Gözlenebilirlik Gramian - Observability Gramian

İçinde kontrol teorisi gibi bir sistemin olup olmadığını öğrenmemiz gerekebilir.

${ displaystyle { begin {dizi} {c} { dot { boldsymbol {x}}} (t) { boldsymbol {= Ax}} (t) + { boldsymbol {Bu}} (t) { boldsymbol {y}} (t) = { boldsymbol {Cx}} (t) + { boldsymbol {Du}} (t) end {dizi}}}$

gözlemlenebilir, nerede ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$, ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$ ve ${ displaystyle { boldsymbol {D}}}$ sırasıyla ${ displaystyle n kere n}$, ${ displaystyle n kere p}$,${ displaystyle q kere n}$ ve ${ displaystyle q kere p}$ matrisler.

Bu tür bir hedefe ulaşmanın birçok yolundan biri, Gözlemlenebilirlik Gramianının kullanılmasıdır.

LTI Sistemlerinde Gözlenebilirlik

Doğrusal Zamanla Değişmeyen (LTI) Sistemler, parametrelerin ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$, ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$ ve ${ displaystyle { boldsymbol {D}}}$ zamana göre değişmez.

LTI sisteminin gözlemlenebilir olup olmadığı basitçe çifte bakarak belirlenebilir. ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {C}})}$. O halde aşağıdaki ifadelerin eşdeğer olduğunu söyleyebiliriz:

1. çifti ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {C}})}$ gözlemlenebilir.

2. The ${ displaystyle n kere n}$ matris

${ displaystyle { boldsymbol {W_ {o}}} (t) = int _ {0} ^ {t} e ^ {{ boldsymbol {A}} ^ {T} tau} { boldsymbol {C} } ^ {T} { boldsymbol {C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau} d tau}$

herhangi biri için tekil değildir ${ displaystyle t> 0}$.

3. Bir ${ displaystyle nq kere n}$ gözlenebilirlik matrisi

${ displaystyle left [{ begin {array} {c} { boldsymbol {C}} { boldsymbol {CA}} { boldsymbol {CA}} ^ {2} vdots { boldsymbol {CA}} ^ {n-1} end {dizi}} sağ]}$

rütbeye sahip

4. The ${ displaystyle (n + q) kere n}$ matris

${ displaystyle left [{ begin {array} {c} { boldsymbol {A}} { boldsymbol {- lambda}} { boldsymbol {I}} { boldsymbol {C}} end { dizi}} sağ]}$

her özdeğerde tam sütun sırasına sahiptir ${ displaystyle lambda}$ nın-nin ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$.

Buna ek olarak, tüm özdeğerler ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ negatif gerçek kısımlara sahip (${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ kararlı) ve benzersiz çözümü

${ displaystyle { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {W}} _ {o} + { boldsymbol {W}} _ {o} { boldsymbol {A}} = - { boldsymbol { C ^ {T} C}}}$

pozitif tanımlıysa, sistem gözlemlenebilir. Çözüme Gözlemlenebilirlik Grameri denir ve şu şekilde ifade edilebilir:

${ displaystyle { boldsymbol {W_ {o}}} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {{ boldsymbol {A}} ^ {T} tau} { boldsymbol {C ^ {T } C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau} d tau}$

Aşağıdaki bölümde, Gözlemlenebilirlik Gramianına daha yakından bakacağız.

Gözlenebilirlik Gramian

Gözlemlenebilirlik Gramianı, Lyapunov denklemi veren

${ displaystyle { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {W}} _ {o} + { boldsymbol {W}} _ {o} { boldsymbol {A}} = - { boldsymbol { C ^ {T} C}}}$

Aslında, alırsak bunu görebiliriz

${ displaystyle { boldsymbol {W_ {o}}} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} tau} { boldsymbol {C ^ {T } C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau} d tau}$

çözüm olarak şunu bulacağız:

${ displaystyle { begin {array} {ccccc} { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {W}} _ {o} + { boldsymbol {W}} _ {o} { boldsymbol { A}} & = & int _ {0} ^ { infty} { boldsymbol {A ^ {T}}} e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} tau} { boldsymbol {C ^ {T} C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau} d tau & + & int _ {0} ^ { infty} e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}} } tau} { boldsymbol {C ^ {T} C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau} { boldsymbol {A}} d tau & = & int _ {0} ^ { infty} { frac {d} {d tau}} (e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} tau} { boldsymbol {C}} ^ {T} { boldsymbol { C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} tau}) d tau & = & e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} t} { boldsymbol {C}} ^ {T} { boldsymbol {C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} t} | _ {t = 0} ^ { infty} & = & { boldsymbol {0}} - { boldsymbol {C ^ { T} C}} & = & { boldsymbol {-C ^ {T} C}} end {dizi}}}$

Gerçeğini kullandığımız yerde ${ displaystyle e ^ {{ boldsymbol {A}} t} = 0}$ -de ${ displaystyle t = infty}$ istikrarlı için ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ (tüm özdeğerlerinin negatif gerçek kısmı vardır). Bu bize gösteriyor ki ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o}}$ gerçekten de analiz edilen Lyapunov denkleminin çözümüdür.

