Siparişin azaltılması - Reduction of order

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Haziran 2017) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Siparişin azaltılması bir tekniktir matematik ikinci dereceden lineer çözümü çözmek için sıradan diferansiyel denklemler. Bir çözüm olduğunda kullanılır ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ biliniyor ve bir saniye Doğrusal bağımsız çözüm ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ arzulandı. Yöntem ayrıca n'inci dereceden denklemler için de geçerlidir. Bu durumda Ansatz için bir (n-1) -sıradan denklem verir ${ displaystyle v}$.

İkinci dereceden doğrusal adi diferansiyel denklemler

Bir örnek

Genel, homojen, ikinci dereceden doğrusal sabit katsayılı adi diferansiyel denklemi düşünün. (ODE)

${ displaystyle ay '' (x) + ile '(x) + cy (x) = 0, ;}$

nerede ${ displaystyle a, b, c}$ gerçek sıfır olmayan katsayılardır. Bu ODE için doğrusal olarak bağımsız iki çözüm, aşağıdakiler kullanılarak doğrudan bulunabilir: karakteristik denklemler durum dışında ayrımcı, ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$kaybolur. Bu durumda,

${ displaystyle ay '' (x) + ile '(x) + { frac {b ^ {2}} {4a}} y (x) = 0, ;}$

tek bir çözümden

${ displaystyle y_ {1} (x) = e ^ {- { frac {b} {2a}} x},}$

karakteristik denklemi kullanılarak bulunabilir.

Sırayı düşürme yöntemi, bilinen bir çözümümüzü kullanarak bu diferansiyel denkleme ikinci bir doğrusal bağımsız çözüm elde etmek için kullanılır. İkinci bir çözüm bulmak için tahmin olarak alıyoruz

${ displaystyle y_ {2} (x) = v (x) y_ {1} (x) ;}$

nerede ${ displaystyle v (x)}$ belirlenecek bilinmeyen bir işlevdir. Dan beri ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ orijinal ODE'yi karşılamalı, geri almak için yerine koyuyoruz

${ displaystyle a sol (v''y_ {1} + 2v'y_ {1} '+ vy_ {1} " sağ) + b sol (v'y_ {1} + vy_ {1}' sağ) + { frac {b ^ {2}} {4a}} vy_ {1} = 0.}$

Bu denklemin türevleri açısından yeniden düzenlenmesi ${ displaystyle v (x)}$ biz alırız

${ displaystyle sol (ay_ {1} sağ) v '' + sol (2ay_ {1} '+ by_ {1} sağ) v' + sol (ay_ {1} '' + by_ {1} '+ { frac {b ^ {2}} {4a}} y_ {1} sağ) v = 0.}$

Bildiğimizden beri ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ orijinal probleme bir çözümdür, son terimin katsayısı sıfıra eşittir. Dahası, ikame ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ ikinci terimin katsayı getirilerine (bu katsayı için)

${ displaystyle 2a sol (- { frac {b} {2a}} e ^ {- { frac {b} {2a}} x} sağ) + be ^ {- { frac {b} {2a }} x} = left (-b + b sağ) e ^ {- { frac {b} {2a}} x} = 0.}$

Bu nedenle, biz kaldık

${ displaystyle ay_ {1} v '' = 0. ;}$

Dan beri ${ displaystyle a}$ sıfır olmadığı varsayılır ve ${ displaystyle y_ {1} (x)}$ bir üstel fonksiyon (ve dolayısıyla her zaman sıfır olmayan), elimizde

${ displaystyle v '' = 0. ;}$

Bu, verim için iki kez entegre edilebilir

${ displaystyle v (x) = c_ {1} x + c_ {2} ;}$

nerede ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$ entegrasyon sabitleridir. Şimdi ikinci çözümümüzü şu şekilde yazabiliriz:

${ displaystyle y_ {2} (x) = (c_ {1} x + c_ {2}) y_ {1} (x) = c_ {1} xy_ {1} (x) + c_ {2} y_ {1 } (x). ;}$

İkinci dönemden beri ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ ilk çözümün skaler bir katıdır (ve dolayısıyla doğrusal olarak bağımlıdır), bu terimi bırakarak son bir çözüm verebiliriz.

