x; / * aralık dışı mı? (x) = ~ x * /    için (;;) { / * değişmezler: q * r - p * s == 1 && (double) p / q <= x && x <(double) r / s * /        d /= 2;        Eğer (y + d == y)            kırmak; / * mümkün olan maksimum hassasiyete ulaşıldı * /        m = p + r;        Eğer ((m < 0) ^ (p < 0))            kırmak; / * toplam taştı * /        n = q + s;        Eğer (n < 0)            kırmak; / * toplam taştı * /        Eğer (x < (çift)m / n) {            r = m;            s = n;        } Başka {            y += d;            p = m;            q = n;        }    }    dönüş y + d; / * son yuvarlama * /}

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Finch (2003) s. 441–442.
  2. ^ a b Pytheas Fogg (2002) s. 95.
  3. ^ a b Khinchin, A. Ya. (1964) [İlk olarak Rusça yayınlanmıştır, 1935]. Devam Kesirler. Chicago Press Üniversitesi. ISBN  0-486-69630-8. Bu artık bir yeniden basım olarak mevcuttur. Dover Yayınları.
  4. ^ a b Finch (2003) s. 442
  5. ^ Nikolay Moshchevitin, açık problemler oturumu, Diyofant Problemleri, Determinizm ve Rastgelelik 25 Kasım 2020, CIRM'de
  6. ^ Salem (1943)
  7. ^ Ürdün ve Sahlsten (2013)

Tarihsel referanslar

Referanslar

Dış bağlantılar