Özellikleri

Bunu görebiliriz ${ displaystyle { boldsymbol {C ^ {T} C}}}$ simetrik bir matristir, bu nedenle ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o}}$.

Yine şu gerçeği kullanabiliriz: eğer ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ kararlıdır (tüm özdeğerlerinin negatif gerçek kısmı vardır) ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o}}$ benzersiz. Bunu kanıtlamak için iki farklı çözümümüz olduğunu varsayalım:

${ displaystyle { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {W}} _ {o} + { boldsymbol {W}} _ {o} { boldsymbol {A}} = - { kalın sembol { C ^ {T} C}}}$

ve tarafından verilir ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o1}}$ ve ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o2}}$. O zaman bizde:

${ displaystyle { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {(W}} _ {o1} - { boldsymbol {W}} _ {o2}) + { boldsymbol {(W}} _ { o1} - { boldsymbol {W}} _ {o2}) { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {0}}}$

Çarpan ${ displaystyle e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} t}}$ soldan ve tarafından ${ displaystyle e ^ {{ boldsymbol {A}} t}}$ doğru, bizi

${ displaystyle e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} t} [{ boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {(W}} _ {o1} - { boldsymbol {W} } _ {o2}) + { boldsymbol {(W}} _ {o1} - { boldsymbol {W}} _ {o2}) { boldsymbol {A}}] e ^ {{ boldsymbol {A}} t} = { frac {d} {dt}} [e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} t} [({ boldsymbol {W}} _ {o1} - { boldsymbol {W} } _ {o2}) e ​​^ {{ boldsymbol {A}} t}] = { boldsymbol {0}}}$

Dan entegrasyon ${ displaystyle 0}$ -e ${ displaystyle infty}$:

${ displaystyle [e ^ {{ boldsymbol {A ^ {T}}} t} [({ boldsymbol {W}} _ {o1} - { boldsymbol {W}} _ {o2}) e ​​^ {{ boldsymbol {A}} t}] | _ {t = 0} ^ { infty} = { kalın sembol {0}}}$

gerçeğini kullanarak ${ displaystyle e ^ {{ boldsymbol {A}} t} rightarrow 0}$ gibi ${ displaystyle t rightarrow infty}$:

${ displaystyle { boldsymbol {0}} - ({ boldsymbol {W}} _ {o1} - { boldsymbol {W}} _ {o2}) = { boldsymbol {0}}}$

Diğer bir deyişle, ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o}}$ benzersiz olmalı.

Ayrıca bunu görebiliriz

${ displaystyle { boldsymbol {x ^ {T} W_ {o} x}} = int _ {0} ^ { infty} { boldsymbol {x}} ^ {T} e ^ {{ kalın sembol {A ^ {T}}} t} { boldsymbol {C ^ {T} C}} e ^ {{ boldsymbol {A}} t} { boldsymbol {x}} dt = int _ {0} ^ { infty} left Vert { boldsymbol {Ce ^ {{ boldsymbol {A}} t} { boldsymbol {x}}}} right Vert _ {2} ^ {2} dt}$

herhangi biri için olumlu ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ (dejenere olmayan durum varsayılarak ${ displaystyle { displaystyle { boldsymbol {Ce ^ {{ boldsymbol {A}} t} { boldsymbol {x}}}}}}$ aynı sıfır değildir) ve bu, ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o}}$ pozitif tanımlı bir matris.

Gözlemlenebilir sistemlerin daha fazla özelliği şurada bulunabilir:^[1] yanı sıra diğer eşdeğer ifadelerin kanıtı "Çift ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {C}})}$ "gözlemlenebilir", LTI Sistemlerinde Gözlenebilirlik bölümünde sunulmuştur.

Ayrık Zaman Sistemleri

Ayrık zaman sistemleri için

${ displaystyle { begin {array} {c} { boldsymbol {x}} [k + 1] { boldsymbol {= Ax}} [k] + { boldsymbol {Bu}} [k] { kalın sembol {y}} [k] = { boldsymbol {Cx}} [k] + { boldsymbol {Du}} [k] end {dizi}}}$

"Parite" ifadesi için denklikler olup olmadığı kontrol edilebilir. ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {C}})}$ "gözlemlenebilir" (eşdeğerlikler, sürekli zaman durumu için çok benzerdir).

