Dallanma grubu - Ramification group

Önerildi Değerlemelerin dallanma teorisi olmak birleşmiş bu makaleye. (Tartışma) Mart 2020'den beri önerilmektedir.

İçinde sayı teorisi, daha spesifik olarak yerel sınıf alan teorisi, dallanma grupları bir süzme of Galois grubu bir yerel alan hakkında ayrıntılı bilgi veren uzantı dallanma uzantının fenomeni.

Daha düşük numaralandırmada dallanma grupları

Dallanma grupları, Galois grubunun bir inceliğidir ${ displaystyle G}$ sonlu ${ displaystyle L / K}$ Galois uzantısı nın-nin yerel alanlar. Yazacağız ${ displaystyle w, { mathcal {O}} _ {L}, { mathfrak {p}}}$ değerleme için, tamsayılar halkası ve maksimal ideal ${ displaystyle L}$. Sonucu olarak Hensel'in lemması biri yazabilir ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} = { mathcal {O}} _ {K} [ alpha]}$ bazı ${ displaystyle alpha L olarak}$ nerede ${ displaystyle O_ {K}}$ tam sayıların halkasıdır ${ displaystyle K}$.^[1] (Bu, ilkel eleman teoremi.) Sonra, her tam sayı için ${ displaystyle i geq -1}$, biz tanımlıyoruz ${ displaystyle G_ {i}}$ hepsinin seti olmak ${ displaystyle s G’de}$ aşağıdaki eşdeğer koşulları karşılayan.

• (ben) ${ displaystyle s}$ önemsiz şekilde çalışır ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L} / { mathfrak {p}} ^ {i + 1}.}$
• (ii) ${ Displaystyle w (s (x) -x) geq i + 1}$ hepsi için ${ mathcal {O}} _ {L}} içinde { displaystyle x$
• (iii) ${ Displaystyle w (s ( alfa) - alfa) geq i + 1.}$

Grup ${ displaystyle G_ {i}}$ denir ${ displaystyle i}$dallanma grubu. Azalan oluştururlar süzme,

${ displaystyle G _ {- 1} = G supset G_ {0} supset G_ {1} supset dots {* }.}$

Aslında ${ displaystyle G_ {i}}$ (i) ile normaldir ve önemsiz yeterince büyük için ${ displaystyle i}$ (iii) tarafından. En düşük endeksler için arama yapmak gelenekseldir ${ displaystyle G_ {0}}$ atalet alt grubu nın-nin ${ displaystyle G}$ ile ilişkisi nedeniyle ana ideallerin bölünmesi, süre ${ displaystyle G_ {1}}$ vahşi atalet alt grubu nın-nin ${ displaystyle G}$. Bölüm ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ ehlileştirme bölümü denir.

Galois grubu ${ displaystyle G}$ ve alt grupları ${ displaystyle G_ {i}}$ yukarıdaki filtreleme veya daha spesifik olarak karşılık gelen bölümler kullanılarak incelenir. Özellikle,

• ${ displaystyle G / G_ {0} = operatöradı {Gal} (l / k),}$ nerede ${ displaystyle l, k}$ (sonlu) kalıntı alanlarıdır ${ displaystyle L, K}$.^[2]
• ${ displaystyle G_ {0} = 1 Leftrightarrow L / K}$ dır-dir çerçevesiz.
• ${ displaystyle G_ {1} = 1 Leftrightarrow L / K}$ dır-dir tamamen dallanmış (yani dallanma endeksi, kalıntı karakteristiğine göre asaldır.)

Dallanma gruplarının incelenmesi, birinin ${ displaystyle G_ {i} = (G_ {0}) _ {i}}$ için ${ displaystyle i geq 0}$.

Biri işlevi de tanımlar ${ Displaystyle i_ {G} (s) = w (s ( alfa) - alfa), G içinde s }$. (ii) yukarıdaki gösterilerde ${ displaystyle i_ {G}}$ seçimden bağımsızdır ${ displaystyle alpha}$ ve dahası, filtrasyon çalışması ${ displaystyle G_ {i}}$ esasen eşdeğerdir ${ displaystyle i_ {G}}$.^[3] ${ displaystyle i_ {G}}$ aşağıdakileri karşılar: için ${ displaystyle s, t in G}$,

• ${ displaystyle i_ {G} (s) geq i + 1 Leftrightarrow s G_ {i}.}$
• ${ displaystyle i_ {G} (tst ^ {- 1}) = i_ {G} {s).}$
• ${ displaystyle i_ {G} (st) geq min {i_ {G} (s), i_ {G} (t) }.}$

Tek tipleştirici düzeltin ${ displaystyle pi}$ nın-nin ${ displaystyle L}$. Sonra ${ displaystyle s mapsto s ( pi) / pi}$ enjeksiyonu tetikler ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1} ile U_ {L, i} / U_ {L, i + 1}, i geq 0}$ nerede ${ displaystyle U_ {L, 0} = { mathcal {O}} _ {L} ^ { times}, U_ {L, i} = 1 + { mathfrak {p}} ^ {i}}$. (Harita aslında tek tipleştiricinin seçimine bağlı değildir.^[4]Bundan takip eder^[5]

• ${ displaystyle G_ {0} / G_ {1}}$ sırayla asal ${ displaystyle p}$
• ${ displaystyle G_ {i} / G_ {i + 1}}$ döngüsel düzen gruplarının bir ürünüdür ${ displaystyle p}$.

