Padé yaklaşımı - Padé approximant

İçinde matematik a Padé yaklaşımı bir fonksiyonun "en iyi" yaklaşımıdır. rasyonel fonksiyon verilen sıranın - bu teknikte, yaklaşık güç serisi yaklaştığı fonksiyonun kuvvet serisine katılır. Teknik 1890 civarında geliştirildi Henri Padé ama geri döner Georg Frobenius kuvvet serilerinin rasyonel yaklaşımlarının özelliklerini araştıran ve fikri ortaya koyan.

Padé yaklaşımı, genellikle fonksiyonun kısaltılmasından daha iyi bir yaklaşım verir. Taylor serisi ve yine de Taylor serisinin çalışmadığı yerlerde çalışabilir. yakınsamak. Bu nedenlerden dolayı Padé yaklaşımları, bilgisayarda yaygın olarak kullanılmaktadır. hesaplamalar. Ayrıca yardımcı fonksiyonlar, içinde Diophantine yaklaşımı ve aşkın sayı teorisi yine de keskin sonuçlar için özel yöntemler, bir anlamda Padé teorisinden esinlenerek, tipik olarak onların yerini alır. Padé yaklaşımı rasyonel bir fonksiyon olduğu için, bir yaklaşım olarak yapay bir tekil nokta ortaya çıkabilir, ancak bundan kaçınılabilir Borel-Padé analizi.

Padé yaklaşımının kısaltmadan daha iyi bir yaklaşım olma eğiliminde olmasının nedeni Taylor serisi çok noktalı toplama yöntemi açısından nettir. Sonsuzdaki asimptotik genişlemenin 0 veya sabit olduğu birçok durum olduğu için, bu, sıradan Padé yaklaşımının a'yı kısaltma yöntemini iyileştirdiği "tamamlanmamış iki noktalı Padé yaklaşımı" olarak yorumlanabilir. Taylor serisi.

Tanım

Bir işlev verildiğinde f ve iki tamsayılar m ≥ 0 ve n ≥ 1, Padé yaklaşımı düzenin [m/n] rasyonel işlevdir

${ displaystyle R (x) = { frac { toplamı _ {j = 0} ^ {m} a_ {j} x ^ {j}} {1+ toplamı _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} x ^ {k}}} = { frac {a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + dots + a_ {m} x ^ {m}} { 1 + b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + noktalar + b_ {n} x ^ {n}}},}$

ile aynı fikirde f(x) mümkün olan en yüksek sıraya, yani

${ displaystyle { başlar {hizalı} f (0) & = R (0), f '(0) & = R' (0), f '' (0) ve = R '' (0 ), & vdots f ^ {(m + n)} (0) & = R ^ {(m + n)} (0). end {hizalı}}}$

Eşdeğer olarak, eğer R(x) bir Maclaurin serisinde (Taylor serisi 0'da), ilk m + n şartlar ilkini iptal eder m + n şartları f(x), ve bunun gibi

${ displaystyle f (x) -R (x) = c_ {m + n + 1} x ^ {m + n + 1} + c_ {m + n + 2} x ^ {m + n + 2} + noktalar}$

Padé yaklaşımı verilenler için benzersizdir m ve nyani katsayılar ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, dots, a_ {m}, b_ {1}, noktalar, b_ {n}}$ benzersiz şekilde belirlenebilir. Eşsizlik nedenlerinden ötürü, paydasındaki sıfır dereceli terim R(x) 1 olarak seçildi, aksi takdirde payı ve paydası R(x) sadece benzersiz olurdu kadar sabit ile çarpma.

Yukarıda tanımlanan Padé yaklaşımı ayrıca şu şekilde belirtilir:

${ displaystyle [m / n] _ {f} (x).}$

Hesaplama

Verilen için xPadé yaklaşımları şu şekilde hesaplanabilir: Wynn epsilon algoritması^[1] ve ayrıca diğerleri dizi dönüşümleri^[2] kısmi meblağlardan

${ displaystyle T_ {N} (x) = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + cdots + c_ {N} x ^ {N}}$

of Taylor serisi nın-nin fyani bizde

${ displaystyle c_ {k} = { frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}}.}$

f aynı zamanda bir biçimsel güç serisi ve dolayısıyla Padé yaklaşımları aynı zamanda ıraksak seriler.

