Kuadratik Lie cebiri - Quadratic Lie algebra

Lie grupları
Klasik gruplar Genel doğrusal GL (n) Özel doğrusal SL (n) Dikey Ö(n) Özel ortogonal YANİ(n) Üniter U (n) Özel üniter SU (n) Semplektik Sp (n)
Basit Lie grupları Basit Lie gruplarının listesi Klasik Birn Bn Cn Dn Olağanüstü G2 F4 E6 E7 E8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz Poincaré Uygun grup Diffeomorfizm Döngü Öklid
Lie cebirleri Lie grubu-Lie cebiri yazışmaları Üstel harita Eş temsil Öldürme formu Dizin Yalan noktası simetrisi Basit Lie cebiri
Yarıbasit Lie cebiri Dynkin diyagramları Cartan alt cebiri Kök sistem Weyl grubu Gerçek form Karmaşıklaştırma Bölünmüş Lie cebiri Kompakt Lie cebiri
Temsil teorisi Lie grubu gösterimi Lie cebiri gösterimi Yarıbasit Lie cebirlerinin temsil teorisi En yüksek ağırlığın teoremi Borel-Weil-Bott teoremi
Yalan grupları fizik Parçacık fiziği ve temsil teorisi Lorentz grubu gösterimleri Poincaré grubu temsilleri Galile grubu temsilleri
Bilim insanları Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Öldürme Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie grupları tablosu

Bir ikinci dereceden Lie cebiri bir Lie cebiri uyumlu bir simetrik çift doğrusal formla birlikte. Uyumluluk, bunun altında değişmez olduğu anlamına gelir. ek temsil. Bunun örnekleri yarıbasit Lie cebirleri, gibi Güneş) ve sl (n,R).

Tanım

İkinci dereceden bir Lie cebiri bir Lie cebiridir (g, [.,.]) dejenere olmayan simetrik bir çift doğrusal formla birlikte ${ displaystyle (.,.) iki nokta üst üste { mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}} - mathbb {R}}$ bu, birleşik eylem altında değişmez, yani

([X,Y],Z)+(Y,[X,Z])=0

nerede X, Y, Z Lie cebirinin öğeleridir gYerelleştirme / genelleme kavramı Cesur algebroid vektör uzayı nerede g ile değiştirilir (bölümleri) a vektör paketi.

Örnekler

İlk örnek olarak, Rⁿ sıfır dirsek ve standart iç ürün ile

${ displaystyle ((x_ {1}, noktalar, x_ {n}), (y_ {1}, noktalar, y_ {n})): = toplamı _ {j} x_ {j} y_ {j} }$.

Parantez önemsiz olduğundan, değişmezlik önemsiz bir şekilde yerine getirilir.

Daha ayrıntılı bir örnek olarak Số 3) yani R³ baz ile X, Y, Z, standart iç çarpım ve Yalan ayracı

${ displaystyle [X, Y] = Z, quad [Y, Z] = X, quad [Z, X] = Y}$.

Basit hesaplama, iç ürünün gerçekten korunduğunu gösterir. Bir genelleme şu şekildedir.

Yarıbasit Lie cebirleri

Büyük bir örnek grubu, yarı basit Lie cebirleri kategorisine, yani eş temsilleri sadık olan Lie cebirlerine uyar. Örnekler sl (n, R) ve Güneş), Hem de doğrudan toplamlar onların. Öyle olsun g eş gösterimli yarı basit bir Lie cebiri olmak reklamyani

${ displaystyle mathrm {ad} kolon { mathfrak {g}} - mathrm {End} ({ mathfrak {g}}): X mapsto ( mathrm {ad} _ {X} iki nokta üst üste Y mapsto [X, Y])}$.

Şimdi tanımla Öldürme formu

${ displaystyle k kolon { mathfrak {g}} otimes { mathfrak {g}} to mathbb {R}: X otimes Y mapsto - mathrm {tr} ( mathrm {ad} _ { X} circ mathrm {ad} _ {Y})}$.

Nedeniyle Cartan kriteri, Killing formu dejenere değildir ancak ve ancak Lie cebiri yarı basitse.

Eğer g ek olarak bir basit Lie cebiri, o zaman Killing formu tek değişmez simetrik çift doğrusal formu yeniden ölçeklendirmeye hazırdır.

Referanslar

Bu makale, Kuadratik Lie cebirindeki materyalleri PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.