Özellikle, ${ displaystyle G_ {1}}$ bir p-grup ve ${ displaystyle G_ {0}}$ dır-dir çözülebilir.

Dallanma grupları hesaplamak için kullanılabilir farklı ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {L / K}}$ uzantının ${ displaystyle L / K}$ ve alt uzantılarınki:^[6]

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {L / K}) = toplamı _ {s neq 1} i_ {G} (s) = toplamı _ {i = 0} ^ { infty} (| G_ {i} | -1).}$

Eğer ${ displaystyle H}$ normal bir alt gruptur ${ displaystyle G}$, bundan dolayı $G'de { displaystyle sigma }$, ${ displaystyle i_ {G / H} ( sigma) = {1 e_ üzerinden {L / K}} toplamı _ {s mapsto sigma} i_ {G} (s)}$.^[7]

Bunu yukarıdakilerle birleştirerek elde edilir: bir alt uzantı için ${ displaystyle F / K}$ karşılık gelen ${ displaystyle H}$,

${ displaystyle v_ {F} ({ mathfrak {D}} _ {F / K}) = {1 e_ üzerinden {L / F}} toplamı _ {s değil H} i_ {G} ( s).}$

Eğer ${ displaystyle s G_ {i}, t G_ {j}, i, j geq 1}$, sonra ${ displaystyle sts ^ {- 1} t ^ {- 1} G_ {i + j + 1}} içinde$.^[8] Terminolojisinde Lazard bu şu anlama gelebilir: Lie cebiri ${ displaystyle operatorname {gr} (G_ {1}) = toplam _ {i geq 1} G_ {i} / G_ {i + 1}}$ değişmeli.

Örnek: siklotomik uzantı

Bir için dallanma grupları siklotomik uzantı ${ displaystyle K_ {n}: = mathbf {Q} _ {p} ( zeta) / mathbf {Q} _ {p}}$, nerede ${ displaystyle zeta}$ bir ${ displaystyle p ^ {n}}$-inci ilkel birliğin kökü, açıkça tanımlanabilir:^[9]

${ displaystyle G_ {s} = Gal (K_ {n} / K_ {e}),}$

nerede e öyle seçildi ki ${ displaystyle p ^ {e-1} leq s$

.

Örnek: dörtlü bir uzantı

K'nin uzantısı olsun Q₂ tarafından oluşturuldu ${ displaystyle x_ {1} = { sqrt {2 + { sqrt {2}} }}}$. X'in eşlenikleri₁ x₂=${ displaystyle x_ {2} = { sqrt {2 - { sqrt {2}} }},}$ x₃ = −x₁, x₄ = −x₂.

Küçük bir hesaplama, bunlardan herhangi ikisinin bölümünün bir birim. Dolayısıyla hepsi aynı ideali üretir; Bunu aramak π. ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ üretir π²; (2)=π⁴.

Şimdi x₁ − x₃ = 2x₁içinde olan π⁵.

ve ${ displaystyle x_ {1} -x_ {2} = { sqrt {4-2 { sqrt {2}} , ,}},}$ hangisi içinde π³.

Çeşitli yöntemler göstermektedir ki, Galois grubu K dır-dir ${ displaystyle C_ {4}}$, 4. sıranın döngüselliği. Ayrıca:

${ displaystyle G_ {0} = G_ {1} = G_ {2} = C_ {4}.}$

ve ${ displaystyle G_ {3} = G_ {4} = (13) (24).}$

${ displaystyle w ({ mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}}) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11,}$ böylece farklı ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {K / Q_ {2}} = pi ^ {11}}$

x₁ tatmin eder x⁴ − 4x² + 2, ayırt edici olan 2048 = 2¹¹.