Bir Padé yaklaşımı hesaplamanın bir yolu, genişletilmiş Öklid algoritması için polinom en büyük ortak bölen.^[3] İlişki

${ displaystyle R (x) = P (x) / Q (x) = T_ {m + n} (x) { text {mod}} x ^ {m + n + 1}}$

bazı faktörlerin varlığına eşdeğerdir K(x) öyle ki

${ displaystyle P (x) = Q (x) T_ {m + n} (x) + K (x) x ^ {m + n + 1},}$

hangisi olarak yorumlanabilir Bézout kimliği polinomların genişletilmiş en büyük ortak böleninin hesaplanmasında bir adım ${ displaystyle T_ {m + n} (x)}$ ve ${ displaystyle x ^ {m + n + 1}}$.

Özetlemek gerekirse: iki polinomun en büyük ortak bölenini hesaplamak için p ve q, uzun bölme yoluyla kalan diziyi hesaplar

${ displaystyle r_ {0} = p, ; r_ {1} = q, quad r_ {k-1} = q_ {k} r_ {k} + r_ {k + 1},}$

k = 1, 2, 3, ... ile ${ displaystyle deg r_ {k + 1} < deg r_ {k} ,}$, a kadar ${ displaystyle r_ {k + 1} = 0}$. Genişletilmiş en büyük ortak bölenin Bézout kimlikleri için, biri aynı anda iki polinom dizisini hesaplar

${ displaystyle u_ {0} = 1, ; v_ {0} = 0, quad u_ {1} = 0, ; v_ {1} = 1, quad u_ {k + 1} = u_ {k- 1} -q_ {k} u_ {k}, ; v_ {k + 1} = v_ {k-1} -q_ {k} v_ {k}}$

her adımda Bézout kimliğini elde etmek

${ displaystyle r_ {k} (x) = u_ {k} (x) p (x) + v_ {k} (x) q (x).}$

İçin [m/n] yaklaşık olarak, biri böylece genişletilmiş öklid algoritmasını gerçekleştirir.

${ displaystyle r_ {0} = x ^ {m + n + 1}, ; r_ {1} = T_ {m + n} (x)}$

ve son anda durdurur ki ${ displaystyle v_ {k}}$ derecesi var n veya daha küçük.

Sonra polinomlar ${ displaystyle P = r_ {k}, ; Q = v_ {k}}$ ver [m/n] Padé yaklaşımı. Biri, genişletilmiş en büyük ortak bölen hesaplamasının tüm adımlarını hesaplayacak olsaydı, bir anti-diyagonal elde edilirdi. Pade tablosu.

Riemann – Padé zeta fonksiyonu

Bir ıraksak seriler, söyle

${ displaystyle toplamı _ {z = 1} ^ { infty} f (z),}$

Padé'yi veya basitçe rasyonel zeta işlevini tanıtmak yararlı olabilir:

${ displaystyle zeta _ {R} (s) = toplamı _ {z = 1} ^ { infty} { frac {R (z)} {z ^ {s}}},}$

nerede

${ displaystyle R (x) = [m / n] _ {f} (x) ,}$

Padé'nin düzen yaklaşımıdır (m, n) fonksiyonun f(x). zeta düzenlenmesi değer s = 0, ıraksak serilerin toplamı olarak alınır.

Bu Padé zeta işlevi için işlevsel denklem şu şekildedir:

${ displaystyle toplamı _ {j = 0} ^ {n} a_ {j} zeta _ {R} (sj) = toplamı _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} zeta _ {0 } (sj),}$

nerede a_j ve b_j Padé yaklaşımındaki katsayılardır. Alt simge '0' Padé'nin [0/0] mertebesinde olduğu ve dolayısıyla Riemann zeta fonksiyonumuz olduğu anlamına gelir.

