Oranı işlevi - Rate function

İçinde matematik - özellikle büyük sapmalar teorisi - bir oran fonksiyonu ölçmek için kullanılan bir fonksiyondur olasılıklar nadir olayların. Formülasyonuna yardımcı olan birkaç özelliğe sahip olması gerekir. büyük sapma ilkesi.^{[açıklama gerekli ]} Bir anlamda, büyük sapma ilkesi şunun bir analogudur: olasılık ölçülerinin zayıf yakınsaması ama ender olayların ne kadar iyi davrandığını hesaba katan biri.

Bir oran fonksiyonu ayrıca denir Cramér işleviİsveçli olasılık uzmanından sonra Harald Cramér.

Tanımlar

Oranı işlevi Bir genişletilmiş gerçek değerli işlevi ben : X → [0, + ∞] bir Hausdorff topolojik uzay X olduğu söyleniyor oran fonksiyonu aynı + ∞ değilse ve düşük yarı sürekli, yani tüm alt düzey kümeleri

${displaystyle {xin Xmid I (x) leq c} {mbox {for}} cgeq 0}$

vardır kapalı içinde X. Dahası, kompakt, sonra ben olduğu söyleniyor iyi oran fonksiyonu.

Bir aile olasılık ölçüleri (μ_δ)_δ > 0 açık X tatmin ettiği söyleniyor büyük sapma ilkesi oran fonksiyonu ile ben : X → [0, + ∞) (ve derecelendirme 1 ⁄δ) eğer, her kapalı set için F ⊆ X ve hepsi açık küme G ⊆ X,

${displaystyle limsup _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (F) leq -inf _ {xin F} I (x), quad {mbox {(U)}}}$

${displaystyle liminf _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (G) geq -inf _ {xin G} I (x) .quad {mbox {(L)}}}$

Üst sınır (U) yalnızca kompakt (kapalı yerine) kümeler için tutarsa F, sonra (μ_δ)_δ>0 tatmin ettiği söyleniyor zayıf büyük sapmalar ilkesi (oranı 1 ⁄δ ve zayıf oran fonksiyonu ben).

Uyarılar

Büyük sapma ilkesinde açık ve kapalı kümelerin rolü, olasılık ölçülerinin zayıf yakınsamasındaki rollerine benzer: şunu hatırlayın (μ_δ)_δ > 0 zayıf yakınsadığı söyleniyor μ her kapalı set için F ⊆ X ve hepsi açık küme G ⊆ X,

${displaystyle limsup _ {delta aşağı doğru 0} mu _ {delta} (F) leq mu (F),}$

${displaystyle liminf _ {delta aşağı doğru 0} mu _ {delta} (G) geq mu (G).}$

Literatürde kullanılan isimlendirmede bazı farklılıklar vardır: örneğin, den Hollander (2000) basitçe "oran fonksiyonunu" kullanır; burada bu makale - Dembo & Zeitouni (1998) 'nin ardından - "iyi oran fonksiyonu" ve "zayıf oran ". Hız fonksiyonları için kullanılan terminolojiye bakılmaksızın, üst sınır eşitsizliğinin (U) kapalı veya kompakt kümeler için geçerli olup olmadığının incelenmesi, kullanımdaki büyük sapma ilkesinin güçlü mü yoksa zayıf mı olduğunu söyler.

Özellikleri

Benzersizlik

Yukarıdaki genel çerçevenin biraz soyut ayarı göz önüne alındığında, sorulması gereken doğal bir soru, oran fonksiyonunun benzersiz olup olmadığıdır. Durum şu şekilde ortaya çıkıyor: bir olasılık ölçüleri dizisi verildiğinde (μ_δ)_δ>0 açık X iki hız fonksiyonu için büyük sapma ilkesini karşılama ben ve Jbunu takip eder ben(x) = J(x) hepsi için x ∈ X.

Üstel sıkılık

Önlemler yeterince hızlı bir şekilde yakınlaşırsa, zayıf büyük sapma ilkesini güçlü bir prensibe dönüştürmek mümkündür. Üst sınır kompakt setler için geçerliyse F ve ölçü sırası (μ_δ)_δ>0 dır-dir üssel olarak sıkı, sonra üst sınır kapalı kümeler için de geçerli F. Başka bir deyişle, üssel sızdırmazlık, kişinin zayıf büyük sapma ilkesini güçlü bir prensibe dönüştürmesini sağlar.

