Uygun zorlama aksiyomu - Proper forcing axiom

Matematik alanında küme teorisi, uygun zorlama aksiyomu (PFA) önemli bir güçlendirmedir Martin'in aksiyomu, nerede zorlamalar ile sayılabilir zincir durumu (ccc), uygun zorlamalarla değiştirilir.

Beyan

Bir zorlama veya kısmen sıralı küme P uygun eğer hepsi için düzenli sayılamaz kardinaller ${displaystyle lambda}$, zorlama P koruyucularla sabit alt kümeler nın-nin ${displaystyle [lambda] ^ {omega}}$.

uygun zorlama aksiyomu P uygunsa ve D ise_α her α <ω için P'nin yoğun bir alt kümesidir₁, sonra bir G filtresi var ${displaystyle subseteq}$ P öyle ki D_α ∩ G, tüm α <ω için boş değildir₁.

PFA'nın uygulanabileceği uygun zorlama sınıfı oldukça geniştir. Örneğin, standart argümanlar, eğer P ise ccc veya ω-kapalı, o zaman P uygundur. Eğer P bir sayılabilir destek yinelemesi uygun zorlamalardan sonra P uygundur. Önemli olan, tüm uygun zorlamalar korur ${displaystyle aleph _ {1}}$.

Sonuçlar

PFA, ccc zorlamaları için kendi versiyonunu doğrudan ima eder, Martin'in aksiyomu. İçinde kardinal aritmetik, PFA şunu ifade eder: ${displaystyle 2 ^ {aleph _ {0}} = aleph _ {2}}$. PFA herhangi iki ${displaystyle aleph _ {1}}$-R'nin yoğun alt kümeleri izomorfiktir,^[1] herhangi ikisi Aronszajn ağaçları kulüp-izomorfik,^[2] ve her otomorfizmi Boole cebri ${displaystyle P (omega)}$/ fin önemsizdir.^[3] PFA, Tekil Kardinaller Hipotezi tutar. Tarafından kanıtlanmış özellikle dikkate değer bir sonuç John R. Çelik bu mu belirlilik aksiyomu tutar L (R), en küçük iç model gerçek sayıları içeren. Başka bir sonuç da başarısızlıktır kare ilkeler ve dolayısıyla birçok iç modelin varlığı Woodin kardinalleri.

Tutarlılık gücü

Eğer varsa süper kompakt kardinal, sonra PFA'nın içinde bulunduğu bir küme teorisi modeli vardır. Kanıt, uygun zorlamaların sayılabilir destek yinelemesi altında korunduğu gerçeğini ve eğer ${displaystyle kappa}$ süper kompakt ise bir Laver işlevi için ${displaystyle kappa}$.

PFA'dan ne kadar büyük kardinal gücün geldiği henüz bilinmemektedir.

Diğer zorlayıcı aksiyomlar

sınırlı uygun zorlama aksiyomu (BPFA), keyfi yoğun alt kümeler yerine yalnızca maksimum için geçerli olan PFA'nın daha zayıf bir çeşididir. Antikalar boyut ω₁. Martin'in maksimum zorlayıcı bir aksiyomun mümkün olan en güçlü versiyonudur.

Zorlama aksiyomları, küme teorisinin aksiyomlarını alternatif olarak genişletmek için uygun adaylardır. büyük kardinal aksiyomlar.

Uygun Zorlamanın Temel Teoremi

Uygun Zorlamanın Temel Teoremi, Shelah, herhangi olduğunu belirtir sayılabilir destek yinelemesi uygun zorlamaların kendisi doğrudur. Bu, her zaman ${displaystyle langle P_ {alpha}, iki nokta üst üste alfa leq kappa açısı}$ dayalı yinelemeyi zorlayan sayılabilir bir destektir ${displaystyle langle Q_ {alpha}, iki nokta üst üste$ ve ${displaystyle N}$ sayılabilir bir temel altyapıdır ${displaystyle H_ {lambda}}$ yeterince büyük bir düzenli kardinal için ${displaystyle lambda}$, ve ${displaystyle P_ {kappa}, N}$ ve ${kappa başlığında N görüntü stili alfa}$ ve ${displaystyle p}$ dır-dir ${displaystyle (N, P_ {alfa})}$-generik ve ${displaystyle p}$ kuvvetler "${displaystyle qin P_ {kappa} / G_ {P_ {alpha}} cap N [G_ {P_ {alpha}}]}$, "o zaman var ${displaystyle rin P_ {kappa}}$ öyle ki ${displaystyle r}$ dır-dir ${displaystyle N}$-generik ve kısıtlaması ${displaystyle r}$ -e ${displaystyle P_ {alpha}}$ eşittir ${displaystyle p}$ ve ${displaystyle p}$ kısıtlamaya zorlamak ${displaystyle r}$ -e ${displaystyle [alfa, kappa)}$ daha güçlü veya eşit olmak ${displaystyle q}$.

Uygun Yineleme Lemma'sının bu sürümü, adın ${displaystyle q}$ içinde olduğu varsayılmaz ${displaystyle N}$, Schlindwein'den kaynaklanıyor.^[4]

Düzgün Yineleme Lemması, üzerinde oldukça basit bir tümevarım ile kanıtlanmıştır. ${displaystyle kappa}$ve Uygun Zorlamanın Temel Teoremi aşağıdaki gibidir: ${displaystyle alpha = 0}$.

Ayrıca bakınız

• Stevo Todorčević
• Saharon Shelah

Referanslar

• Jech, Thomas (2002). Küme teorisi (Üçüncü bin yıl (gözden geçirilmiş ve genişletilmiş) ed.). Springer. doi:10.1007 / 3-540-44761-X. ISBN  3-540-44085-2. Zbl  1007.03002.
• Kunen, Kenneth (2011). Küme teorisi. Mantıkta Çalışmalar. 34. Londra: Üniversite Yayınları. ISBN  978-1-84890-050-9. Zbl  1262.03001.
• Moore, Justin Tatch (2011). "Mantık ve temeller: uygun zorlama aksiyomu". Bhatia'da Rajendra (ed.). Uluslararası matematikçiler kongresi bildirileri (ICM 2010), Haydarabad, Hindistan, 19–27 Ağustos 2010. Cilt. II: Davetli dersler (PDF). Hackensack, NJ: World Scientific. sayfa 3–29. ISBN  978-981-4324-30-4. Zbl  1258.03075.
• Çelik, John R. (2005). "PFA, AD ^ L (R) anlamına gelir". Journal of Symbolic Logic. 70 (4): 1255–1296. doi:10.2178 / jsl / 1129642125.