Sert bant modeli - Rigid-band model

Sert Bant Modeli (veya RBM) metalin davranışını tanımlamak için kullanılan modellerden biridir alaşımlar. Bazı durumlarda model, Si alaşımları gibi metal olmayan alaşımlar için bile kullanılır.^[1] RBM'ye göre, sabit enerji yüzeyleri (dolayısıyla Fermi yüzeyi yanı sıra) ve eğrisi durumların yoğunluğu Alaşımın aşağıdaki koşullar altında çözücü metalinkilerle aynı olması:

Çözünen atomların aşırı yükü, etraflarında lokalize olur.
demek özgür yol elektronların kafes alaşımın aralığı.
Saf çözücüdeki ilgilenilen elektron durumlarının hepsi bir arada enerji bandı, enerjide diğer bantlardan büyük ölçüde ayrılmıştır.

Çözünen maddenin eklenmesinin tek etkisi, valans çözücününkinden daha büyüktür, elektronların değerlik bandına eklenmesidir. Bu, Fermi yüzeyinin şişmesine ve durumların yoğunluk eğrisinin daha yüksek bir enerjiye dolmasına neden olur.

Teori

Saf bir metalde, kafesin periyodikliği nedeniyle, elektronik yapısının özellikleri iyi bilinmektedir. Tek parçacık durumları şu terimlerle açıklanabilir: Bloch eyaletleri enerji yapısı ile karakterize edilir Brillouin bölgesi sınırlar, enerji boşlukları ve enerji bantları. Gerçekte hiçbir metal tamamen saf değildir. Yabancı element miktarı seyreltildiğinde, eklenen atomlar safsızlık olarak işlem görebilir. Ancak konsantrasyonu birkaç atomik yüzdeyi aştığında, bir alaşım oluşur ve eklenen atomlar arasındaki etkileşim artık ihmal edilemez.

RBM'nin daha matematiksel bir taslağını vermeden önce, metalin alaşımlanması üzerine bir metale ne olduğuna dair bir miktar görsellik vermek uygundur. Saf bir metalde, örnek olarak gümüşü alacağız, tüm kafes alanları gümüş atomları tarafından işgal edilmiştir. İçinde farklı türden atomlar, örneğin bakırın% 10'u çözüldüğünde, bazı rastgele kafes bölgeleri bakır atomları tarafından işgal edilir. Gümüşün değeri 1 ve bakırın değeri 2 olduğundan, alaşımın şimdi değeri 1.1 olacaktır. Bununla birlikte, çoğu kafes bölgesi hala gümüş atomları tarafından işgal edilmektedir ve sonuç olarak elektronik yapıdaki değişiklikler minimum düzeydedir.

Sert Bant modelinin arkasındaki temel kavramlar

Saf bir değerlik Z metalinde₁, tüm atomlar değerlik + Z ile pozitif iyonlara dönüşür₁ en dıştaki Z'yi serbest bırakarak₁ değerlik bandını oluşturmak için atom başına elektron. Sonuç olarak, negatif yükler taşıyan iletim elektronları, eşit olasılık yoğunluklarına sahip herhangi bir atomik bölgeye homojen olarak dağıtılır ve pozitif yüklü iyon dizisiyle yük nötrlüğünü korur. Değerlik Z'nin bir safsızlık atomu₂ tanıtılır, periyodik potansiyel bozulur, iletim elektronları dağılır ve bir tarama potansiyeli oluşur

       ${displaystyle U (r) = {frac {e ^ {2} Delta Ze ^ {- lambda r}} {r}}}$ ^[2]

U (r), r mesafesindeki elektronların potansiyelidir, 1 / λ tarama yarıçapıdır ve ${extstyle Delta Z = Z_ {2} -Z_ {1}}$ .

Saf metalin Fermi yüzeyi, Bloch elektronunun dalga vektörü k'nin iyi bir kuantum sayısı olduğu varsayımı altında oluşturulmuştur. Ancak alaşımlama, kafes potansiyelinin periyodikliğini yok eder ve böylece Bloch elektronunun saçılmasına neden olur. Dalga vektörü k Bloch elektronunun saçılması üzerine değişir ve artık iyi bir kuantum sayısı olarak alınamaz. Bu tür temel zorluklara rağmen, deneysel ve teorik çalışmalar, Fermi yüzeyi ve Brillouin bölgesi konseptinin konsantre kristal alaşımlarda bile geçerli olduğuna dair bol miktarda kanıt sağlamıştır.

A ve B atomlarından oluşan bir alaşımda, metaller arası bir bileşik süper-kafes yapısı oluşma eğilimindedir. Farklı atomlar arasındaki kimyasal bağ, formun çok güçlü bir potansiyeline yol açar.

