Schreiers lemma - Schreiers lemma

Matematikte, Schreier lemması bir teorem içinde grup teorisi kullanılan Schreier – Sims algoritması ve ayrıca bir sunum bir alt grup.

Beyan

Varsayalım ${ displaystyle H}$ bir alt grup nın-nin ${ displaystyle G}$, üreten set ile sonlu olarak üretilen ${ displaystyle S}$, yani, G = ${ displaystyle scriptstyle langle S rangle}$.

İzin Vermek ${ displaystyle R}$ haklı ol enine nın-nin ${ displaystyle H}$ içinde ${ displaystyle G}$. Diğer bir deyişle, ${ displaystyle R}$ bir (görüntüsü) Bölüm bölüm haritasının ${ displaystyle G - H ters eğik çizgi G}$, nerede ${ displaystyle H ters eğik çizgi G}$ kümesini gösterir sağ kosetler nın-nin ${ displaystyle H}$ içinde ${ displaystyle G}$.

Verilen tanımı yapıyoruz ${ displaystyle g}$∈${ displaystyle G}$, ${ displaystyle { overline {g}}}$ enlemesine seçilen temsilci ${ displaystyle R}$ coset'in ${ displaystyle Hg}$, yani,

${ displaystyle g in H { overline {g}}.}$

Sonra ${ displaystyle H}$ set tarafından üretilir

${ displaystyle {rs ({ üst çizgi {rs}}) ^ {- 1} | R içinde r , S içinde s }}$

Misal

Açık gerçeği ortaya koyalım ki, grup Z₃ = Z/3Z gerçekten döngüseldir. Üzerinden Cayley teoremi, Z₃ bir alt grubudur simetrik grup S₃. Şimdi,

${ displaystyle mathbb {Z} _ {3} = {e, (1 2 3), (1 3 2) }}$

${ displaystyle S_ {3} = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }}$

nerede ${ displaystyle e}$ kimlik permütasyonudur. Not S₃ = ${ displaystyle scriptstyle langle}${ s₁=(1 2), s₂ = (1 2 3) }${ displaystyle scriptstyle rangle}$.

Z₃ sadece iki kosete sahiptir, Z₃ ve S₃ \ Z₃, bu yüzden enlemesine { t₁ = e, t₂= (1 2)} ve bizde

${ displaystyle { begin {matrix} t_ {1} s_ {1} = (1 2), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {1}} } = (1 2) t_ {1} s_ {2} = (1 2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {1} s_ {2 }}} = e t_ {2} s_ {1} = e, & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {1}}} = e t_ {2} s_ {2} = (2 3), & quad { text {so}} quad & { overline {t_ {2} s_ {2}}} = (1 2). end {matrix}}}$

En sonunda,

${ displaystyle t_ {1} s_ {1} { overline {t_ {1} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}$

${ displaystyle t_ {1} s_ {2} { overline {t_ {1} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3)}$

${ displaystyle t_ {2} s_ {1} { overline {t_ {2} s_ {1}}} ^ {- 1} = e}$

${ displaystyle t_ {2} s_ {2} { overline {t_ {2} s_ {2}}} ^ {- 1} = (1 2 3).}$

Böylece, Schreier'in alt grup lemması tarafından {e, (1 2 3)} üretir Z₃, ancak üretici sette kimliğe sahip olmak gereksizdir, bu nedenle başka bir jeneratör seti elde etmek için onu kaldırabiliriz. Z₃, {(1 2 3)} (beklendiği gibi).

Referanslar

• Seress, A. Permütasyon Grubu Algoritmaları. Cambridge University Press, 2002.