DLog Padé yöntemi

Padé yaklaşımları, fonksiyonların kritik noktalarını ve üslerini çıkarmak için kullanılabilir. Termodinamikte bir fonksiyon ise f(x) bir noktaya yakın analitik olmayan bir şekilde davranır x = r sevmek ${ displaystyle f (x) sim | x-r | ^ {p}}$, biri arar x = r kritik bir nokta ve p ilişkili kritik üs f. Serinin genişlemesi için yeterli şartlar varsa f Bilindiği gibi, kritik noktaları ve kritik üsleri sırasıyla Padé yaklaşımlarının kutuplarından ve kalıntılarından yaklaşık olarak çıkarabilir. ${ displaystyle [n / n + 1] _ {g} (x)}$ nerede ${ displaystyle g = { frac {f '} {f}}}$.

Genellemeler

Bir Padé yaklaşımı, bir fonksiyona tek bir değişkenle yaklaşır. İki değişkenli bir yaklaştırma, Chisholm yaklaşımı olarak adlandırılır (sonra J. S. R. Chisholm ),^[4] çoklu değişkenlerde bir Canterbury yaklaşımı (Kent Üniversitesi'ndeki Graves-Morris'ten sonra).^[5]

İki nokta Pade yaklaşımı

Geleneksel Padé yaklaşımı, belirli bir sıraya kadar Maclaurin genişlemesini yeniden üretecek şekilde belirlenir. Bu nedenle, genişleme noktası dışındaki değerdeki yaklaşım zayıf olabilir. Bu, bir tür çok noktalı toplama yöntemi olan 2 noktalı Padé yaklaşımı ile önlenir.^[6] Şurada: ${ displaystyle x = 0}$, bir işlevi olan bir durumu düşünün ${ displaystyle f (x)}$ asimptotik davranışla ifade edilen ${ displaystyle f_ {0} (x)}$,

${ displaystyle f sim f_ {0} (x) + o (f_ {0} (x)) (x sağarrow 0)}$

Yanında ${ displaystyle x rightarrow infty}$ek asimptotik davranış ${ displaystyle f _ { infty} (x)}$

${ Displaystyle f (x) sim f _ { infty} (x) + o (f _ { infty} (x)) (x sağ infty)}$

Ana davranışını seçerek ${ displaystyle f_ {0} (x), f _ { infty} (x)}$, Yaklaşık fonksiyonlar ${ displaystyle F (x)}$ Padé yaklaşımı geliştirerek eşzamanlı olarak asimptotik davranışı yeniden üreten çeşitli durumlarda bulunabilir. Sonuç olarak, o noktada ${ displaystyle x rightarrow infty}$ yaklaşımın doğruluğunun sıradan Pade yaklaşımında en kötü olabileceği durumlarda, 2 noktalı Pade yaklaşımının iyi doğruluğu garanti edilir. Bu nedenle, 2 noktalı Pade yaklaşımı, küresel olarak iyi bir yaklaşım veren bir yöntem olabilir. ${ displaystyle x = 0 sim infty}$.

Şu durumlarda ${ displaystyle f_ {0} (x), f _ { infty} (x)}$ Polinomlar veya bir dizi negatif güç, üstel fonksiyon, logaritmik fonksiyon veya ${ displaystyle x ln x}$2 noktalı Padé yaklaşımı uygulayabiliriz ${ displaystyle f (x)}$. Yüksek doğrulukta bir diferansiyel denklemin yaklaşık bir çözümünü vermek için bunu kullanmanın bir yöntemi vardır.^[6] Ayrıca, Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırları için, ilk önemsiz sıfır, gerçek eksendeki asimptotik davranıştan bir miktar doğrulukla tahmin edilebilir.^[6]

Çok noktalı Pade yaklaşımı

2 noktalı Pade yaklaşımının bir başka uzantısı, çok noktalı Pade yaklaşımıdır.^[6] Bu yöntem tekillik noktalarını ele alır ${ displaystyle x = x_ {j} (j = 1,2,3 cdots, N)}$ bir fonksiyonun ${ displaystyle f (x)}$ ki yaklaştırılacaktır. Bir fonksiyonun tekilliklerinin indeks ile ifade edildiği durumları düşünün ${ displaystyle n_ {j}}$ tarafından

${ displaystyle f (x) sim { frac {A_ {j}} {(x-x_ {j}) ^ {n_ {j}}}} (x sağ x_ {j})}$

Aşağıdaki bilgileri içeren 2 noktalı Pade yaklaşımı yanında${ displaystyle x = 0, x rightarrow infty}$, bu yöntem yaklaşık olarak sapma özelliğini azaltacaktır. ${ displaystyle x sim x_ {j}}$. Sonuç olarak, fonksiyonun özelliğinin bilgisi yakalandığından, bir fonksiyonun yaklaşıklığı ${ displaystyle f (x)}$ daha yüksek doğrulukta gerçekleştirilebilir.

