Nil ideal - Nil ideal

İçinde matematik, daha spesifik olarak halka teorisi sol, sağ veya iki taraflı ideal bir yüzük olduğu söyleniyor nil ideal her bir unsuru ise üstelsıfır.[1][2]

radikal olmayan bir değişmeli halka sıfır idealinin bir örneğidir; aslında sıfır olma özelliğine göre halkanın maksimali idealidir. Maalesef sıfır öğeler kümesi her zaman için ideal değildir değişmeyen halkalar. Sıfır idealleri hala ilginç açık sorularla, özellikle de çözülmemiş Köthe varsayımı.

Değişmeli halkalar

Değişmeli halkalarda, sıfır idealler değişmeli olmayan halkalardan daha iyi anlaşılır, çünkü öncelikle değişmeli halkalarda, içeren ürünler üstelsıfır elemanlar ve üstelsıfır öğelerin toplamlarının her ikisi de üstelsıfırdır. Çünkü eğer a ve b üstelsıfır unsurlardır R ile an= 0 ve bm= 0 ve r, R'nin herhangi bir elemanıdır, o halde (a·r)n = an·rn = 0 ve binom teoremine göre, (a+b)m + n= 0. Bu nedenle, tüm üstelsıfır elemanların kümesi, bir halkanın sıfır radikal olarak bilinen bir ideali oluşturur. Sıfır radikal her üstelsıfır elementi içerdiğinden, değişmeli bir halkanın ideali, ancak ve ancak radikalin bir alt kümesiyse sıfırdır ve bu nedenle sıfır idealler arasında maksimumdur. Ayrıca, üstelsıfır herhangi bir öğe için a değişmeli bir halkanın R, ideal aR sıfırdır. Bununla birlikte, değişmeli olmayan bir halka için, üstelsıfır elemanlar kümesinin bir ideal oluşturduğu genel olarak doğru değildir veya a·R sıfır (tek taraflı) ideal olsa bile a üstelsıfırdır.

Değişmeyen halkalar

Sıfır idealler teorisi, değişmeli olmayan halka teorisinde büyük önem taşır. Özellikle, anlayışıyla sıfır yüzük - her elemanı üstelsıfır olan halkalar - kişi daha genel halkaları çok daha iyi anlayabilir.[3]

Değişmeli halkalar söz konusu olduğunda, her zaman bir maksimal sıfır ideali vardır: halkanın sıfır radikalidir. Değişmeli olmayan halkalar durumunda böyle bir maksimal sıfır idealinin varlığı, sıfır ideallerin toplamının yine sıfır olması gerçeğiyle garanti edilir. Bununla birlikte, iki sol sıfır idealin toplamının yine sol sıfır ideal olduğu iddiasının gerçeği hala belirsizdir; olarak bilinen açık bir sorundur Köthe varsayımı.[4] Köthe varsayımı ilk olarak 1930'da ortaya atıldı ve yine de 2010 itibariyle çözülmemiş durumda.

Üstelsiz ideallerle ilişki

Sıfır ideal kavramı ile bir üstelsıfır ideal ve bazı yüzük sınıflarında iki kavram çakışır. Bir ideal üstelsıfırsa, elbette sıfırdır. Sıfır idealin üstelsıfır olması için iki ana engel vardır:

  1. Elemanları yok etmek için gereken üs üzerinde bir üst sınır olmasına gerek yoktur. Rasgele yüksek üsler gerekli olabilir.
  2. Ürünü n üstelsıfır öğeler, keyfi olarak yüksekler için sıfırdan farklı olabilir n.

Açıktır ki bu engellerin her ikisinden de kaçınılmalıdır; sıfır idealin üstelsıfır olarak nitelendirilmesi için.

İçinde sağ artin yüzüğü herhangi bir sıfır ideal üstelsıfırdır.[5] Bu, herhangi bir nil idealin içerdiği gözlemlenerek kanıtlanmıştır. Jacobson radikal ve Jacobson radikali üstelsıfır bir ideal olduğu için (artin hipotezi nedeniyle), sonuç aşağıdaki gibidir. Aslında, bu genelleştirilmiştir doğru noetherian halkalar; sonuç olarak bilinir Levitzky teoremi. Utumi nedeniyle özellikle basit bir kanıt bulunabilir (Herstein 1968, Teorem 1.4.5, s. 37).

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Isaacs 1993, s. 194
  2. ^ Herstein 1968, Tanım (b), s. 13
  3. ^ Bölüm 2 Smoktunowicz 2006, s. 260
  4. ^ Herstein 1968, s. 21
  5. ^ Isaacs 1993, Sonuç 14.3, s. 195.

Referanslar

  • Herstein, I.N. (1968), Değişmeyen halkalar (1. baskı), The Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-015-X
  • Isaacs, I. Martin (1993), Cebir, yüksek lisans dersi (1. baskı), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN  0-534-19002-2
  • Smoktunowicz, Agata (2006), "Bazıları değişmeli olmayan halka teorisiyle sonuçlanır" (PDF), Uluslararası Matematikçiler Kongresi, Cilt. II, Zürih: Avrupa Matematik Derneği, s. 259–269, ISBN  978-3-03719-022-7, BAY  2275597, alındı 2009-08-19