${ displaystyle y_ {2} (x) = xy_ {1} (x) = xe ^ {- { frac {b} {2a}} x}.}$

Son olarak, ikinci çözümün ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ bu yöntemle bulunan ilk çözümden doğrusal olarak bağımsızdır. Wronskiyen

${ displaystyle W (y_ {1}, y_ {2}) (x) = { başlar {vmatrix} y_ {1} & xy_ {1} y_ {1} '& y_ {1} + xy_ {1}' end {vmatrix}} = y_ {1} (y_ {1} + xy_ {1} ') - xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} + xy_ {1} y_ {1 } '- xy_ {1} y_ {1}' = y_ {1} ^ {2} = e ^ {- { frac {b} {a}} x} neq 0.}$

Böylece ${ displaystyle y_ {2} (x)}$ aradığımız ikinci doğrusal bağımsız çözüm.

Genel yöntem

Genel homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklem göz önüne alındığında

${ Displaystyle y '' + p (t) y '+ q (t) y = r (t) ,}$

ve tek bir çözüm ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ homojen denklemin [${ displaystyle r (t) = 0}$], tam homojen olmayan denklemin çözümünü şu şekilde deneyelim:

${ displaystyle y_ {2} = v (t) y_ {1} (t) ,}$

nerede ${ displaystyle v (t)}$ keyfi bir işlevdir. Böylece

${ displaystyle y_ {2} '= v' (t) y_ {1} (t) + v (t) y_ {1} '(t) ,}$

ve

${ displaystyle y_ {2} '' = v '' (t) y_ {1} (t) + 2v '(t) y_ {1}' (t) + v (t) y_ {1} '' (t ). ,}$

Bunlar yerine geçerse ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle y '}$, ve ${ displaystyle y ''}$ diferansiyel denklemde, o zaman

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' + (y_ {1} '' (t) + p (t) y_ {1} '(t) + q (t) y_ {1} (t)) , v = r (t).}$

Dan beri ${ displaystyle y_ {1} (t)}$ orijinal homojen diferansiyel denklemin bir çözümüdür, ${ displaystyle y_ {1} '' (t) + p (t) y_ {1} '(t) + q (t) y_ {1} (t) = 0}$, böylece küçültebiliriz

${ displaystyle y_ {1} (t) , v '' + (2y_ {1} '(t) + p (t) y_ {1} (t)) , v' = r (t)}$

birinci dereceden diferansiyel denklem olan ${ displaystyle v '(t)}$ (siparişin azaltılması). Bölünür ${ displaystyle y_ {1} (t)}$, elde etme

${ displaystyle v '' + sol ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t) sağ) , v' = { frac { r (t)} {y_ {1} (t)}}}$.

bütünleyici faktör dır-dir ${ displaystyle mu (t) = e ^ { int ({ frac {2y_ {1} '(t)} {y_ {1} (t)}} + p (t)) dt} = y_ {1 } ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Diferansiyel denklemin integral faktörü ile çarpılması ${ displaystyle mu (t)}$denklemi ${ displaystyle v (t)}$ azaltılabilir

${ displaystyle { frac {d} {dt}} (v '(t) y_ {1} ^ {2} (t) e ^ { int p (t) dt}) = y_ {1} (t) r (t) e ^ { int p (t) dt}}$.

Son denklemi entegre ettikten sonra, ${ displaystyle v '(t)}$ bir sabit entegrasyon içeren bulunur. Sonra entegre edin ${ displaystyle v '(t)}$ Orijinal homojen olmayan ikinci dereceden denklemin tam çözümünü bulmak, olması gerektiği gibi iki entegrasyon sabiti sergilemek:

${ displaystyle y_ {2} (t) = v (t) y_ {1} (t) ,}$.

Ayrıca bakınız

• Parametrelerin değişimi

Referanslar

• W. E. Boyce ve R. C. DiPrima, Temel Diferansiyel Denklemler ve Sınır Değer Problemleri (8. baskı), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN  0-471-43338-1.
• Teschl, Gerald (2012). Sıradan Diferansiyel Denklemler ve Dinamik Sistemler. Providence: Amerikan Matematik Derneği. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Eric W. Weisstein, İkinci Mertebeden Sıradan Diferansiyel Denklem İkinci Çözüm, MathWorld'den — Bir Wolfram Web Kaynağı.