Derece 3 permütasyon grubu - Rank 3 permutation group

Matematiksel olarak sonlu grup teorisi, bir sıra 3 permütasyon grubu hareketler bir sette geçişli olarak öyle ki stabilizatör Bir puanın 3'ü var yörüngeler. Bu grupların çalışması, Higman  (1964, 1971 ). Birkaç düzensiz basit gruplar 3. derece permütasyon grupları olarak keşfedildi.

Sınıflandırma

İlkel seviye 3 permütasyon gruplarının tümü aşağıdaki sınıflardan birindedir:

  • Cameron (1981) olanları öyle sınıflandırdı ki nerede kaide T nın-nin T0 basit ve T0 2 geçişli bir derece grubudur n.
  • Liebeck (1987) normal değişmeli normal alt gruba sahip olanları sınıflandırdı
  • Bannai (1971–72) basit bir alternatif grup olanları sınıflandırdı
  • Kantor ve Liebler (1982) basit bir klasik grup olanları sınıflandırdı
  • Liebeck ve Saxl (1986) toplumu basit bir istisnai veya düzensiz grup olanları sınıflandırdı.

Örnekler

Eğer G bir sette hareket eden herhangi bir 4 geçişli gruptur S, sonra öğelerin çiftleri üzerindeki eylemi S 3. derece permütasyon grubudur.[1] Özellikle alternatif grupların, simetrik grupların ve Mathieu grupları 4 geçişli eylemlere sahiptir ve bu nedenle 3. derece permütasyon gruplarına dönüştürülebilir.

Projektif genel doğrusal grup, en az 3 boyutlu bir projektif uzaydaki çizgiler üzerinde hareket eden bir sıra-3 permütasyon grubudur.

Birkaç 3-transpozisyon grupları 3. derece permütasyon gruplarıdır (aktarımlarla ilgili eylemde).

Yörüngelerden birinde hareket eden bir 3. derece permütasyon grubunun nokta dengeleyicisinin, bir sıra-3 permütasyon grubu olması yaygındır. Bu, sıra-3 permütasyon gruplarının birkaç "zincirini" verir. Suzuki zinciri ve ile biten zincir Fischer grupları.

Bazı alışılmadık 3. derece permütasyon grupları (çoğu (Liebeck ve Saxl 1986 )) aşağıda listelenmiştir.

Aşağıdaki tablodaki her satır için, "boyut" işaretli sütundaki ızgarada, eşittir işaretinin solundaki sayı, satırda belirtilen permütasyon grubu için permütasyon grubunun derecesidir. Izgarada, eşittir işaretinin sağındaki toplam, permütasyon grubunun bir noktasının dengeleyicisinin üç yörüngesinin uzunluklarını gösterir. Örneğin, tablonun ilk satırında başlık altında yer alan 15 = 1 + 6 + 8 ifadesi, ilk satırın permütasyon grubunun 15. dereceye sahip olduğu ve permütasyonun bir noktasının stabilizatörünün üç yörüngesinin uzunluklarının olduğu anlamına gelir. grup sırasıyla 1, 6 ve 8'dir.