       ${displaystyle U ({overrightarrow {r}}) = toplam _ {n} U_ {x} ({overrightarrow {r}} - {overrightarrow {I_ {n}}})}$ ^[2]

nerede ${extstyle U_ {x} ({overrightarrow {r}} - {overrightarrow {I_ {n}}})}$ pozisyondaki potansiyel ${displaystyle {overrightarrow {r}}}$ konumu ile belirtilen iyon X nedeniyle ${extstyle {overrightarrow {I_ {n}}}}$ . Burada X, ya A ya da B'yi temsil eder, böylece ${extstyle U_ {A} ({overrightarrow {r}} - {overrightarrow {I_ {n}}})}$ iyon A'nın potansiyelini gösterir. RBM, ${extstyle U_ {A} ({overrightarrow {r}}) = U_ {B} ({overrightarrow {r}})}$ dolayısıyla, A ve B iyonlarının potansiyelindeki farkı göz ardı eder. Dolayısıyla, saf metal A'nın elektronik yapısının, saf metal B'nin veya A – B alaşımındaki herhangi bir bileşiminki ile aynı olduğu varsayılır. Fermi seviyesi daha sonra alaşımın elektron konsantrasyonu ile tutarlı olacak şekilde seçilir.

Katı bant modelinin tahminlerini, durumların geometrik ve yoğunluğu olmak üzere iki kategoriye ayırmak uygundur. Geometrik tahminler, sabit enerji yüzeylerinin yalnızca geometrik özelliklerini kullananlardır. Durumların yoğunluğu tahminleri, elektronik özgül ısı gibi Fermi enerjisindeki durumların yoğunluğuna bağlı olan özelliklerle ilgilidir.

Geometrik yapı

Saf metalde öz durumlar, Bloch fonksiyonları Ψ_k enerjilerle e_k. Saf metalin periyodikliği alaşımlama ile yok edildiğinde, bu Bloch durumları artık özdurumlar değildir ve enerjileri karmaşık hale gelir. ${extstyle e_ {k} ^ {'} = E_ {k} + iGamma _ {k}}$

Hayali kısım Γ_k alaşımdaki Bloch durumunun artık bir özdurum olmadığını, ancak ömrü (2) mertebesinde diğer durumlara dağıldığını gösterir._k)⁻¹. Ancak, eğer ${displaystyle Gamma _ {k} ll Delta}$ burada Δ bandın genişliğidir, bu durumda Bloch durumları yaklaşık olarak özdurumlardır ve alaşımların özelliklerini hesaplamak için kullanılabilirler. Bu durumda göz ardı edebiliriz Γ_k . Alaşım ile bir Bloch halinin enerjisindeki değişim o zaman

       ${displaystyle Delta E_ {k} = e_ {k} -E_ {k}}$ ^[3]

Tertibat çözünen madde sahasında oldukça lokalize olduğunda (RBM'nin koşullarından biridir), ΔE_k sadece e'ye bağlıdır_k ve k üzerinde değil ve bu nedenle ${extstyle Delta E_ {k} = Delta E_ {k} (e_ {k})}$ . Bu nedenle, arsa ${extstyle E_ {k}}$ alaşım için k'ye karşı, çizim için olduğu gibi aynı sabit enerji yüzeyleri şekline sahip olacaktır. ${extstyle e_ {k}}$ saf çözücü için k'ye karşı. Alaşımın belirli bir enerji yüzeyi doğal olarak saf çözücünün aynı şekilli yüzeyininkinden farklı bir enerji değerine karşılık gelecektir, ancak şekiller tamamen aynı kalacaktır.

Devletlerin yoğunluğu

Rijit Bant Modeline Göre ${extstyle Delta E_ {k}}$ sabittir (belirli bir enerji seviyesi için) ve alaşımın durumlarının yoğunluğu, saf çözücününki gibi utanç verici şekle sahiptir, ${extstyle Delta E_ {k}}$ . Çözünen a'nın konsantrasyonu küçük olduğunda, ${extstyle Delta E_ {k}}$ aynı zamanda küçüktür ve a sabitindeki alaşım durumlarının yoğunluğu

       ${displaystyle ho (E) = ho _ {o} (E) - {frac {kısmi ho _ {o} (e_ {k}) Delta E_ {k}} {kısmi e_ {k}}} vert _ {e_ { k} = E}}$ ^[3]

nerede ${extstyle ho _ {o} (E)}$ saf çözücünün durumlarının yoğunluğudur.

Durumda ne zaman ${extstyle Delta E_ {k}}$ sabit mi

       ${displaystyle ho (E) = ho _ {o} (E) -Delta E_ {k}}$

durumların yoğunluğunun şeklinin aynı olacağı anlamına gelir, yalnızca ${extstyle Delta E_ {k}}$ .

Referanslar

^ Wang, T.-H., Searle, T.M. (1996). "A-Si alaşımlarında rekombinasyon için rijit bant modeli". Kristal Olmayan Katıların Dergisi. 198: 280.CS1 bakım: birden çok isim: yazar listesi (bağlantı)
^ ^a ^b Uichiro Mizutani (2001). Metallerin elektron teorisine giriş. Cambridge University Press.
^ ^a ^b Stern, A., Edward (1966), Alaşımların Sert Bant Modeli

[1] Wang, T.-H., Searle, T.M. (1996). "A-Si alaşımlarında rekombinasyon için rijit bant modeli". Kristal Olmayan Katıların Dergisi. 198: 280.CS1 bakım: birden çok isim: yazar listesi (bağlantı)

[:0-2] Uichiro Mizutani (2001). Metallerin elektron teorisine giriş. Cambridge University Press.

[:1-3] Stern, A., Edward (1966), Alaşımların Sert Bant Modeli

[1]

[2]

[3]