Modüler form halkası - Ring of modular forms

Matematikte modüler formlar halkası ile ilişkili alt grup Γ of özel doğrusal grup SL (2, Z) ... dereceli yüzük tarafından üretilen modüler formlar nın-nin Γ. Modüler form halkalarının incelenmesi, modüler formların uzayının cebirsel yapısını tanımlar.

Tanım

İzin Vermek Γ alt grubu olmak SL (2, Z) bu sonlu indeks ve izin ver Mk(Γ) ol vektör alanı modüler ağırlık formlarının k. Modüler formların halkası Γ derecelendirilmiş yüzük .[1]

Misal

Tam modüler formların halkası modüler grup SL (2, Z) dır-dir serbestçe oluşturulmuş tarafından Eisenstein serisi E4 ve E6. Diğer bir deyişle, Mk(Γ) bir izomorfiktir -cebir -e , hangisi polinom halkası üzerinde iki değişken Karışık sayılar.[1]

Özellikleri

Modüler form halkası, Lie cebiri Lie parantezinden beri modüler formların f ve g ilgili ağırlıkların k ve ℓ modüler bir ağırlık şeklidir k + ℓ + 2.[1] İçin bir parantez tanımlanabilir n-modüler formların türevine ve böyle bir ayraç denir Rankin – Cohen dirseği.[1]

SL'nin eşlik alt grupları (2, Z)

1973'te, Pierre Deligne ve Michael Rapoport modüler formların halkasının M (Γ) dır-dir sonlu oluşturulmuş ne zaman Γ bir uygunluk alt grubu nın-nin SL (2, Z).[2]

2003 yılında Lev Borisov ve Paul Gunnells, modüler formların halkasının M (Γ) dır-dir oluşturulmuş ağırlık olarak en fazla 3 olduğunda uygunluk alt grubudur birinci seviye N içinde SL (2, Z) teorisini kullanarak torik modüler formlar.[3] 2014 yılında Nadim Rustom, Borisov ve Gunnells'in sonuçlarını tüm seviyelere N ve ayrıca congruence alt grubu için modüler formların halkasının bazı seviyeler için en fazla 6 ağırlıkta üretilir N.[4]

2015 yılında, John Voight ve David Zureick-Brown bu sonuçları genelleştirdiler: herhangi bir uyum alt grubu için modüler eşit ağırlıkta derecelendirilmiş halkanın olduğunu kanıtladılar. Γ nın-nin SL (2, Z) en fazla 6 ağırlıkta üretilir ilişkiler en fazla 12 ağırlık üretilir.[5] Bu çalışmaya dayanarak, 2016'da Aaron Landesman, Peter Ruhm ve Robin Zhang, 5 ve 10'luk geliştirilmiş sınırlarla tüm yüzük için (tüm ağırlıklar) aynı sınırların geçerli olduğunu gösterdi. Γ sıfır olmayan tek ağırlıklı modüler forma sahiptir.[6]

Genel Fuşya grupları

Bir Fuşya grubu Γ karşılık gelir orbifold bölümden elde edildi of üst yarı düzlem . Bir yığın genellemeyle Riemann'ın varoluş teoremi modüler formların halkası arasında bir yazışma vardır. Γ ve belirli bölüm halkası ile yakından ilgili kanonik yüzük bir yığılmış eğri.[5]

Voight ve Zureick-Brown'un çalışmaları ve Landesman, Ruhm ve Zhang'ın çalışmaları nedeniyle jeneratörlerin ağırlıkları ve modüler form halkalarının ilişkileri için genel bir formül var. istifli eğrinin yığılı noktalarının dengeleyici sıraları (eşdeğer olarak, orbifoldun uçları) ) ile ilişkili Γ. Eğer Γ sıfır olmayan tek ağırlıklı modüler formlara sahip değilse, modüler form halkası en fazla ağırlık olarak üretilir ve en fazla ağırlık oluşturulmuş ilişkilere sahiptir .[5] Eğer Γ sıfır olmayan tek ağırlıklı modüler forma sahipse, modüler form halkası en fazla ağırlık olarak üretilir. ve en fazla ağırlık oluşturulmuş ilişkilere sahiptir .[6]

Başvurular

İçinde sicim teorisi ve süpersimetrik ayar teorisi modüler form halkasının cebirsel yapısı, yapısını incelemek için kullanılabilir. Higgs vacua dört boyutlu gösterge teorileri N = 1 ile süpersimetri.[7] Stabilizatörleri süper potansiyeller içinde N = 4 süpersimetrik Yang-Mills teorisi uygunluk alt grubunun modüler formlarının halkalarıdır Γ (2) nın-nin SL (2, Z).[7][8]

Referanslar

  1. ^ a b c d Zagier, Don (2008). "Eliptik Modüler Formlar ve Uygulamaları" (PDF). İçinde Bruinier, Jan Hendrik; van der Geer, Gerard; Daha sert, Günter; Zagier, Don (editörler). Modüler Formların 1-2-3'ü. Universitext. Springer-Verlag. s. 1–103. doi:10.1007/978-3-540-74119-0_1. ISBN  978-3-540-74119-0.
  2. ^ Deligne, Pierre; Rapoport, Michael (2009) [1973]. "Les schémas de modules de courbes elliptiques". Tek değişkenli modüler fonksiyonlar, II. Matematikte Ders Notları. 349. Springer. s. 143–316. ISBN  9783540378556.
  3. ^ Borisov, Lev A .; Gunnells, Paul E. (2003). "Daha yüksek ağırlıkta torik modüler formlar". J. Reine Angew. Matematik. 560: 43–64. arXiv:matematik / 0203242. Bibcode:2002math ...... 3242B.
  4. ^ Rustom, Nadim (2014). "Modüler formların kademeli halkalarının jeneratörleri". Sayılar Teorisi Dergisi. 138: 97–118. arXiv:1209.3864. doi:10.1016 / j.jnt.2013.12.008.
  5. ^ a b c Voight, John; Zureick-Brown, David (2015). Bir yığın eğrinin kanonik halkası. American Mathematical Society'nin Anıları. arXiv:1501.04657. Bibcode:2015arXiv150104657V.
  6. ^ a b Landesman, Aaron; Ruhm, Peter; Zhang, Robin (2016). "Log yığılı eğrilerin kanonik halkalarını döndürün". Annales de l'Institut Fourier. 66 (6): 2339–2383. arXiv:1507.02643. doi:10.5802 / aif.3065.
  7. ^ a b Bourget, Antoine; Troost, Ocak (2017). "Büyük boşlukların permütasyonları" (PDF). Yüksek Enerji Fiziği Dergisi. 2017 (42): 42. arXiv:1702.02102. Bibcode:2017JHEP ... 05..042B. doi:10.1007 / JHEP05 (2017) 042. ISSN  1029-8479.
  8. ^ Ritz, Adam (2006). "Merkezi yükler, S-dualitesi ve N = 1 * süper Yang-Mills'in büyük boşluğu". Fizik Harfleri B. 641 (3–4): 338–341. arXiv:hep-th / 0606050. doi:10.1016 / j.physletb.2006.08.066.