Örnekler

günah(x)

${ displaystyle sin (x) yaklaşık { frac {(12671/4363920) x ^ {5} - (2363/18183) x ^ {3} + x} {1+ (445/12122) x ^ {2 } + (601/872784) x ^ {4} + (121/16662240) x ^ {6}}}}$

tecrübe(x)

${ displaystyle exp (x) yaklaşık { frac {1+ (1/2) x + (1/9) x ^ {2} + (1/72) x ^ {3} + (1/1008) x ^ {4} + (1/30240) x ^ {5}} {1- (1/2) x + (1/9) x ^ {2} - (1/72) x ^ {3} + (1 / 1008) x ^ {4} - (1/30240) x ^ {5}}}}$

Jacobi SN (z, 3)

${ displaystyle mathrm {sn} (z | 3) yaklaşık { frac {- (9851629/283609260) z ^ {5} - (572744/4726821) z ^ {3} + z} {1+ (859490 / 1575607) z ^ {2} - (5922035/56721852) z ^ {4} + (62531591/2977897230) z ^ {6}}}}$

Bessel J(5, x)

${ displaystyle J_ {5} (x) yaklaşık { frac {- (107/28416000) x ^ {7} + (1/3840) x ^ {5}} {1+ (151/5550) x ^ { 2} + (1453/3729600) x ^ {4} + (1339/358041600) x ^ {6} + (2767/120301977600) x ^ {8}}}}$

erf (x)

${ displaystyle operatorname {erf} (x) yaklaşık { frac {(2/15) cdot (49140x + 3570x ^ {3} + 739x ^ {5})} {{ sqrt { pi}} cdot (165x ^ {4} + 1330x ^ {2} +3276)}}}$

Fresnel C(x)

${ displaystyle C (x) yaklaşık { frac {(1/135) cdot (990791x ^ {9} pi ^ {4} -147189744x ^ {5} pi ^ {2} + 8714684160x)} {( 1749 pi ^ {4} x ^ {8} +523536 pi ^ {2} x ^ {4} +64553216)}}}$

Ayrıca bakınız

• Padé tablosu

Referanslar

Edebiyat

• Baker, G.A., Jr .; ve Graves-Morris, P. Padé Yaklaşımları. Cambridge U.P., 1996
• Baker, G.A., Jr. Padé yaklaşımı, Scholarpedia, 7(6):9756.
• Brezinski, C .; ve Redivo Zaglia, M. Ekstrapolasyon Yöntemleri. Teori ve pratik. Kuzey-Hollanda, 1991
• Basın, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Bölüm 5.12 Padé Yaklaşımları", Sayısal Tarifler: Bilimsel Hesaplama Sanatı (3. baskı), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Frobenius, G .; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Cilt 1881, Sayı 90, Sayfa 1-17
• Gragg, W.B .; Pade Tablosu ve Bazı Sayısal Analiz Algoritmalarıyla İlişkisi [SIAM Review], Cilt. 14, No. 1, 1972, s. 1–62.
• Padé, H .; Sur la répresentation Approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Tez, [Ann. 'Ecole Nor. (3), 9, 1892, s. 1-93 ek.
• Wynn, P. (1966), "Padé tablosunun katsayıları arasında elde edilen özyineleme sistemleri üzerine", Numerische Mathematik, 8 (3): 264–269, doi:10.1007 / BF02162562

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Padé Approximant". MathWorld.
• Padé Yaklaşımları Oleksandr Pavlyk, Wolfram Gösterileri Projesi.
• Veri Analizi BriefBook: Pade Yaklaşımı, Rudolf K. Bock Avrupa Parçacık Fiziği Laboratuvarı, CERN.
• Sinüs dalgası, Scott Dattalo, son erişim tarihi: 2010-11-11.
• MATLAB işlevi Zaman gecikmeli modellerin Pade yaklaşımı için.