Süreklilik

Saf bir şekilde, iki eşitsizliği (U) ve (L), tüm Borel kümeleri için tek koşulla değiştirmeye çalışılabilir. S ⊆ X,

${displaystyle lim _ {delta downarrow 0} delta log mu _ {delta} (S) = - inf _ {xin S} I (x) .quad {mbox {(E)}}}$

Eşitlik (E) çok fazla kısıtlayıcıdır, çünkü birçok ilginç örnek (U) ve (L) 'yi karşılar ama (E)' yi karşılamaz. Örneğin ölçü μ_δ olabilir atomik olmayan hepsi için δ, böylece eşitlik (E) için geçerli olabilir S = {x} Yalnızca ben tanımda izin verilmeyen aynı + ∞ idi. Bununla birlikte, eşitsizlikler (U) ve (L), sözde eşitlik (E) anlamına gelir. ben-sürekli setleri S ⊆ X, bunlar için

${displaystyle I {ig (} {stackrel {circ} {S}} {ig)} = I {ig (} {ar {S}} {ig)},}$

nerede ${displaystyle {stackrel {circ} {S}}}$ ve ${displaystyle {ar {S}}}$ belirtmek iç ve kapatma nın-nin S içinde X sırasıyla. Birçok örnekte, birçok ilgi alanı ben-sürekli. Örneğin, eğer ben bir sürekli işlev sonra tüm setler S öyle ki

${displaystyle Ssubseteq {ar {stackrel {circ} {S}}}}$

vardır ben-sürekli; örneğin, tüm açık kümeler bu kapsamı sağlar.

Büyük sapma ilkelerinin dönüşümü

Bir uzayda büyük bir sapma ilkesi göz önüne alındığında, başka bir uzayda büyük bir sapma ilkesi inşa edebilmek genellikle ilgi çekicidir. Bu alanda birkaç sonuç var:

• daralma prensibi bir alandaki büyük sapma ilkesinin nasıl "ileri ittiğini" söyler ( ilerletmek olasılık ölçüsü) başka bir uzayda büyük bir sapma ilkesine üzerinden a sürekli işlev;
• Dawson-Gärtner teoremi bir boşluk dizisindeki bir dizi büyük sapma ilkelerinin projektif limit.
• eğik büyük sapma prensibi üstel integraller için büyük bir sapma prensibi verir görevliler.
• üssel olarak eşdeğer ölçüler aynı büyük sapma ilkelerine sahiptir.

Tarih ve temel gelişme

Oran fonksiyonu kavramı İsveçli matematikçi ile 1930'larda ortaya çıktı Harald Cramér bir dizi çalışması i.i.d. rastgele değişkenler (Z_ben)_i∈ℕ. Yani, bazı ölçeklendirme konuları arasında Cramér, ortalamanın dağılımının davranışını inceledi. ${displaystyle X_ {n} = {frac {1} {n}} toplam _ {i = 1} ^ {n} Z_ {i}}$ gibi n→∞.^[1] Dağılımının kuyruklarının X_n üssel olarak bozunmak e^−nλ(x) faktör nerede λ(x) üstteki Legendre – Fenchel dönüşümüdür (a.k.a. dışbükey eşlenik ) of the biriken üreten fonksiyon ${displaystyle Psi _ {Z} (t) = günlük operatör adı {E} e ^ {tZ}.}$ Bu nedenle bu özel işlev λ(x) bazen denir Cramér işlevi. Yukarıda bu makalede tanımlanan oran fonksiyonu, bu Cramér kavramının daha soyut bir şekilde bir olasılık uzayı, Yerine durum alanı rastgele bir değişkenin.

Ayrıca bakınız

• Aşırı değer teorisi

Bu makale genel bir liste içerir Referanslar, ancak büyük ölçüde doğrulanmamış kalır çünkü yeterli karşılık gelmiyor satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Haziran 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Referanslar

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Büyük sapma teknikleri ve uygulamaları. Matematik Uygulamaları (New York) 38 (İkinci baskı). New York: Springer-Verlag. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. BAY1619036
• Hollander, Frank (2000). Büyük sapmalar. Fields Enstitüsü Monograflar 14. Providence, UR: Amerikan Matematik Derneği. s. x + 143. ISBN  0-8218-1989-5. BAY1739680