Halat uzunluğu - Ropelength

İçinde fiziksel düğüm teorisi, her gerçekleşme bağlantı veya düğüm ilişkili ip uzunluğu. Sezgisel olarak bu, belirli bir bağlantıyı veya düğümü bağlamak için gereken ideal olarak esnek bir ipin minimum uzunluğudur. Halat uzunluğunu en aza indiren düğümler ve bağlantılar denir ideal düğümler ve ideal bağlantılar sırasıyla.

İdeal bir yoncanın sayısal bir yaklaşımı.
Bir idealin sayısal bir yaklaşımı yonca.

Tanım

Bir düğüm eğrisinin halat uzunluğu C oran olarak tanımlanır , Len nerede (C) uzunluğu C ve τ (C) kalınlık tarafından tanımlanan bağlantınınC.

Halat boyu küçültücüleri

En eski düğüm teorisi sorularından biri aşağıdaki terimlerle soruldu:

Bir inç kalınlığındaki ayak uzunluğundaki bir ipe düğüm atabilir miyim?

Bizim terimlerimize göre ip uzunluğu 12 olan bir düğüm olup olmadığını soruyoruz. Bu soru cevaplandı ve imkansız olduğu görüldü: dörtlü herhangi bir önemsiz düğümün ip uzunluğunun en az 15.66 olması gerektiğini gösterir.[1] Bununla birlikte, cevabın araştırılması, hem teorik hem de hesaplama zemininde birçok araştırmayı teşvik etti. Her bağlantı türü için sadece sınıf olmasına rağmen bir halat uzunluğu küçültücü olduğu gösterilmiştir. C 1, 1.[2][3] En basit, önemsiz olmayan düğüm için, yonca düğüm, bilgisayar simülasyonları minimum halat uzunluğunun en fazla 16.372 olduğunu göstermiştir.[1]

İp uzunluğunun diğer düğüm değişmezlerine bağlılığı

Halat uzunluğu ile diğer düğüm değişmezleri arasındaki ilişkileri göstermek için kapsamlı bir araştırma yapılmıştır. Örnek olarak, halat uzunluğunun asimptotik bağımlılığı konusunda iyi bilinen sınırlar vardır. geçiş numarası bir düğüm. Gösterildi ki

ve

bir düğüm için C çaprazlama numarası Cr ile (C) ve halat uzunluğu L(C), nerede Ö ve Ω örnekleridir büyük O notasyonu ve büyük Omega notasyonu sırasıyla.

Alt sınır (büyük Omega) iki aile ((k, k−1) torus düğümleri ve k-Hopf linkleri) bu sınırı gerçekleştirir. O'nun eski bir üst sınırı (Cr (C))3/2 kübik bir tamsayı kafesine gömülü grafiklerde Hamilton döngüleri kullanılarak gösterilmiştir.[4] Şu andaki en iyi doğrusal yakın üst sınır, düğümlerin minimum projeksiyonlarının kübik kafeste düzlemsel grafikler olarak gömülebileceğini göstermek için bir böl ve yönet argümanıyla oluşturulmuştur.[5] Bununla birlikte, henüz hiç kimse süper doğrusal uzunluk bağımlılığı olan bir düğüm ailesi gözlemlememiştir. L(C)> O (Cr (CK)) ve üst sınırın aslında doğrusal olduğu varsayılmaktadır.[6]

Bir düğüm değişmezi olarak halat uzunluğu

Halat uzunluğu bir düğüm değişmez bir düğüm tipinin halat uzunluğunu, o düğüm tipinin tüm gerçekleştirmelerinde minimum halat uzunluğu olarak tanımlayarak. Şimdiye kadar bu değişmez, düğümlerin çoğunluğu için bu minimum değeri belirlemediğimiz için pratik değildir.

Referanslar

  1. ^ a b Denne Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), "Quadrisecantlar bir düğümün halat uzunluğu için yeni alt sınırlar verir", Geometri ve Topoloji, 10: 1–26, arXiv:matematik / 0408026, doi:10.2140 / gt.2006.10.1, BAY  2207788.
  2. ^ Gonzalez, O .; Maddocks, J. H .; Schuricht, F .; von der Mosel, H. (2002), "Küresel eğrilik ve doğrusal olmayan elastik eğrilerin ve çubukların kendiliğinden teması", Varyasyon Hesabı ve Kısmi Diferansiyel Denklemler, 14 (1): 29–68, doi:10.1007 / s005260100089, BAY  1883599
  3. ^ Cantarella, Jason; Kusner, Robert B .; Sullivan, John M. (2002), "Düğüm ve bağlantıların minimum halat uzunluğu hakkında" (PDF), Buluşlar Mathematicae, 150 (2): 257–286, arXiv:matematik / 0103224, Bibcode:2002InMat.150..257C, doi:10.1007 / s00222-002-0234-y, BAY  1933586.
  4. ^ Diao, Yuanan; Ernst, Claus; Yu, Xingxing (2004), "Hamilton düğüm projeksiyonları ve kalın düğümlerin uzunlukları" (PDF), Topoloji ve Uygulamaları, 136 (1–3): 7–36, doi:10.1016 / S0166-8641 (03) 00182-2, BAY  2023409.
  5. ^ Diao, Yuanan; Ernst, Claus; Por, Attila; Ziegler, Uta (2019), "Düğümlerin İp Uzunlukları, Geçiş Sayıları Açısından Neredeyse Doğrusal", Düğüm Teorisi Dergisi ve Sonuçları, 28 (14): 1950085.
  6. ^ Diao, Yuanan; Ernst, Claus (2004), "İp uzunluklarının önemsiz olmayan düğüm aileleri tarafından gerçekleştirilebilir güçleri" (PDF), JP Geometri ve Topoloji Dergisi, 4 (2): 197–208, BAY  2105812, dan arşivlendi orijinal (PDF) 2005-02-15 tarihinde.