Tersinir difüzyon - Reversible diffusion

İçinde matematik, bir tersinir difüzyon belirli bir örnektir tersine çevrilebilir Stokastik süreç. Tersinir difüzyonların zarif bir karakterizasyon nedeniyle Rusça matematikçi Andrey Nikolaevich Kolmogorov.

Kolmogorov'un tersinir difüzyonların karakterizasyonu

İzin Vermek B belirtmek d-boyutlu standart Brown hareketi; İzin Vermek b : R^d → R^d olmak Sürekli Lipschitz Vektör alanı. İzin Vermek X : [0, + ∞) × Ω →R^d fasulye Bu difüzyon üzerinde tanımlanmış olasılık uzayı (Ω, Σ,P) ve çözmeō stokastik diferansiyel denklem

${displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + mathrm {d} B_ {t}}$

kare integrallenebilir başlangıç ​​koşulu, yani X₀ ∈ L²(Ω, Σ,P; R^d). O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

• Süreç X ile tersine çevrilebilir sabit dağıtım μ açık R^d.
• Orada bir skaler potansiyel Φ:R^d → R öyle ki b = −∇Φ, μ vardır Radon-Nikodym türevi

${displaystyle {frac {mathrm {d} mu (x)} {mathrm {d} x}} = exp left (-2Phi (x) ight)}$

ve

${displaystyle int _ {mathbf {R} ^ {d}} exp left (-2Phi (x) ight), mathrm {d} x = 1.}$

(Tabii ki şart b negatif olmak gradyan Φ sadece Φ belirler kadar bir katkı sabiti; bu sabit, exp (−2Φ (·)) bir olasılık yoğunluk fonksiyonu integral 1.)

Referanslar

• Voß, Jochen (2004). Difüzyon süreçleri için bazı büyük sapma sonuçları. Universität Kaiserslautern: Doktora tezi. (Bakınız teorem 1.4)