"Parite" ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {C}})}$ "gözlemlenebilir" ve tüm özdeğerleri ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ daha az büyüklükte ${ displaystyle 1}$ (${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ kararlı), ardından benzersiz çözümü

${ displaystyle { boldsymbol {A ^ {T}}} { boldsymbol {W}} _ {do} { boldsymbol {A}} - W_ {do} = - { boldsymbol {C ^ {T} C} }}$

pozitif tanımlıdır ve tarafından verilir

${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {do} = sum _ {m = 0} ^ { infty} ({ boldsymbol {A}} ^ {T}) ^ {m} { kalın sembol {C }} ^ {T} { boldsymbol {C}} { boldsymbol {A}} ^ {m}}$

Buna ayrık Gözlemlenebilirlik Gramian denir. Ayrık zaman ile sürekli zaman durumu arasındaki yazışmayı kolayca görebiliriz, yani eğer bunu kontrol edebilirsek ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {dc}}$ pozitif tanımlıdır ve tüm özdeğerleri ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ daha az büyüklükte ${ displaystyle 1}$, sistem ${ displaystyle ({ boldsymbol {A}}, { boldsymbol {B}})}$ gözlemlenebilir. Daha fazla özellik ve kanıt bulunabilir.^[2]

Doğrusal Zaman Değişken Sistemleri

Doğrusal zaman varyantı (LTV) sistemleri şu biçimdedir:

${ displaystyle { begin {dizi} {c} { dot { boldsymbol {x}}} (t) { boldsymbol {= A}} (t) { boldsymbol {x}} (t) + { kalın sembol {B}} (t) { boldsymbol {u}} (t) { boldsymbol {y}} (t) = { boldsymbol {C}} (t) { boldsymbol {x}} (t ) end {dizi}}}$

Yani matrisler ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$, ${ displaystyle { boldsymbol {B}}}$ ve ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$ zamanla değişen girdileriniz var. Yine, sürekli zaman durumunda ve ayrık zaman durumunda olduğu gibi, çift tarafından verilen sistemin olup olmadığını keşfetmekle ilgilenilebilir. ${ displaystyle ({ kalın sembol {A}} (t), { kalın sembol {C}} (t))}$ gözlemlenebilir ya da değil. Bu, önceki durumlara çok benzer bir şekilde yapılabilir.

Sistem ${ displaystyle ({ kalın sembol {A}} (t), { kalın sembol {C}} (t))}$ zamanında gözlemlenebilir ${ displaystyle t_ {0}}$ ancak ve ancak sonlu bir ${ displaystyle t_ {1}> t_ {0}}$ öyle ki ${ displaystyle n kere n}$ Gözlemlenebilirlik Gramian olarak da adlandırılan matris tarafından verilir

${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t_ {1}) = int _ {_ {0}} ^ {^ { infty}} { boldsymbol { Phi} } ^ {T} (t_ {1}, tau) { boldsymbol {C}} ^ {T} ( tau) { boldsymbol {C}} ( tau) { boldsymbol { Phi}} (t_ {1}, tau) d tau}$

nerede ${ displaystyle { boldsymbol { Phi}} (t, tau)}$ durum geçiş matrisidir ${ displaystyle { boldsymbol { dot {x}}} = { boldsymbol {A}} (t) { boldsymbol {x}}}$ tekil değildir.

Yine, bir sistemin gözlemlenebilir bir sistem olup olmadığını belirlemek için benzer bir yöntemimiz var.

Özellikleri ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t_ {1})}$

Gözlemlenebilirlik Gramianına sahibiz ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t_ {1})}$ aşağıdaki mülke sahip:

${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t_ {1}) = { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t) + { boldsymbol { Phi}} ^ {T} (t, t_ {0}) { boldsymbol {W}} _ {o} (t, t_ {0}) { boldsymbol { Phi}} (t, t_ {0} )}$

tanımıyla kolayca görülebilir ${ displaystyle { boldsymbol {W}} _ {o} (t_ {0}, t_ {1})}$ ve şunu iddia eden durum geçiş matrisinin özelliğine göre:

${ displaystyle { boldsymbol { Phi}} (t_ {0}, t_ {1}) = { boldsymbol { Phi}} (t_ {1}, tau) { boldsymbol { Phi}} ( tau, t_ {0})}$

Gözlemlenebilirlik Gramian hakkında daha fazla bilgi bulunabilir.^[3]

Ayrıca bakınız

• Gözlenebilirlik
• Kontrol Edilebilirlik Gramian
• Gram matrisi
• Hankel tekil değeri

Referanslar

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Gözlenebilirlik Grameri"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Temmuz 2008) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Dış bağlantılar

• Gözlenebilirlik Gramian'ı hesaplamak için Mathematica işlevi