GrupNokta sabitleyiciboyutYorumlar
Bir6 = L2(9) = Sp4(2) '= M10'S415 = 1+6+86 noktalı permütasyon gösteriminde nokta çiftleri veya 2'li 3 blok kümeleri; iki sınıf
Bir9L2(8):3120 = 1+56+63Projektif çizgi P1(8); iki sınıf
Bir10(Bir5× A5):4126 = 1+25+100Doğal 10 noktalı permütasyon gösteriminde 5'li 2 bloklu setler
L2(8)7: 2 = Dih (7)36 = 1+14+21P'de nokta çiftleri1(8)
L3(4)Bir656 = 1+10+45P'de Hiperovaller2(4); üç sınıf
L4(3)PSp4(3):2117 = 1+36+80P'nin semplektik polariteleri3(3); iki sınıf
G2(2) '= U3(3)PSL3(2)36 = 1+14+21Suzuki zinciri
U3(5)Bir750 = 1+7+42Köşelerindeki eylem Hoffman-Singleton grafiği; üç sınıf
U4(3)L3(4)162 = 1+56+105İki sınıf
Sp6(2)G2(2) = U3(3):2120 = 1+56+63G tipi Chevalley grubu2 GF (2) üzerinden oktonyon cebirine göre hareket etme
Ω7(3)G2(3)1080 = 1+351+728G tipi Chevalley grubu2 GF (3) üzerinden oktonyon cebirinin hayali oktonyonlarına etki eden; iki sınıf
U6(2)U4(3):221408 = 1+567+840Nokta sabitleyici, Mitchell'in grubunun (karmaşık bir yansıma grubu) modulo 2'nin karmaşık temsilinin "aşağı indirilmesinden" kaynaklanan doğrusal temsilin görüntüsüdür; üç sınıf
M11M9:2 = 32:SD1655 = 1+18+3611 puanlık permütasyon gösteriminde nokta çiftleri
M12M10: 2 = A6.22 = PΓL (2,9)66 = 1+20+4512 noktalı permütasyon gösteriminde S (5,6,12) 'nin nokta çiftleri veya tamamlayıcı blok çiftleri; iki sınıf
M2224: Bir677 = 1+16+60S Blokları (3,6,22)
J2U3(3)100 = 1+36+63Suzuki zinciri; köşelerindeki eylem Hall-Janko grafiği
Higman-Sims grubu HSM22100 = 1+22+77Köşelerindeki eylem Higman-Sims grafiği
M22Bir7176 = 1+70+105İki sınıf
M23M21: 2 = L3(4):22 = PΣL (3; 4)253 = 1+42+21023 noktalı permütasyon gösteriminde nokta çiftleri
M2324: Bir7253 = 1+112+140S Blokları (4,7,23)
McLaughlin grubu McLU4(3)275 = 1+112+162Köşelerindeki eylem McLaughlin grafiği
M24M22:2276 = 1+44+23124 noktalı permütasyon gösteriminde nokta çiftleri
G2(3)U3(3):2351 = 1+126+244İki sınıf
G2(4)J2416 = 1+100+315Suzuki zinciri
M24M12:21288 = 1+495+79224 noktalı permütasyon gösteriminde tamamlayıcı dodecad çiftleri
Suzuki grubu SuzG2(4)1782 = 1+416+1365Suzuki zinciri
G2(4)U3(4):22016 = 1+975+1040
Co2PSU6(2):22300 = 1+891+1408
Rudvalis grubu Ru²F₄ (2)4060 = 1+1755+2304
Fi222. PSU6(2)3510 = 1+693+28163-transpozisyonlar
Fi22Ω7(3)14080 = 1+3159+10920İki sınıf
Fi232.Fi2231671 = 1+3510+281603-transpozisyonlar
G2(8).3SU3(8).6130816 = 1+32319+98496
Fi238+(3) .S3137632 = 1+28431+109200
Fi24 'Fi23306936 = 1+31671+2752643-transpozisyonlar

Notlar

  1. ^ Üç yörünge şunlardır: sabit çiftin kendisi; sabit çift ile ortak bir unsura sahip olan çiftler; ve sabit çift ile ortak hiçbir unsura sahip olmayan çiftler.

Referanslar

  • Bannai, Eiichi (1971–72), "Düşük dereceli sonlu simetrik ve alternatif grupların maksimal alt grupları", Fen Fakültesi Dergisi. Tokyo Üniversitesi. Bölüm IA. Matematik, 18: 475–486, ISSN  0040-8980, BAY  0357559
  • Brouwer, A. E .; Cohen, A. M .; Neumaier, Arnold (1989), Uzaklık düzenli grafikler, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (3)], 18, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-50619-5, BAY  1002568
  • Cameron, Peter J. (1981), "Sonlu permütasyon grupları ve sonlu basit gruplar", Londra Matematik Derneği Bülteni, 13 (1): 1–22, CiteSeerX  10.1.1.122.1628, doi:10.1112 / blms / 13.1.1, ISSN  0024-6093, BAY  0599634
  • Higman, Donald G. (1964), "Seviye 3'ün sonlu permütasyon grupları" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, doi:10.1007 / BF01111335, ISSN  0025-5874, BAY  0186724
  • Higman, Donald G. (1971), "3. derece permütasyon grupları hakkında bazı soruların ve sonuçların anketi", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), 1, Gauthier-Villars, s. 361–365, BAY  0427435
  • Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), "Sonlu klasik grupların 3. sıradaki permütasyon temsilleri" (PDF), Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 271 (1): 1–71, doi:10.2307/1998750, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998750, BAY  0648077
  • Liebeck, Martin W. (1987), "Üçüncü derecenin afin permütasyon grupları", Londra Matematik Derneği BildirileriÜçüncü Seri, 54 (3): 477–516, CiteSeerX  10.1.1.135.7735, doi:10.1112 / plms / s3-54.3.477, ISSN  0024-6115, BAY  0879395
  • Liebeck, Martin W.; Saxl, Ocak (1986), "Üçüncü derecenin sonlu ilkel permütasyon grupları", Londra Matematik Derneği Bülteni, 18 (2): 165–172, doi:10.1112 / blms / 18.2.165, ISSN  0024-6093, BAY  0818821