Üst numaralandırmada dallanma grupları

Eğer ${ displaystyle u}$ gerçek bir sayıdır ${ displaystyle geq -1}$, İzin Vermek ${ displaystyle G_ {u}}$ belirtmek ${ displaystyle G_ {i}}$ nerede ben en küçük tam sayı ${ displaystyle geq u}$. Diğer bir deyişle, ${ displaystyle s in G_ {u} Leftrightarrow i_ {G} (s) geq u + 1.}$ Tanımlamak ${ displaystyle phi}$ tarafından^[10]

${ displaystyle phi (u) = int _ {0} ^ {u} {dt over (G_ {0}: G_ {t})}}$

nerede, sözleşmeye göre, ${ displaystyle (G_ {0}: G_ {t})}$ eşittir ${ displaystyle (G _ {- 1}: G_ {0}) ^ {- 1}}$ Eğer ${ displaystyle t = -1}$ ve eşittir ${ displaystyle 1}$ için ${ displaystyle -1$.^[11] Sonra ${ displaystyle phi (u) = u}$ için ${ displaystyle -1 leq u leq 0}$. Bu hemen ${ displaystyle phi}$ sürekli ve kesin olarak artan ve dolayısıyla sürekli ters işleve sahiptir ${ displaystyle psi}$ üzerinde tanımlanmış ${ displaystyle [-1, infty)}$. Tanımlamak${ displaystyle G ^ {v} = G _ { psi (v)}}$.${ displaystyle G ^ {v}}$ daha sonra denir vdallanma grubu üst numaralandırmada. Diğer bir deyişle, ${ displaystyle G ^ { phi (u)} = G_ {u}}$. Not ${ displaystyle G ^ {- 1} = G, G ^ {0} = G_ {0}}$. Üst numaralandırma, bölümlere geçişle uyumlu olacak şekilde tanımlanmıştır:^[12] Eğer ${ displaystyle H}$ normaldir ${ displaystyle G}$, sonra

${ displaystyle (G / H) ^ {v} = G ^ {v} H / H}$ hepsi için ${ displaystyle v}$

(daha düşük numaralandırma alt gruplara geçişle uyumludur.)

Herbrand teoremi

Herbrand teoremi alt numaralandırmadaki dallanma gruplarının karşıladığını belirtir ${ displaystyle G_ {u} H / H = (G / H) _ {v}}$ (için ${ displaystyle v = phi _ {L / F} (u)}$ nerede ${ displaystyle L / F}$ karşılık gelen alt uzantıdır ${ displaystyle H}$) ve üst numaralandırmadaki dallanma gruplarının ${ displaystyle G ^ {u} H / H = (G / H) ^ {u}}$.^[13][14] Bu, sonsuz Galois uzantıları için üst numaralandırmada dallanma gruplarının tanımlanmasına izin verir (örneğin mutlak Galois grubu sonlu alt uzantılar için dallanma gruplarının ters sisteminden).

Değişmeli uzatma için üst numaralandırma, Hasse-Arf teoremi. Eğer ${ displaystyle G}$ değişmeli, sonra filtrasyondaki sıçramalar ${ displaystyle G ^ {v}}$ tam sayılardır; yani ${ displaystyle G_ {i} = G_ {i + 1}}$ her ne zaman ${ displaystyle phi (i)}$ tamsayı değil.^[15]

Üst numaralandırma, norm kalıntı grubunun altındaki birim gruplarına göre filtrelenmesi ile uyumludur. Artin izomorfizmi. Resmi ${ displaystyle G ^ {n} (L / K)}$ izomorfizm altında

${ displaystyle G (L / K) ^ { mathrm {ab}} leftrightarrow K ^ {*} / N_ {L / K} (L ^ {*})}$

sadece^[16]

${ displaystyle U_ {K} ^ {n} / (U_ {K} ^ {n} cap N_ {L / K} (L ^ {*})) .}$

Ayrıca bakınız

• Değerlemelerin dallanma teorisi

Notlar

Referanslar

• B. Conrad, Math 248A. Daha yüksek dallanma grupları
• Fröhlich, A.; Taylor, M.J. (1991). Cebirsel sayı teorisi. Cambridge ileri matematik alanında çalışıyor. 27. Cambridge University Press. ISBN  0-521-36664-X. Zbl  0744.11001.
• Neukirch, Jürgen (1999). Cebirsel Sayı Teorisi. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. BAY  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Yerel sınıf alan teorisi". İçinde Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.). Cebirsel sayı teorisi. International Mathematical Union'ın desteğiyle London Mathematical Society (bir NATO Advanced Study Institute) tarafından düzenlenen bir eğitim konferansının bildirileri. Londra: Akademik Basın. s. 128–161. Zbl  0153.07403.
• Serre, Jean-Pierre (1979). Yerel Alanlar. Matematikte Lisansüstü Metinler. 67. Tercüme eden Greenberg, Marvin Jay. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90424-7. BAY  0554237. Zbl  0423.12016.
• Snaith, Victor P. (1994). Galois modül yapısı. Fields Enstitüsü monografları. Providence, UR: Amerikan Matematik Derneği. ISBN  0-8218-0264-X. Zbl  0830.11042.